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9.已知$ M = x^2 - ax $，$ N = -x $，$ P = x^3 + 3x^2 +5 $，若$ M · N + P $的值与$ x $的取值无关，则$ a $的值为（
A.－3
B.3
C.5
D.4
A
）A.－3
B.3
C.5
D.4
答案
9.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确“代数式的值与x的取值无关”的含义：即代数式化简后，所有含x的项的系数都为0。解题时先根据题意写出M·N+P的表达式，再按照整式乘法法则展开，合并同类项后令含x的项的系数为0，即可求出a的值。
【解析】
首先代入表达式计算M·N + P：
$\begin{aligned}M·N + P&=(x^2 - ax)·(-x) + (x^3 + 3x^2 + 5)\\&=x^2·(-x) - ax·(-x) + x^3 + 3x^2 + 5\\&=-x^3 + ax^2 + x^3 + 3x^2 + 5\end{aligned}$
合并同类项后得：
$M·N + P=(a + 3)x^2 + 5$
因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$a + 3 = 0$
解得$a=-3$。
【答案】
A
【知识点】
整式的乘法；合并同类项；代数式值与字母无关的条件
【点评】
本题是整式乘法部分的常见基础题型，核心考查整式运算的准确性和对“取值与字母无关”这一条件的理解，解题关键是正确化简代数式，找准含x的项的系数并列式求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确“代数式的值与x的取值无关”的含义：即代数式化简后，所有含x的项的系数都为0。解题时先根据题意写出M·N+P的表达式，再按照整式乘法法则展开，合并同类项后令含x的项的系数为0，即可求出a的值。
【解析】
首先代入表达式计算M·N + P：
$\begin{aligned}M·N + P&=(x^2 - ax)·(-x) + (x^3 + 3x^2 + 5)\\&=x^2·(-x) - ax·(-x) + x^3 + 3x^2 + 5\\&=-x^3 + ax^2 + x^3 + 3x^2 + 5\end{aligned}$
合并同类项后得：
$M·N + P=(a + 3)x^2 + 5$
因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$a + 3 = 0$
解得$a=-3$。
【答案】
A
【知识点】
整式的乘法；合并同类项；代数式值与字母无关的条件
【点评】
本题是整式乘法部分的常见基础题型，核心考查整式运算的准确性和对“取值与字母无关”这一条件的理解，解题关键是正确化简代数式，找准含x的项的系数并列式求解。
【难度系数】
0.7
10.某同学在计算一个多项式乘$4x^2$时，因抄错运算符号，算成了加上$4x^2$，得到的结果是$3x^2+2x-1$，那么正确的计算结果是 （
A.$-4x^4+8x^3-4x^2$
B.$4x^4+8x^3-4x^2$
C.$-4x^4+x^3-4x^2$
D.$4x^4-8x^3-4x^2$
A
）A.$-4x^4+8x^3-4x^2$
B.$4x^4+8x^3-4x^2$
C.$-4x^4+x^3-4x^2$
D.$4x^4-8x^3-4x^2$
答案
10.A
解析
【分析】
这道题我们采用逆推思路求解：首先已知错误运算（把乘算成加）得到的结果，我们可以先通过减法求出原来的多项式，再用这个多项式乘$4x^2$就能得到正确结果。第一步明确“加$4x^2$得到$3x^2+2x-1$”，说明原多项式等于错误结果减去$4x^2$；第二步再利用单项式乘多项式的运算法则计算正确的乘积即可。
【解析】
设这个多项式为$M$，根据抄错符号的运算可得：
$M + 4x^2 = 3x^2 + 2x - 1$
所以原多项式$M = (3x^2 + 2x - 1) - 4x^2 = -x^2 + 2x - 1$
接下来计算正确的运算结果，即$M × 4x^2$：
$\begin{aligned}(-x^2 + 2x - 1) × 4x^2&= -x^2 × 4x^2 + 2x × 4x^2 + (-1) × 4x^2\\&= -4x^4 + 8x^3 - 4x^2\end{aligned}$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减运算、单项式乘多项式
【点评】
本题需要先通过错误的运算关系反推原多项式，再代入正确的运算求解，解题时要注意整式加减和乘法运算中的符号规则，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
这道题我们采用逆推思路求解：首先已知错误运算（把乘算成加）得到的结果，我们可以先通过减法求出原来的多项式，再用这个多项式乘$4x^2$就能得到正确结果。第一步明确“加$4x^2$得到$3x^2+2x-1$”，说明原多项式等于错误结果减去$4x^2$；第二步再利用单项式乘多项式的运算法则计算正确的乘积即可。
【解析】
设这个多项式为$M$，根据抄错符号的运算可得：
$M + 4x^2 = 3x^2 + 2x - 1$
所以原多项式$M = (3x^2 + 2x - 1) - 4x^2 = -x^2 + 2x - 1$
接下来计算正确的运算结果，即$M × 4x^2$：
$\begin{aligned}(-x^2 + 2x - 1) × 4x^2&= -x^2 × 4x^2 + 2x × 4x^2 + (-1) × 4x^2\\&= -4x^4 + 8x^3 - 4x^2\end{aligned}$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减运算、单项式乘多项式
