1. （2025·镇江期末）如图，等边三角形ABC的边长为2，过顶点B作BC的垂线MN，点P在直线MN上，分别以点P，C为圆心，PC长为半径画弧，两弧交于点Q，点P，Q，C按顺时针方向排列，连接AQ.
【发现】
(1)点P在直线MN上运动的过程中，以下选项：①AB长；②AQ长；③点A到BC所在直线的距离；④点Q到BC所在直线的距离.
其中，常量有：______，变量有：______（填序号即可）.
(2)在点P从点B出发沿BM方向运动的过程中，随着BP长度不断变大，点Q到BC所在直线的距离也随着变________（填“大”或“小”）；
在点P从点B出发沿BN方向运动的过程中，随着BP长度不断变大，点Q到BC所在直线的距离是如何变化的？________（直接写出结果）.
【表达】
(3)在点P从点B出发沿BM方向运动的过程中，设$BP=x$，求点Q到BC所在直线的距离$y$关于$x$的函数表达式.
(4)在点P从点B出发沿BN方向运动的过程中，设$BP=x$，直接写出点Q到BC所在直线的距离$y$关于$x$的函数表达式：______.

(1)常量：①③，变量：②④
解析:
∵ △ABC 是边长为 2 的等边三角形,
∴ AB=BC=AC=2, ∠ABC=∠ACB=60°,
∴ AB 的长是常量.

如图①,连接 PQ,CQ,由作图可得 PQ=CQ=PC,
∴ △QPC 是等边三角形,
∴ ∠PCQ=60°,
∴ ∠ACB-∠ACP=∠PCQ-∠ACP,即∠BCP=∠ACQ.在△BCP 和△ACQ 中,
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCP=∠ACQ, \\ PC=QC, \end{cases}$
∴ △BCP≌△ACQ(SAS),
∴ AQ=BP,
∴ 点 P 在直线 MN 上运动时,BP 的长是变量,AQ 的长也是变量.
如图②,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,则 AD 的长为点 A 到 BC 的距离.
∵ △ABC 是等边三角形,AD⊥BC,
∴ ∠BAD=$\dfrac{1}{2}$∠BAC=30°,根据题意可得 BD = $\dfrac{1}{2}$AB = $\dfrac{1}{2}$×2 = 1,
∴ AD = $\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴ 点 A 到 BC 的距离是常量.
∵ △BCP≌△ACQ,
∴ ∠QAC=∠PBC=90°,
∴ 点 Q 在与 AC 垂直的直线上运动,
∴ 点 Q 到 BC 的距离是变量.综上所述,点 P 在直线 MN 上运动的过程中,常量有:①AB长,③点 A 到 BC 所在直线的距离;变量有:②AQ长,④点 Q 到 BC 所在直线的距离.
(2)大；先变小,再变大
解析:
∵ 点 Q 在与 AC 垂直的直线上运动,且 AQ=BP,
∴ 点 P 从点 B 出发沿 BM 方向运动的过程中,随着 BP 长度不断变大,AQ 的长度不断变大,点 Q 离 BC 越来越远,即点 Q 到 BC 所在直线的距离也随着变大;在点 P 从点 B 出发沿 BN 方向运动的过程中,随着 BP 长度不断变大,AQ 的长度不断变大,点 Q 离 BC 越来越近,然后又逐渐远离 BC,即点 Q 到 BC 所在直线的距离先变小,再变大.
(3)过点 Q 作 QH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H,则 QH 的长为点 Q 到 BC 的距离.如图③,连接 QP,QC,延长 QA,CB 交于点 E,

∵ △ABC 是边长为 2 的等边三角形,
∴ AB = BC = AC = 2,∠ABC=∠ACB=60°.由作图可得 PQ=CQ=PC,
∴ △QPC 是等边三角形,
∴ ∠PCQ=60°,
∴ ∠ACB-∠ACP=∠PCQ-∠ACP,即∠BCP = ∠ACQ. 在 △BCP 和 △ACQ 中, $\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCP=∠ACQ, \\ PC=QC, \end{cases}$
∴ △BCP≌△ACQ(SAS),
∴ AQ=BP=x,∠QAC=∠PBC=90°.
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∵ △ABC 是等边三角形,AD⊥BC,
∴ ∠BAD=∠CAD=$\dfrac{1}{2}$∠BAC=30°,根据题意可得 BD=$\dfrac{1}{2}$AB=$\dfrac{1}{2}$×2=1,
∴ AD = $\sqrt{AB^2-BD^2} = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$.
∵ ∠QAC=90°,
∴ ∠EAC=90°.在 Rt△ACE 中,∠ACE=60°,
∴ ∠AEC=30°.在 Rt△ADE 中,∠ADE=90°,∠AED=30°,
∴ AE = 2AD = $2\sqrt{3}$,
∴ EQ=AE+AQ=$2\sqrt{3}+x$. 又
∵ 在 Rt△EQH 中,∠QHE=90°,∠QEH=30°,
∴ QH=$\dfrac{1}{2}$EQ=$\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}x$.
∴ 点 Q 到 BC 所在直线的距离 y 关于 x 的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x+\sqrt{3}$.
(4)$y=\begin{cases}\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}x(0＜x≤2\sqrt{3}),\\\dfrac{1}{2}x-\sqrt{3}(x＞2\sqrt{3})\end{cases}$
解析:当点 Q 在 BC 的上方时,过点 Q 作 QH⊥BC 于点 H,则 QH 的长为点 Q 到 BC 的距离.如图④,连接 QP,QC,延长 AQ,CB 交于点 E,由(3)同理可得△ACQ≌△BCP,AQ=BP=x,∠QAC=∠PBC=90°,又由(3)同理可得∠AED=30°,AE=$2\sqrt{3}$,
∴ EQ = AE - AQ = $2\sqrt{3}-x$,
∴ QH=$\dfrac{1}{2}$EQ=$\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}x$,
∴ $y = \sqrt{3}-\dfrac{1}{2}x$,此时由 y≥0 得 0＜x≤$2\sqrt{3}$;当点 Q 在 BC 的下方时,过点 Q 作 QH⊥BC 于点 H,则 QH 的长为点 Q 到 BC 的距离.如图⑤,连接 QP,QC,延长 CB 交 QA 于点 E,

