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21.(8分)【观察思考】
$2^3=3+5$；
$3^3=7+9+11$；
$4^3=13+15+17+19$；
$5^3=21+23+25+27+29$；
…
【尝试探索】
(1)将$6^3$写成6个连续奇数的和：______；
【规律表达】
(2)任意大于1的正整数$m$的三次幂可以写成$m$个连续奇数的和，则这$m$个连续奇数中最大的数可以表示为________；(用含$m$的代数式表示)
【规律应用】
(3)若$m^3$可以写成$m$个连续奇数的和，其中有一个奇数是2 025，求$m$的值。
$2^3=3+5$；
$3^3=7+9+11$；
$4^3=13+15+17+19$；
$5^3=21+23+25+27+29$；
…
【尝试探索】
(1)将$6^3$写成6个连续奇数的和：______；
【规律表达】
(2)任意大于1的正整数$m$的三次幂可以写成$m$个连续奇数的和，则这$m$个连续奇数中最大的数可以表示为________；(用含$m$的代数式表示)
【规律应用】
(3)若$m^3$可以写成$m$个连续奇数的和，其中有一个奇数是2 025，求$m$的值。
答案
21.(1)$31+33+35+37+39+41$ (2)$m^2+m-1$ 解析:易得这$m$个连续奇数中最大的数可以表示为$m(m+1)-1=m^2+m-1$。 (3)解:因为$45^2+45-1=2\ 069＞2\ 025$,$44^2+44-1=1\ 979＜2\ 025$,所以$m=45$。
解析
【分析】
首先观察题目给出的特殊例子，推导正整数m的三次幂等于m个连续奇数之和的规律：通过分析每个例子中m对应的连续奇数的最大数，总结出最大数的表达式；再利用该表达式依次解决三个问题：（1）根据规律写出6³对应的6个连续奇数；（2）用含m的代数式表示这m个连续奇数的最大数；（3）结合已知奇数2025，确定m的值。
【解析】
（1）观察已知例子：
2³=3+5，最大奇数5=2²+2-1；
3³=7+9+11，最大奇数11=3²+3-1；
4³=13+15+17+19，最大奇数19=4²+4-1；
5³=21+23+25+27+29，最大奇数29=5²+5-1；
由此可得，m个连续奇数的最大数为m²+m-1。当m=6时，最大奇数为6²+6-1=41，这6个连续奇数为31、33、35、37、39、41，故6³=31+33+35+37+39+41。
（2）由上述推导，m个连续奇数的最大数可表示为m²+m-1。
（3）已知m³对应的连续奇数中有2025，需满足最小奇数≤2025≤最大奇数，其中最小奇数为（m²+m-1）-2(m-1)=m² -m +1，最大奇数为m²+m-1。计算得：44²+44-1=1979，45²+45-1=2069；同时45²-45+1=1981，显然1979＜2025＜2069，故m=45。
【答案】
（1）31+33+35+37+39+41；（2）m²+m-1；（3）45
【知识点】
数字规律探究、代数式表示、整数性质
【点评】
本题通过特殊例子归纳数字规律，考查学生的归纳推理能力，需准确推导连续奇数与底数m的关系，再利用规律解决问题，关键在于找到最大数的表达式，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先观察题目给出的特殊例子，推导正整数m的三次幂等于m个连续奇数之和的规律：通过分析每个例子中m对应的连续奇数的最大数，总结出最大数的表达式；再利用该表达式依次解决三个问题：（1）根据规律写出6³对应的6个连续奇数；（2）用含m的代数式表示这m个连续奇数的最大数；（3）结合已知奇数2025，确定m的值。
【解析】
（1）观察已知例子：
2³=3+5，最大奇数5=2²+2-1；
3³=7+9+11，最大奇数11=3²+3-1；
4³=13+15+17+19，最大奇数19=4²+4-1；
5³=21+23+25+27+29，最大奇数29=5²+5-1；
由此可得，m个连续奇数的最大数为m²+m-1。当m=6时，最大奇数为6²+6-1=41，这6个连续奇数为31、33、35、37、39、41，故6³=31+33+35+37+39+41。
（2）由上述推导，m个连续奇数的最大数可表示为m²+m-1。
（3）已知m³对应的连续奇数中有2025，需满足最小奇数≤2025≤最大奇数，其中最小奇数为（m²+m-1）-2(m-1)=m² -m +1，最大奇数为m²+m-1。计算得：44²+44-1=1979，45²+45-1=2069；同时45²-45+1=1981，显然1979＜2025＜2069，故m=45。
【答案】
（1）31+33+35+37+39+41；（2）m²+m-1；（3）45
【知识点】
数字规律探究、代数式表示、整数性质
