3. （2025·淮安期末）【发现】(1)如图①,在等腰直角$△ ABC$中,$AB=BC,∠ABC=90^{\circ }$,点B在直线$l$上,过A作$AD⊥l$于点D,过C作$CE⊥l$于点E.小明通过探索发现:$AD+CE=DE$,请证明这个结论.
【应用】(2)①如图②,在$△ ABC$中,$∠ACB$为钝角,把边AC绕点A沿逆时针方向旋转$90^{\circ }$得AD,把边BC绕点B沿顺时针方向旋转$90^{\circ }$得BE,作$DM⊥AB$于点M,$EN⊥AB$于点N,若$DM=3$,$EN=2$,则$AB=$;
②如图③,$△ ABC$是等边三角形纸片,将$△ ABC$纸片折叠,使得点A的对应点D落在BC上,折痕为EF.若$BE=CD$,求$∠AEF$的度数.
【拓展】(3)如图④,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC,∠A=30^{\circ }$,D,E两点分别是边AB,AC上的动点,且$CE=2AD$,将线段DE绕点D顺时针旋转$30^{\circ }$得到线段DF,连接CF,若$BC=2$,则线段CF长度的最小值为.

3. (1)
∵ ∠DAB+∠ABD=90°=∠ABD+∠EBC,
∴ ∠DAB=
∠EBC.又
∵ ∠ADB=90°=∠BEC,AB=BC,
∴ △ABD≌△BCE
(AAS),
∴ DB=CE,AD=BE,
∴ AD+CE=BE+DB=DE,即AD+CE=DE.
(2)①5 解析:由旋转的性质可知,AC=AD,BC=BE,如图①,
作CF⊥AB于点F,
∵ ∠DAM+∠ADM=90°=∠DAM+∠CAF,
∴ ∠ADM=∠CAF.又
∵ ∠AMD=∠CFA,AD=AC,
∴ △AMD≌
△CFA(AAS),
∴ AF=DM=3,同理,△BCF≌△EBN(AAS),
∴ BF=EN=2,
∴ AB=AF+BF=5.
②由折叠的性质可知,AE=DE,∠AEF=∠DEF.
∵ BE=CD,
BE+AE=CD+BD,
∴ AE=BD,
∴ DE=BD.又
∵ ∠B=60°,
∴ △BDE是等边三角形,∠BED=60°.
∵ ∠AEF+∠DEF+
∠BED=180°,
∴ ∠AEF=60°.

(3)$\sqrt{3}$ 解析:由旋转的性质可知,∠EDF=30°,DE=DF,如
图②,在AB上取点G,使DG=AE,连接FG,
∵ ∠A=30°,
∠EDF=30°,
∴ ∠AED+∠ADE=180°−30°=∠GDF+∠ADE,即
∠AED=∠GDF.
∵ DE = DF,∠AED = ∠GDF,AE = DG,
∴ △AED≌△GDF (SAS),
∴ FG = AD,∠DGF = ∠A = 30°.
∵ CE+AE = AD+DG+BG,CE = 2AD,
∴ AD = BG,
∴ FG = BG,
∴ ∠GBF=∠GFB.
∵ ∠GBF+∠GFB=∠DGF=30°,
∴ ∠GBF=
15°,
∴ F在与AB夹角为15°的直线BF上运动.
∵ AB=AC,
∠A=30°,
∴ ∠ABC=∠ACB=$\frac{180°−∠A}{2}$=75°,
∴ ∠CBF=60°.
作CM⊥BF于点M,则∠BCM=30°,CM是线段CF最小的情况,
∴ BM=$\frac{1}{2}$BC=1,由勾股定理得CM=$\sqrt{BC^2−BM^2}=\sqrt{3}$,
∴ 线段CF长度的最小值为$\sqrt{3}$.