1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=8$.
(1)如图①,把$△ ABC$沿直线$DE$折叠,使点$A$与点$B$重合,求$BE$的长;
(2)如图②,把$△ ABC$沿直线$AF$折叠,使点$C$落在$AB$边上的点$G$处,请直接写出$BF$的长.

(1)
∵ 把△ABC沿直线DE折叠,使点A与点B重合,
∴ AE=BE.
∵ AC=6,BC=8,设AE=BE=x,则 CE=8-x,在Rt△ACE中,∠C=90°,
∴ AC²+CE²=AE²,
∴ 6²+(8-x)²=x²,解得 x=25/4,
∴ BE=25/4.
(2)BF=5. 解析:
∵ 把△ABC沿直线AF折叠,使点C落在AB边上的点G处,
∴ AC=AG=6,CF=FG.设 CF=FG=x,则BF=8-x,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴ AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10,
∴ BG=AB-AG=4.在 Rt△BGF 中,∠BGF=90°,
∴ GF²+BG²=BF²,
∴ x²+4²=(8-x)²,解得 x=3,
∴ BF=8-3=5.

2. 有一块直角三角形纸片,两直角边$AC=6\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm}$.
(1)如图①,现将纸片沿直线$AD$折叠,使直角边$AC$落在斜边$AB$上,则$CD=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
(2)如图②,若将直角三角形纸片沿$MN$折叠,使点$C$与$AB$的中点$H$重合,点$M,N$分别在$AC$,$BC$上,则$AM^2,BN^2$与$MN^2$之间有怎样的数量关系? 并证明你的结论.

(1)3 解析:
∵ 将纸片沿直线AD折叠,使直角边AC落在斜边AB上,
∴ CD=DE,AC=AE,∠AED=∠C=90°.
∵ AC=6,BC=8,
∴ AB=10,设 CD=DE=x,则 BD=8-x,BE=10-6=4,在Rt△BED中,x²+4²=(8-x)²,解得 x=3.故答案为3.
(2)$AM^2+BN^2=MN^2$.证明如下:过点 B 作 $BP// AC$ 交 MH 的延长线于点 P,连接 PN,,
∴ ∠A=∠PBH.在△AMH 和△BPH 中,∠A=∠PBH,AH=BH,∠AHM=∠BHP,
∴ △AMH≌△BPH,
∴ AM = BP, MH = PH. 又
∵ NH ⊥ MP,
∴ MN = NP.
∵ $BP// AC$, ∠C = 90°,
∴ ∠NBP = 90°,
∴ $BP^2 + BN^2 = NP^2$,
∴ $AM^2+BN^2=MN^2$.

3. 如图的实线部分是由$\mathrm{Rt}△ ABC$经过两次折叠得到的,首先将$\mathrm{Rt}△ ABC$沿$BD$折叠,使点$C$落在斜边上的点$C'$处,再沿$DE$折叠,使点$A$落在$DC'$的延长线上的点$A'$处.若图中$∠ C=90°$,$DE=3\ \mathrm{cm}$,$BD=4\ \mathrm{cm}$,则$DC'$的长为________.

$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$