1. 在$△ ABC$中，$AB=20$，$AC=13$，$BC$边上的高为12，则$BC$的长为________.

1. 21或11

2. 在直角三角形$ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=2$。以$AC$为一边，在$△ ABC$外作等腰直角三角形$ACD$，则线段$BD$的长为________。

2. $2\sqrt{5}$或$4$或$\sqrt{10}$

3. 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，扩充后等腰三角形绿地的面积是 m².

3. 48或40或$\dfrac{100}{3}$

4. 如图,在三角形纸片$ABC$中,$AB=AC=2$,$∠ B=30°$,点$D$是$BC$边上的动点,将三角形纸片沿$AD$折叠,使点$B$落在点$B'$处,当$B'D ⊥ BC$时,$BD$的长为________.

4. $\sqrt{3}+1$或$\sqrt{3}-1$

5. (2025·南京月考)如图,已知$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,$P,Q$是$△ ABC$边上的两个动点,其中点$P$从点$A$开始沿$A \to B$方向运动,且速度为每秒$1\ \mathrm{cm}$,点$Q$从点$B$开始沿$B \to C \to A$方向运动,且速度为每秒$2\ \mathrm{cm}$,它们同时出发,设出发的时间为$t$秒.
(1)出发2秒后,求$PQ$的值.
(2)出发几秒后,$△ PQB$第一次成为等腰三角形?
(3)当点$Q$运动到$CA$上时,求能使$△ BCQ$是等腰三角形时点$Q$的运动时间.

5. (1)出发2秒后,$AP=1×2=2(\mathrm{cm})$,$BQ=2×2=4(\mathrm{cm})$.
$\therefore BP=AB-AP=8-2=6(\mathrm{cm})$.在$\mathrm{Rt}△BPQ$中,$∠B=90°$,根据勾股定理,得$PQ=\sqrt{BP^2+BQ^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}(\mathrm{cm})$.
(2)设出发$t$秒后,$△PQB$第一次成为等腰三角形.此时$BP=(8-t)\mathrm{cm}$,$BQ=2t\ \mathrm{cm}$.当$BP=BQ$时,$8-t=2t$,解得$t=\dfrac{8}{3}$.
(3)①当$CQ=BQ$时,如图①,则$∠C=∠CBQ$.$\because ∠ABC=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,$\therefore ∠CBQ+∠ABQ=90°$,$∠A+∠C=90°$,$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm})$,$\therefore ∠A=∠ABQ$,$\therefore BQ=AQ$,$\therefore CQ=AQ=5\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC+CQ=11\ \mathrm{cm}$,$\therefore t=11÷2=5.5$;
②当$CQ=BC$时,如图②,则$BC+CQ=12\ \mathrm{cm}$,$\therefore t=12÷2=6$;
③当$BC=BQ$时,如图③,过$B$点作$BE⊥AC$于点$E$,则$BE=\dfrac{AB·BC}{AC}=\dfrac{6×8}{10}=4.8(\mathrm{cm})$,在$\mathrm{Rt}△BCE$中,由勾股定理,得$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{6^2-(4.8)^2}=3.6(\mathrm{cm})$,$\therefore CQ=2CE=7.2\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC+CQ=13.2\ \mathrm{cm}$,$\therefore t=13.2÷2=6.6$.
综上可知,当点$Q$的运动时间为5.5秒或6秒或6.6秒时,$△BCQ$是等腰三角形.