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一、选择题
1. 下列实数中，是无理数的是()
A.$\frac{π}{4}$
B.$\sqrt[3]{8}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\frac{22}{7}$
1. 下列实数中，是无理数的是()
A.$\frac{π}{4}$
B.$\sqrt[3]{8}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\frac{22}{7}$
答案
A
解析
无理数是无限不循环小数。A选项，π是无理数，所以π/4也是无理数；B选项，³√8=2，是整数，属于有理数；C选项，√9=3，是整数，属于有理数；D选项，22/7是分数，属于有理数。综上，无理数是A选项。
2. 下列算式中，正确的是()
A.$\sqrt{9}=\pm3$
B.$\sqrt[3]{-27}=-3$
C.$\pm\sqrt{9}=3$
D.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
A.$\sqrt{9}=\pm3$
B.$\sqrt[3]{-27}=-3$
C.$\pm\sqrt{9}=3$
D.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
答案
B
解析
A选项中$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，应为3；
B选项中$\sqrt[3]{-27}$表示-27的立方根，为-3，正确；
C选项中$\pm\sqrt{9}$应等于$\pm3$，而非仅等于3；
D选项中$\sqrt{(-3)^2}=3$，而非-3。
B选项中$\sqrt[3]{-27}$表示-27的立方根，为-3，正确；
C选项中$\pm\sqrt{9}$应等于$\pm3$，而非仅等于3；
D选项中$\sqrt{(-3)^2}=3$，而非-3。
3. 已知$\sqrt[3]{2.37}\approx1.333$，$\sqrt[3]{23.7}\approx2.872$，那么$\sqrt[3]{2370}$约等于()
A.$28.72$
B.$13.33$
C.$0.2872$
D.$0.1333$
A.$28.72$
B.$13.33$
C.$0.2872$
D.$0.1333$
答案
B
解析
因为$2370 = 23.7×100 = 23.7×10^2$，而$\sqrt[3]{10^3}=10$，$10^2 = 10^3÷10$，所以$\sqrt[3]{2370}=\sqrt[3]{23.7×10^3÷10}=\sqrt[3]{23.7}×\sqrt[3]{10^3}÷\sqrt[3]{10}$，这里计算有误，正确应为$2370 = 2.37×1000 = 2.37×10^3$，则$\sqrt[3]{2370}=\sqrt[3]{2.37×10^3}=\sqrt[3]{2.37}×\sqrt[3]{10^3}\approx1.333×10 = 13.33$
4. 计算：$|-3|+\sqrt[3]{-8}=$.
答案
$|-3|=3$；
$\sqrt[3]{-8} = -2$（因为$(-2)^3 = - 8$）；
将上述两个结果相加，即$3+(-2)=1$。
故答案为$1$。
$\sqrt[3]{-8} = -2$（因为$(-2)^3 = - 8$）；
将上述两个结果相加，即$3+(-2)=1$。
故答案为$1$。
5. 数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.如图所示，面积为5的正方形的顶点$A$在数轴上，且点$A$表示的数为1.若点$E$在数轴上(点$E$在点$A$左侧)，且$AD=AE$，则点$E$所表示的数为.
答案
正方形的面积为5，故其边长为 $\sqrt{5}$。
点 $A$ 在数轴上表示的数为 1，且 $AD = AE$，
所以 $AD$ 为正方形的边长 $\sqrt{5}$。
设点 $E$ 在数轴上表示的数为 $x$，则 $AE = |1 - x|$。
由 $AD = AE$，得 $|1 - x| = \sqrt{5}$。
点 $E$ 在点 $A$ 左侧，故 $1 - x = \sqrt{5}$。
解得 $x = 1 - \sqrt{5}$。
故答案为：$1 - \sqrt{5}$。
点 $A$ 在数轴上表示的数为 1，且 $AD = AE$，
所以 $AD$ 为正方形的边长 $\sqrt{5}$。
设点 $E$ 在数轴上表示的数为 $x$，则 $AE = |1 - x|$。
由 $AD = AE$，得 $|1 - x| = \sqrt{5}$。
点 $E$ 在点 $A$ 左侧，故 $1 - x = \sqrt{5}$。
解得 $x = 1 - \sqrt{5}$。
故答案为：$1 - \sqrt{5}$。
6. 若$n$为整数，且$n＜\sqrt{10}＜n+1$，则$n$等于.
