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12.(期中·天津益中学校改编)如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$AD$平分$∠ BAC$,点$P$是$AD$上一点,则(
A.$AB-AC＞PB-PC$
B.$AB-AC=PB+PC$
C.$AB-AC＜PB-PC$
D.$AB+PC=PB+AC$
A
)A.$AB-AC＞PB-PC$
B.$AB-AC=PB+PC$
C.$AB-AC＜PB-PC$
D.$AB+PC=PB+AC$
答案
12. A 【解析】如图,在AB上截取AE=AC,连接PE,则BE=AB−AE=AB−AC.
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠PAE=∠PAC.在△APE和△APC中，$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠PAE=∠PAC, \\ AP=AP, \end{cases}$
∴ △APE≌△APC(SAS),
∴ PE=PC.在△BPE中,BE＞PB−PE,
∴ AB−AC＞PB−PC,故选A.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(期末·河西区)若有四个全等的正方形面积之和是25,则每个小正方形的边长为
13.(期末·河西区)若有四个全等的正方形面积之和是25,则每个小正方形的边长为
$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
.答案
13. $\frac{5}{2}$ 【解析】
∵ 四个全等的正方形面积之和是25,
∴ 每个正方形的面积为$\frac{25}{4}$,
∵ $(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$,
∴ 每个小正方形的边长为$\frac{5}{2}$.故答案为$\frac{5}{2}$.
∵ 四个全等的正方形面积之和是25,
∴ 每个正方形的面积为$\frac{25}{4}$,
∵ $(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$,
∴ 每个小正方形的边长为$\frac{5}{2}$.故答案为$\frac{5}{2}$.
14.(月考·天津南开翔宇学校)如图,方格纸中是9个完全相同的正方形,则∠1+∠2的值为
$\boldsymbol{90°}$
.答案
14. 90° 【解析】如图,在△ABC与△EDF中，$\begin{cases} AB=ED, \\ ∠BAC=∠DEF=90°, \\ AC=EF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△EDF(SAS),
∴ ∠3=∠1,则∠1+∠2=∠3+∠2=90°.故答案为90°.
15.(期中·河西区)如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=8,CD=5,则四边形ABCD的面积是
$\boldsymbol{35}$
.答案
15. 35 【解析】如图,过点D作DE⊥AB,交BA的延长线于点E,则∠E=∠C=90°,
∵ BD平分∠ABC,
∴ DE=DC=5,
∴ 四边形ABCD的面积$S=S_{△BCD}+S_{△BAD}=\frac{1}{2}BC·CD+\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}×8×5+\frac{1}{2}×6×5=35$.故答案为35.
16.(期中·部分区)如图,在$△ ABC$和$△ DBC$中,$∠ ACB=∠ DBC=90°$,E是BC的中点,$DE⊥ AB$,垂足为F,且$AB=DE$.若$BD=8\ \mathrm{cm}$,则AC的长为
$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
.答案
16. 4 cm 【解析】
∵ DE⊥AB,可得∠BFE=90°,
∴ ∠ABC+∠DEB=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ABC+∠A=90°,
∴ ∠A=∠DEB.在△ABC和△EDB中，$\begin{cases} ∠ACB=∠DBC, \\ ∠A=∠DEB, \\ AB=DE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△EDB(AAS),
∴ BD=BC,AC=BE.
∵ E是BC的中点,BD=8 cm,
∴ BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=4 cm,
∴ AC=4 cm.故答案为4 cm.
∵ DE⊥AB,可得∠BFE=90°,
∴ ∠ABC+∠DEB=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ABC+∠A=90°,
∴ ∠A=∠DEB.在△ABC和△EDB中，$\begin{cases} ∠ACB=∠DBC, \\ ∠A=∠DEB, \\ AB=DE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△EDB(AAS),
∴ BD=BC,AC=BE.
∵ E是BC的中点,BD=8 cm,
∴ BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=4 cm,
∴ AC=4 cm.故答案为4 cm.
17.如图,已知△ABC的三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO.若∠BAC=80°,则∠BCA的度数为
$\boldsymbol{60°}$
.答案
17. 60° 【解析】
∵ △ABC的三个内角的平分线交于点O，
∴ ∠ACO=∠BCO,∠BAO=∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°.在△COD和△COB中，$\begin{cases} CD=CB, \\ ∠OCD=∠OCB, \\ CO=CO, \end{cases}$
∴ △COD≌△COB(SAS),
∴ ∠CDO=∠CBO.
∵ ∠CAO=40°,
∴ ∠DAO=180°−∠CAO=140°.
∵ AD=AO,
∴ ∠CDO=∠AOD=20°,
∴ ∠CBO=20°,
∴ ∠ABC=2∠CBO=40°,
∴ ∠BCA=180°−∠BAC−∠ABC=60°.故答案为60°.
∵ △ABC的三个内角的平分线交于点O，
∴ ∠ACO=∠BCO,∠BAO=∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°.在△COD和△COB中，$\begin{cases} CD=CB, \\ ∠OCD=∠OCB, \\ CO=CO, \end{cases}$
∴ △COD≌△COB(SAS),
∴ ∠CDO=∠CBO.
∵ ∠CAO=40°,
∴ ∠DAO=180°−∠CAO=140°.
∵ AD=AO,
∴ ∠CDO=∠AOD=20°,
∴ ∠CBO=20°,
∴ ∠ABC=2∠CBO=40°,
∴ ∠BCA=180°−∠BAC−∠ABC=60°.故答案为60°.
18.(期中·南开区改编)现有一块如图所示的四边形草地ABCD,经测量,∠B=∠C,AB=12 m,BC=8 m,CD=14 m,E是AB边的中点.甲机器人从点B出发以2 m/s的速度沿BC向点C运动,同时乙机器人从点C出发沿CD向点D运动,若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点P和点Q.如果能够在某一时刻使$△ BEP$与$△ CPQ$全等,则乙机器人的运动速度为
$\boldsymbol{2或3}$
m/s.答案
18. 2或3 【解析】
∵ AB=12 m,E是AB边的中点,
∴ BE=6 m.
∵ ∠B=∠C,且△BEP与△CPQ全等,
∴ BP=CQ,BE=CP或CP=BP,BE=CQ.当BP=CQ,BE=CP时,
∵ BE=6 m,BC=8 m,设运动时间为t s,则8−2t=6,解得t=1,
∴ CQ=BP=2×1=2(m),此时乙机器人的运动速度为2÷1=2(m/s)；当CP=BP,BE=CQ时,
∵ BE=6 m,BC=8 m,
∴ BP=CP=$\frac{1}{2}$BQ=4 m,则2t=4,解得t=2,此时CQ=6,乙机器人的运动速度为6÷2=3(m/s).故答案为2或3.
∵ AB=12 m,E是AB边的中点,
∴ BE=6 m.
∵ ∠B=∠C,且△BEP与△CPQ全等,
∴ BP=CQ,BE=CP或CP=BP,BE=CQ.当BP=CQ,BE=CP时,
∵ BE=6 m,BC=8 m,设运动时间为t s,则8−2t=6,解得t=1,
∴ CQ=BP=2×1=2(m),此时乙机器人的运动速度为2÷1=2(m/s)；当CP=BP,BE=CQ时,
∵ BE=6 m,BC=8 m,
∴ BP=CP=$\frac{1}{2}$BQ=4 m,则2t=4,解得t=2,此时CQ=6,乙机器人的运动速度为6÷2=3(m/s).故答案为2或3.
