例2 如图4-1-1,在四边形ABCD中,AB = AD,BC = CD,∠BAD = 60°,点E在AD边上,且CE // AB,CE与BD相交于点F.若AB = 4,CE = 3,则BC边的长为.
解:如图4-1-1,连结AC交BD于点O.
∵ AB = AD, BC = CD, ∴ AC垂直平分BD.
∵ AB = AD, ∠BAD = 60°, ∴ △ABD是等边三角形.
∴ ∠BAC = ∠DAC = 30°, BD = AD = AB = 4, OB = OD = 2.
∵ CE // AB, ∴ ∠ACE = ∠BAC = ∠DAC.
∴ AE = CE = 3, DE = AD - AE = 1.
∵ CE // AB, ∴ ∠CED = ∠BAD = ∠ADB = 60°,
∴ △DEF是等边三角形,即EF = DF = DE = 1.
∴ CF = CE - EF = 2, OF = OD - DF = 1.
∴ 在Rt△CFO中, OC = $\sqrt{CF^2 - OF^2}$ = $\sqrt{3}$, 在Rt△BCO中, BC = $\sqrt{OB^2 + OC^2}$ = $\sqrt{7}$.
评析:在解决几何问题时,常常通过添加辅助线构造出解决问题所需要的基本图形.例如,利用勾股定理构造直角三角形,利用角平分线和两条直线的平行关系构造等腰三角形等.

解：如图4-1-1，连结AC交BD于点O。
∵ AB = AD，BC = CD，
∴ AC垂直平分BD。
∵ AB = AD，∠BAD = 60°，
∴ △ABD是等边三角形。
∴ ∠BAC = ∠DAC = 30°，BD = AD = AB = 4，OB = OD = 2。
∵ CE // AB，
∴ ∠ACE = ∠BAC = ∠DAC。
∴ AE = CE = 3，DE = AD - AE = 1。
∵ CE // AB，
∴ ∠CED = ∠BAD = ∠ADB = 60°，
∴ △DEF是等边三角形，即EF = DF = DE = 1。
∴ CF = CE - EF = 2，OF = OD - DF = 1。
∴ 在Rt△CFO中，$OC = \sqrt{CF^2 - OF^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
在Rt△BCO中，$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}$。
故BC边的长为$\sqrt{7}$。

例3 在一棵树上10m高的B处玩耍的两只猴子看到地面C处有食物，一只猴子爬下树走到离树20m的C处，另一只猴子爬到树顶D处后直接跳到C处（距离以直线段计算）。如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高多少米。
解:根据题意作出图形，如图4-1-2，$AB = 10\,\mathrm{m}$，$AC = 20\,\mathrm{m}$。
设$BD$的长为$x\,\mathrm{m}$，则$AD = (x + 10)\,\mathrm{m}$。
因为$AC + AB = CD + BD$，所以$CD = 20 + 10 - x$。
在$△ ACD$中，$∠ A = 90°$，所以$AC^2 + AD^2 = CD^2$。
即$20^2 + (x + 10)^2 = (30 - x)^2$，解得$x = 5$。
所以$AD = x + 10 = 15$，即这棵树高为$15\,\mathrm{m}$。
评析:运用勾股定理解决问题时要注意数形结合，有的问题直接求解有困难，可通过设未知数利用直角三角形三边的关系构建方程，把几何问题转化为代数问题来解决。
例4 如图4-1-3，沿$AE$折叠长方形纸片$ABCD$，使点$D$落在$BC$边上的点$F$处。已知$AB = 8\,\mathrm{cm}$，$BC = 10\,\mathrm{cm}$，求$CE$的长。
分析:由折叠特征知$△ AED ≌ △ AEF$，所以$AF = AD$，$EF = DE$。
从而由勾股定理可得$BF = \sqrt{AF^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$CF = BC - BF = 4\,\mathrm{cm}$，设$CE = x\,\mathrm{cm}$，则$EF = DE = (8 - x)\,\mathrm{cm}$。利用勾股定理可构建方程，请你把本题解答完成。

解：
由题意可知四边形ABCD是矩形，因此$AD=BC=10\,\mathrm{cm}$，$∠ B=∠ C=90°$。
由折叠的性质得$△ AED ≌ △ AEF$，
$\therefore AF=AD=10\,\mathrm{cm}$，$EF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$BF = \sqrt{AF^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\,\mathrm{cm}$，
$\therefore CF = BC - BF = 10 - 6 = 4\,\mathrm{cm}$。
设$CE = x\,\mathrm{cm}$，则$DE=(8-x)\,\mathrm{cm}$，因此$EF=DE=(8-x)\,\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，由勾股定理得：
$CE^2 + CF^2 = EF^2$
即$x^2 + 4^2 = (8-x)^2$，
展开整理得$16x=48$，
解得$x=3$。
答：$CE$的长为$3\,\mathrm{cm}$。