1. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,$AB=10$,$AC=13$,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$M$为$AD$上任意一点,则$MC^2 - MB^2$等于$\underline{\hspace{5em}}$.

1. 69 解析:在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中,BD²=AB²-AD²,CD²=AC²-AD²,在 Rt△BDM 和 Rt△CDM 中,BM²=BD²+MD²=AB²-AD²+MD²,MC²=CD²+MD²=AC²-AD²+MD²,
∴ MC²-MB²=(AC²-AD²+MD²)-(AB²-AD²+MD²)=AC²-AB²=13²-10²=69.

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$在$CB$的延长线上.
(1)求证:$AD^2 - AB^2 = BD · CD$.
(2)若$D$在$CB$上,(1)中结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请写出新的结论并证明.

(1)如图①,过点A作AE⊥BC于E.
∵ AB=AC,
∴ BE=CE.
在Rt△ADE中,AD²-AE²=DE²,在Rt△ACE中,AC²-AE²=CE²,两式相减,得AD²-AC²=DE²-CE²=(DE-CE)·(DE+CE)=(DE-BE)·CD=BD·CD,即AD²-AB²=BD·CD。
(2)不成立.结论为AB²-AD²=BD·CD.证明:如图②,与(1)同理,可得AD²-AE²=DE²,AC²-AE²=CE².
∵ 点D在CB上,
∴ AB＞AD,即AC＞AD,
∴ AC²-AD²=CE²-DE²=(CE-DE)·(CE+DE)=(BE-DE)(CE+DE)=BD·CD,
∴ AB²-AD²=BD·CD.

3. （2025·镇江期中）若$△ ABC$和$△ ADE$均为等腰三角形，且$AB=AC=AD=AE$，当$∠ ABC$和$∠ ADE$互余时，称$△ ABC$和$△ ADE$互为“底余等腰三角形”，$△ ABC$的边$BC$上的高叫作$△ ADE$的“余高”.如图，$△ ABC$和$△ ADE$互为“底余等腰三角形”.
(1)连接$BD$，$CE$，判断$△ ABD$和$△ ACE$是否互为“底余等腰三角形”：______.（填“是”或“否”）
(2)当$0°＜∠ BAC＜180°$时，若$△ ADE$的“余高”是$AF$.
①请用直尺和圆规作出$AF$（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
②若$BC=24$，$DE=10$，求$AD$的长；
③猜想：四边形$BCED$的四边$BC$，$CE$，$DE$，$BD$存在怎样的相等关系？

(1)是 解析:
∵ △ABC和△ADE互为“底余等腰三角形”,
∴ ∠ABC+∠ADE=90°,AB=AC=AD=AE,
∴ ∠ACB+∠AED=90°,∠ABD=∠ADB,∠ACE=∠AEC.
∵ ∠BDE+∠DEC+∠ECB+∠CBD=360°,
∴ ∠ABD+∠ADB+∠ACE+∠AEC=180°,即∠ADB+∠AEC=90°,
∴ △ABD和△ACE互为“底余等腰三角形”.
(2)①如图①所示. 解析:分别以点B,C为圆心,以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧,两弧交于点K,作射线AK交BC于点F,则AF即为所求作.
②如图②,过点A作AG⊥DE,交DE于点G,
∴ ∠ADG+∠DAG=90°.
∵ △ABC和△ADE互为“底余等腰三角形”,
∴ ∠ABC+∠ADE=90°,AD=AB=AE=AC,
∴ ∠ABC=∠DAG,$DG=\frac{1}{2}DE=5$,$BF=\frac{1}{2}BC=12$.在△ABF与△DAG中,
$\begin{cases} ∠BFA=∠AGD=90°, \\ ∠ABF=∠DAG, \\ BA=AD, \end{cases}$
∴ △ABF≌△DAG(AAS),
∴ AG=BF=12.根据勾股定理,得$AD=\sqrt{DG^2+AG^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$.
③$BD^2+CE^2=DE^2+BC^2$.由②得△ABF≌△DAG,
∴ $DG=AF=\frac{1}{2}DE$,$AG=BF=\frac{1}{2}BC$.在Rt△ABF中,$AB^2=AF^2+BF^2=(\frac{1}{2}DE)^2+(\frac{1}{2}BC)^2$,即$AB^2=\frac{1}{4}DE^2+\frac{1}{4}BC^2$.同理,$AB^2=(\frac{1}{2}BD)^2+(\frac{1}{2}CE)^2$,即$AB^2=\frac{1}{4}BD^2+\frac{1}{4}CE^2$,
∴ $\frac{1}{4}BD^2+\frac{1}{4}CE^2=\frac{1}{4}DE^2+\frac{1}{4}BC^2$,即$BD^2+CE^2=DE^2+BC^2$.