5. 不透明的袋子中装有一个几何体模型,两名同学摸该模型并描述它的特征.甲说：“它有4个面是三角形.”乙说：“它有6条棱.”则该模型对应的立体图形可能是(
A.三棱柱
B.四棱柱
C.三棱锥
D.四棱锥
C
).A.三棱柱
B.四棱柱
C.三棱锥
D.四棱锥
答案
【解析】：
首先，我们根据甲的描述，该几何体有4个面是三角形。这提示我们该几何体可能是一个锥体或三角形的某种组合体，因为锥体的侧面通常是三角形。
接着，乙说该几何体有6条棱。我们知道，一个三棱锥由4个面组成，其中每一个面都是一个三角形，并且它有6条棱（每条棱由两个面共享）。
现在，我们逐一对比选项：
A. 三棱柱：通常有5个面（3个矩形侧面和2个三角形底面），不符合甲的描述。
B. 四棱柱：有6个面（4个矩形侧面和2个四边形底面），也不符合甲的描述。
C. 三棱锥：有4个三角形面和6条棱，完全符合甲和乙的描述。
D. 四棱锥：有5个面（4个三角形侧面和1个四边形底面），不符合甲的描述。
因此，我们可以确定该几何体是一个三棱锥。
【答案】：C. 三棱锥。
首先，我们根据甲的描述，该几何体有4个面是三角形。这提示我们该几何体可能是一个锥体或三角形的某种组合体，因为锥体的侧面通常是三角形。
接着，乙说该几何体有6条棱。我们知道，一个三棱锥由4个面组成，其中每一个面都是一个三角形，并且它有6条棱（每条棱由两个面共享）。
现在，我们逐一对比选项：
A. 三棱柱：通常有5个面（3个矩形侧面和2个三角形底面），不符合甲的描述。
B. 四棱柱：有6个面（4个矩形侧面和2个四边形底面），也不符合甲的描述。
C. 三棱锥：有4个三角形面和6条棱，完全符合甲和乙的描述。
D. 四棱锥：有5个面（4个三角形侧面和1个四边形底面），不符合甲的描述。
因此，我们可以确定该几何体是一个三棱锥。
【答案】：C. 三棱锥。
6. 下列平面图形沿虚线旋转一周,可以得到如图所示的几何体的是(
D
).答案
D
7. 圆柱的底面与侧面相交形成的线有
两
条,是曲
线；圆锥的侧面与底面相交形成一
条线,是曲
线；圆柱和圆锥的侧面都是曲
的面,底面都是平
的面.答案
【解析】：
本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，特别是圆柱和圆锥的几何特性。
对于圆柱，其底面是一个圆，侧面是一个曲面。当底面与侧面相交时，会形成两条与底面圆周相等的线，这两条线是圆，因此是曲线。
对于圆锥，其底面也是一个圆，侧面同样是一个曲面。当侧面与底面相交时，只会形成一条与底面圆周相等的线，这条线同样是圆的一部分，即曲线，但在这里特指为圆的一条弧，不过通常我们仍称之为曲线。
圆柱和圆锥的侧面都是弯曲的，所以是曲的面。
而它们的底面都是平的，所以是平的面。
【答案】：
7. 两；曲；一；曲；曲；平。
本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，特别是圆柱和圆锥的几何特性。
对于圆柱，其底面是一个圆，侧面是一个曲面。当底面与侧面相交时，会形成两条与底面圆周相等的线，这两条线是圆，因此是曲线。
对于圆锥，其底面也是一个圆，侧面同样是一个曲面。当侧面与底面相交时，只会形成一条与底面圆周相等的线，这条线同样是圆的一部分，即曲线，但在这里特指为圆的一条弧，不过通常我们仍称之为曲线。
圆柱和圆锥的侧面都是弯曲的，所以是曲的面。
而它们的底面都是平的，所以是平的面。
【答案】：
7. 两；曲；一；曲；曲；平。
8. (数学文化)18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为“欧拉公式”.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题：四面体长方体正八面体正十二面体
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是
(2)一个多面体的面数比顶点数小8,且有30条棱,则这个多面体的顶点数是
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体表面三角形的个数为x个,八边形的个数为y个,则x+y的值为
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是
$V + F - E = 2$
.(2)一个多面体的面数比顶点数小8,且有30条棱,则这个多面体的顶点数是
20
.(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体表面三角形的个数为x个,八边形的个数为y个,则x+y的值为
26
.答案
【解析】：
(1) 根据所给的多面体模型，我们可以填写表格：
四面体：顶点数 $V = 4$, 面数 $F = 4$, 棱数 $E = 6$
长方体：顶点数 $V = 8$, 面数 $F = 6$, 棱数 $E = 12$
正八面体：顶点数 $V = 6$, 面数 $F = 8$, 棱数 $E = 12$
正十二面体：顶点数 $V = 20$, 面数 $F = 12$, 棱数 $E = 30$
观察顶点数 $V$、面数 $F$、棱数 $E$ 之间存在的关系式是 $V + F - E = 2$
故答案为：6；6；30；$V + F - E = 2$
(2) 设这个多面体的顶点数为 $x$，则面数为 $x - 8$，棱数为 30。