由(3)同理可得△ACQ≌△BCP,AQ=BP=x,∠QAC=∠PBC=90°,又由(3)同理可得∠AED=30°,AE=$2\sqrt{3}$,
∴ EQ=AQ-AE=$x-2\sqrt{3}$,
∴ QH=$\dfrac{1}{2}$EQ=$\dfrac{1}{2}x-\sqrt{3}$,
∴ $y=\dfrac{1}{2}x-\sqrt{3} \ (x＞2\sqrt{3})$.
综上所述,点 Q 到 BC 所在直线的距离 y 关于 x 的函数表达式为 $y=\begin{cases}\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}x(0＜x≤2\sqrt{3}),\\\dfrac{1}{2}x-\sqrt{3}(x＞2\sqrt{3})\end{cases}$.

2. （2025·无锡期末）【阅读】小明在某课外书上看到一篇有趣的短文《直角三角形的斜边和一条直角边会相等吗?》,部分内容如下:
如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,作$∠ BAC$的平分线$AO$,作$BC$的垂直平分线$OD$,两线交于点$O$.连接$OB,OC$,作$OE ⊥ AB$于点$E$,$OF ⊥ AC$于点$F$.
可以依次证得如下结论:①$△ AOE ≌ △ AOF$;②$△ BOE ≌ △ COF$;③$AE + EB=AF+FC$,即$AB=AC$.因此直角三角形的斜边和一条直角边是相等的.
【探究】解答下列问题:
(1)小明按照文中所给思路尝试推导,发现结论①②③都成立,请你写出小明的推导过程；
(2)小明认为,如果“直角三角形的斜边和一条直角边相等”成立,会与已学过的某些定理矛盾,你认为小明的观点是否正确,请举例并进行简要分析；

学霸 5星数学 八上（SK）
(3)小明知道直角三角形中斜边一定大于直角边,但是他找不出短文中的“破绽”,请你帮助小明具体指出问题所在,并运用所学知识解释.

(1)①
∵ AO 平分∠BAC,
∴ ∠BAO = ∠CAO.
∵ OE ⊥ AB,OF ⊥ AC,
∴ ∠AEO = ∠AFO = 90°. 在 △AOE 和 △AOF 中,
$\begin{cases} ∠EAO=∠FAO, \\ ∠AEO=∠AFO, \\ AO=AO, \end{cases}$
∴ △AOE≌△AOF(AAS).
②
∵ OD 垂直平分 BC,
∴ OC = OB.
∵ △AOE≌△AOF,
∴ OE = OF.在 Rt△BOE 和 Rt△COF 中, $\begin{cases} OE=OF, \\ OB=OC, \end{cases}$
∴ Rt△BOE ≌ Rt△COF(HL).
③
∵ △AOE≌△AOF,
∴ AE = AF.
∵ Rt△BOE ≌ Rt△COF,
∴ BE = CF,
∴ AE+EB=AF+FC,
∴ AB=AC.
(2)正确,会与勾股定理,三角形内角和定理,垂线段最短等矛盾,如:根据勾股定理得, $AC^2 + BC^2 = AB^2$,
∴ $AC^2 ＜ AB^2$,
∴ AC＜AB;如:三角形内角和定理.
∵ AC = AB,
∴ ∠ACB = ∠ABC=90°,则∠ACB+∠ABC+∠BAC＞180°,故与三角形内角和定理矛盾,因此短文中的结论错误.
(3)如图,作∠BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 M,过点 M 作 ME⊥AB 于 E,
∵ AM 平分∠BAC,ME ⊥ AB,∠ACB = 90°,
∴ ME = MC.在Rt△BME中,
∵ ME 为直角边,MB 为斜边,
∴ ME＜MB,
∴ MC＜MB,
∴ MC＜$\dfrac{1}{2}(MB+MC)$,
∴ MC＜$\dfrac{1}{2}$BC,即点 M 在 BC 中点 D 的下方,
∴ 原图中 AO 和 OD 的交点一定位于△ABC 外部,
∴ 文中所给的图形是错误的.