【点评】
本题通过特殊例子归纳数字规律，考查学生的归纳推理能力，需准确推导连续奇数与底数m的关系，再利用规律解决问题，关键在于找到最大数的表达式，难度适中。
【难度系数】
0.5
22.(8分)如图1,点F在线段AB上,点E在线段CD上,∠1+∠2=180°,∠A=∠D。
(1)请说明AB//CD;
(2)如图2,连结EF,若∠AEF=20°,∠D=70°,判断EF与AB的位置关系并说明理由。
(1)请说明AB//CD;
(2)如图2,连结EF,若∠AEF=20°,∠D=70°,判断EF与AB的位置关系并说明理由。
答案
22.解:(1)如图。因为$∠3+∠2=180°$,$∠1+∠2=180°$,所以$∠1=∠3$,所以$AE// DF$,所以$∠A=∠BFD$,又因为$∠A=∠D$,所以$∠D=∠BFD$,所以$AB// CD$。
(2)$EF⊥AB$。 理由如下:由(1)可得$AE// DF$,又因为$∠AEF=20°$,所以$∠EFD=∠AEF=20°$。因为$AB// CD$,$∠D=70°$,所以$∠BFD=∠D=70°$。所以$∠BFE=∠BFD+∠EFD=90°$,所以$EF⊥AB$。解析
【分析】
要解决本题，需结合平行线的判定定理、性质定理及垂直的定义推导角与直线的关系：
(1) 要证AB//CD，先利用对顶角相等将已知∠1+∠2=180°转化为同旁内角互补，推出AE//DF，再结合∠A=∠D得到内错角相等，从而证AB//CD；
(2) 要判断EF与AB的位置关系，利用(1)中得到的平行线关系，求出∠BFE的度数，根据垂直定义判断位置关系。
【解析】
(1) 如图，因为∠3与∠1是对顶角，所以∠1=∠3。已知∠1+∠2=180°，则∠3+∠2=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得AE//DF，所以∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等）。又因为∠A=∠D，所以∠D=∠BFD，根据“内错角相等，两直线平行”，可证AB//CD。
(2) EF⊥AB，理由如下：由(1)知AE//DF，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠EFD=∠AEF=20°。由(1)知AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠BFD=∠D=70°。因此∠BFE=∠BFD+∠EFD=70°+20°=90°，根据垂直的定义，可得EF⊥AB。
【答案】
(1) AB//CD；(2) EF⊥AB。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，需熟练运用角的等量关系推导直线平行，再通过平行求角判断垂直，属于基础几何综合题，注重逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合平行线的判定定理、性质定理及垂直的定义推导角与直线的关系：
(1) 要证AB//CD，先利用对顶角相等将已知∠1+∠2=180°转化为同旁内角互补，推出AE//DF，再结合∠A=∠D得到内错角相等，从而证AB//CD；
(2) 要判断EF与AB的位置关系，利用(1)中得到的平行线关系，求出∠BFE的度数，根据垂直定义判断位置关系。
【解析】
(1) 如图，因为∠3与∠1是对顶角，所以∠1=∠3。已知∠1+∠2=180°，则∠3+∠2=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得AE//DF，所以∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等）。又因为∠A=∠D，所以∠D=∠BFD，根据“内错角相等，两直线平行”，可证AB//CD。
(2) EF⊥AB，理由如下：由(1)知AE//DF，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠EFD=∠AEF=20°。由(1)知AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠BFD=∠D=70°。因此∠BFE=∠BFD+∠EFD=70°+20°=90°，根据垂直的定义，可得EF⊥AB。
【答案】
(1) AB//CD；(2) EF⊥AB。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，需熟练运用角的等量关系推导直线平行，再通过平行求角判断垂直，属于基础几何综合题，注重逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