答案
因为$9 ＜ 10 ＜ 16$，根据算术平方根的性质，对不等式两边同时开平方根，得到$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，
即$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
根据题目条件$n ＜ \sqrt{10} ＜ n + 1$，结合上面的不等式，可以得出$n = 3$，
故答案为：$3$。
即$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
根据题目条件$n ＜ \sqrt{10} ＜ n + 1$，结合上面的不等式，可以得出$n = 3$，
故答案为：$3$。
7. 计算：
(1) $-1^2+\sqrt[3]{-27}-2×\sqrt{9}$；
(2) $|\sqrt{3}-2|-\sqrt[3]{-64}$.
(1) $-1^2+\sqrt[3]{-27}-2×\sqrt{9}$；
(2) $|\sqrt{3}-2|-\sqrt[3]{-64}$.
答案
(1)
首先计算乘方：
$-1^2 = -1$（注意，这里 $-1^2$ 指的是 $- (1^2) = -1$，而不是 $(-1)^2 = 1$）
接着计算立方根：
$\sqrt[3]{-27} = -3$
然后计算平方根：
$\sqrt{9} = 3$
最后进行乘法和加减运算：
$-1 + (-3) - 2 × 3 = -1 - 3 - 6 = -10$
(2)
首先计算绝对值：
$|\sqrt{3} - 2| = |- (2 - \sqrt{3})| = 2 - \sqrt{3}$
接着计算立方根：
$\sqrt[3]{-64} = -4$
最后进行加减运算：
$2 - \sqrt{3} - (-4) = 2 - \sqrt{3} + 4 = 6 - \sqrt{3}$
首先计算乘方：
$-1^2 = -1$（注意，这里 $-1^2$ 指的是 $- (1^2) = -1$，而不是 $(-1)^2 = 1$）
接着计算立方根：
$\sqrt[3]{-27} = -3$
然后计算平方根：
$\sqrt{9} = 3$
最后进行乘法和加减运算：
$-1 + (-3) - 2 × 3 = -1 - 3 - 6 = -10$
(2)
首先计算绝对值：
$|\sqrt{3} - 2| = |- (2 - \sqrt{3})| = 2 - \sqrt{3}$
接着计算立方根：
$\sqrt[3]{-64} = -4$
最后进行加减运算：
$2 - \sqrt{3} - (-4) = 2 - \sqrt{3} + 4 = 6 - \sqrt{3}$
8. 提升题已知$3a+1$的两个平方根分别是$7-m$和$2-2m$，$9+b$的立方根是2.
(1) 求$m$，$a$，$b$的值；
(2) 求$7a-b$的算术平方根.
(1) 求$m$，$a$，$b$的值；
(2) 求$7a-b$的算术平方根.
答案
(1)
因为$3a + 1$的两个平方根分别是$7 - m$和$2 - 2m$，
根据平方根性质：一个正数的两个平方根互为相反数，
所以$7 - m+2 - 2m = 0$，
$9-3m = 0$，
$3m=9$，
解得$m = 3$。
又因为$3a + 1$的一个平方根为$7 - m$，把$m = 3$代入$7 - m$得$7 - 3=4$，
所以$3a + 1 = 4^{2}=16$，
$3a=15$，
解得$a = 5$。
因为$9 + b$的立方根是$2$，所以$9 + b = 2^{3}=8$，
解得$b = -1$。
(2)
把$a = 5$，$b = -1$代入$7a - b$得：
$7×5-(-1)=35 + 1=36$，
因为$36$的算术平方根为$6$，
所以$7a - b$的算术平方根是$6$。
综上，$m$的值为$3$，$a$的值为$5$，$b$的值为$-1$；$7a - b$的算术平方根是$6$。
因为$3a + 1$的两个平方根分别是$7 - m$和$2 - 2m$，
根据平方根性质：一个正数的两个平方根互为相反数，
所以$7 - m+2 - 2m = 0$，
$9-3m = 0$，
$3m=9$，
解得$m = 3$。
又因为$3a + 1$的一个平方根为$7 - m$，把$m = 3$代入$7 - m$得$7 - 3=4$，
所以$3a + 1 = 4^{2}=16$，
$3a=15$，
解得$a = 5$。
因为$9 + b$的立方根是$2$，所以$9 + b = 2^{3}=8$，
解得$b = -1$。
(2)
把$a = 5$，$b = -1$代入$7a - b$得：
$7×5-(-1)=35 + 1=36$，
因为$36$的算术平方根为$6$，
所以$7a - b$的算术平方根是$6$。
综上，$m$的值为$3$，$a$的值为$5$，$b$的值为$-1$；$7a - b$的算术平方根是$6$。