根据欧拉公式 $V + F - E = 2$，
代入得：$x + (x - 8) - 30 = 2$
$2x - 38 = 2$
$2x = 40$
$x = 20$
故答案为：20
(3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有 48 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱。
设该多面体表面三角形的个数为 $x$ 个，八边形的个数为 $y$ 个。
由题意知，顶点数 $V = 48$，棱数 $E = \frac{48 × 3}{2} = 72$（因为每个顶点有3条棱，但每条棱被两个顶点共享）。
面数 $F = x + y$。
根据欧拉公式 $V + F - E = 2$，
代入得：$48 + (x + y) - 72 = 2$
$x + y = 26$
故答案为：26
【答案】：
(1) 6；6；30；$V + F - E = 2$
(2) 20
(3) 26
(1) 根据所给的多面体模型，我们可以填写表格：
四面体：顶点数 $V = 4$, 面数 $F = 4$, 棱数 $E = 6$
长方体：顶点数 $V = 8$, 面数 $F = 6$, 棱数 $E = 12$
正八面体：顶点数 $V = 6$, 面数 $F = 8$, 棱数 $E = 12$
正十二面体：顶点数 $V = 20$, 面数 $F = 12$, 棱数 $E = 30$
观察顶点数 $V$、面数 $F$、棱数 $E$ 之间存在的关系式是 $V + F - E = 2$
故答案为：6；6；30；$V + F - E = 2$
(2) 设这个多面体的顶点数为 $x$，则面数为 $x - 8$，棱数为 30。
根据欧拉公式 $V + F - E = 2$，
代入得：$x + (x - 8) - 30 = 2$
$2x - 38 = 2$
$2x = 40$
$x = 20$
故答案为：20
(3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有 48 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱。
设该多面体表面三角形的个数为 $x$ 个，八边形的个数为 $y$ 个。
由题意知，顶点数 $V = 48$，棱数 $E = \frac{48 × 3}{2} = 72$（因为每个顶点有3条棱，但每条棱被两个顶点共享）。
面数 $F = x + y$。
根据欧拉公式 $V + F - E = 2$，
代入得：$48 + (x + y) - 72 = 2$
$x + y = 26$
故答案为：26
【答案】：
(1) 6；6；30；$V + F - E = 2$
(2) 20
(3) 26
9. (几何直观、空间观念)如图,小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴,将梯形旋转一周,得到甲、乙两个立体图形.
我们旋转的平面图形是完全一样的,因此旋转后得到的两个立体图形的体积相等.小军
我不同意你的看法,我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等.小红3 cm6 cm甲3 cm6 cm乙
(1)你同意
(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
我们旋转的平面图形是完全一样的,因此旋转后得到的两个立体图形的体积相等.小军
我不同意你的看法,我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等.小红3 cm6 cm甲3 cm6 cm乙
(1)你同意
小红
的说法；(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
解：甲的体积：以3cm为轴旋转，形成圆柱减圆锥。圆柱体积$V_1=π×3^2×6=54π$，圆锥体积$V_2=\frac{1}{3}π×3^2×(6 - 3)=9π$，甲体积$V_甲=54π - 9π=45π$。
乙的体积：以6cm为轴旋转，形成圆柱减圆锥。圆柱体积$V_3=π×3^2×6=54π$，圆锥体积$V_4=\frac{1}{3}π×3^2×(6 - 3)=9π$，乙体积$V_乙=54π - 9π=45π$。
体积比：$45π:45π=1:1$
乙的体积：以6cm为轴旋转，形成圆柱减圆锥。圆柱体积$V_3=π×3^2×6=54π$，圆锥体积$V_4=\frac{1}{3}π×3^2×(6 - 3)=9π$，乙体积$V_乙=54π - 9π=45π$。
体积比：$45π:45π=1:1$
答案
(1)小红
(2)解：甲的体积：以3cm为轴旋转，形成圆柱减圆锥。圆柱体积$V_1=π×3^2×6=54π$，圆锥体积$V_2=\frac{1}{3}π×3^2×(6 - 3)=9π$，甲体积$V_甲=54π - 9π=45π$。
乙的体积：以6cm为轴旋转，形成圆柱减圆锥。圆柱体积$V_3=π×3^2×6=54π$，圆锥体积$V_4=\frac{1}{3}π×3^2×(6 - 3)=9π$，乙体积$V_乙=54π - 9π=45π$。
体积比：$45π:45π=1:1$
