1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$为$BC$上一点,以$AD$为腰作等腰$△ ADE$,且$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE=30°$,连接$CE$,若$BD=2$,$S_{△ DCE}=3$,则$CD$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$.

1. 6 解析:
∵ ∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,
∴ ∠BAD = ∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACE(SAS),
∴ BD = CE = 2. 如图,过点 D 作 DF ⊥ EC,交 EC 的延长线于点 F.
∵ △ABD ≌ △ACE,
∴ ∠ACE = ∠B.
∵ ∠BAC = 30°,
∴ ∠B + ∠ACB = 150°,
∴ ∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 150°,
∴ ∠DCF = 30°,
∴ CD = 2DF.
∵ △DCE 的面积为 3,
∴ $\frac{1}{2}DF·CE = \frac{1}{2}×2DF = 3$,
∴ DF = 3,
∴ CD = 2DF = 6.

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$D$为$AB$上一点.若$F$为$CD$上一点,且在线段$BC$的垂直平分线上,$∠ BCD=15°$,求证:$AF=BC$.

2. 连接BF,过点B作BG⊥CD,交CD的延长线于点G,过点A作AH⊥CD于点H,如图.
∵ 点F在BC的垂直平分线上,
∴ FB=FC.
∵ ∠BCD=15°,
∴ ∠BFD=30°.
∵ ∠ACH+∠BCG=90°,∠CBG+∠BCG=90°,
∴ ∠ACH = ∠CBG. 又
∵ BC = AC,∠BGC = ∠AHC = 90°,
∴ △BCG ≌ △CAH(AAS),
∴ AH = CG,CH = BG.
∵ 在△BFG中,∠BFG=30°,
∴ BF=CF=2BG=2CH,
∴ HC=HF,
∴ AH为线段CF的垂直平分线,
∴ AF=AC=BC.

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,如果$AC=\frac{1}{2}AB$,那么$∠ B=30°$.
请你根据上述命题,解决下面的问题:
(1)如图①,$A,B$为格点,以$A$为圆心,$AB$长为半径画弧交直线$l$于点$C$,则$∠ CAB=\_\_\_\_\_\_°$.
(2)如图②,$D,F$为格点,按要求在网格中作图(保留作图痕迹):作$\mathrm{Rt}△ DEF$,使点$E$在直线$l$上,并且$∠ DEF=90°$,$∠ EDF=15°$.
(3)如图③,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$D$为$△ ABC$内一点,$AD=AC$,$CE ⊥ AD$于$E$,且$CE=\frac{1}{2}AC$.
①求$∠ BAD$的度数;
②求证:$BD=CD$.

3. (1) 30 解析:如图①,作 CF ⊥ AB 于点 F.由作图可知 AC=AB=2CF,
∴ ∠CAB=30°.
(2)如图②,△DEF 即为所求.
(3)①由题可得∠ABC=∠BAC=45°.
∵ CE⊥AD于E,且CE=$\frac{1}{2}$AC,
∴ ∠CAD=30°,
∴ ∠BAD=15°.
②如图③,作 DH ⊥ BC 于点 H.
∵ ∠AEC=90°,∠CAE=30°,
∴ ∠ACE=60°.
∵ AD=AC,
∴ ∠ACD=∠ADC=75°,
∴ ∠DCE=∠DCH=15°.
∵ ∠CED=∠CHD=90°,CD=CD,
∴ △CDE ≌ △CDH(AAS),
∴ CE=CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC,
∴ BH=CH.
∵ DH⊥BC,
∴ BD=CD.