【点评】
本题需要先通过错误的运算关系反推原多项式，再代入正确的运算求解，解题时要注意整式加减和乘法运算中的符号规则，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
11.已知$3n - 2m = -4$,则代数式$m(n - 4) - n(m - 6)$的值为
-8
.答案
11.-8
解析
【分析】
解决本题不需要单独求出m、n的具体值，解题思路如下：首先利用单项式乘多项式的法则将所求代数式展开，再合并同类项对代数式进行化简，观察化简后的式子和已知条件$3n-2m=-4$的关联，最后将已知条件整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：先化简代数式$m(n - 4) - n(m - 6)$：
1. 按单项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}原式&=mn - 4m - mn + 6n\\\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(mn - mn) + (-4m + 6n)\\&=-4m + 6n\end{aligned}$
3. 提取公因式变形为含已知式的结构：
$原式=2(3n - 2m)$
4. 整体代入已知条件$3n - 2m = -4$计算：
$\begin{aligned}原式&=2×(-4)\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
单项式乘多项式；整式化简求值；整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法运算和代数式求值，解题核心是先对代数式进行化简，再结合已知条件用整体代入的方法计算，避免了单独求解未知数的繁琐，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
解决本题不需要单独求出m、n的具体值，解题思路如下：首先利用单项式乘多项式的法则将所求代数式展开，再合并同类项对代数式进行化简，观察化简后的式子和已知条件$3n-2m=-4$的关联，最后将已知条件整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：先化简代数式$m(n - 4) - n(m - 6)$：
1. 按单项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}原式&=mn - 4m - mn + 6n\\\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(mn - mn) + (-4m + 6n)\\&=-4m + 6n\end{aligned}$
3. 提取公因式变形为含已知式的结构：
$原式=2(3n - 2m)$
4. 整体代入已知条件$3n - 2m = -4$计算：
$\begin{aligned}原式&=2×(-4)\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
单项式乘多项式；整式化简求值；整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法运算和代数式求值，解题核心是先对代数式进行化简，再结合已知条件用整体代入的方法计算，避免了单独求解未知数的繁琐，体现了整体思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
12.先化简,再求值:$2x(x^2 - x + 1) - x(2x^2 + 2x - 3)$,其中$x = -2$.
答案
12.原式$=-4x^2+5x=-26$
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简原式，按照单项式乘多项式的运算法则分别展开两个乘积项，去括号时注意符号变化，再合并同类项得到最简整式；第二步将x=-2代入化简后的式子计算结果，先化简再代入可以减少计算量，避免直接代入导致的运算繁琐和错误。
【解析】
解：先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}原式&=2x· x^2 + 2x·(-x) + 2x·1 - [x·2x^2 + x·2x + x·(-3)]\\&=2x^3 - 2x^2 + 2x - (2x^3 + 2x^2 - 3x)\end{aligned}$
去括号并合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2x^3 - 2x^2 + 2x - 2x^3 - 2x^2 + 3x\\&=-4x^2 + 5x\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-2)^2 + 5×(-2)\\&=-4×4 -10\\&=-16 -10\\&=-26\end{aligned}$
【答案】
原式$=-4x^2+5x=-26$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查运算的规范性，计算时需注意单项式乘多项式要乘遍多项式的每一项，去括号时不要弄错符号，掌握先化简再求值的运算顺序可有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简原式，按照单项式乘多项式的运算法则分别展开两个乘积项，去括号时注意符号变化，再合并同类项得到最简整式；第二步将x=-2代入化简后的式子计算结果，先化简再代入可以减少计算量，避免直接代入导致的运算繁琐和错误。
【解析】
解：先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}原式&=2x· x^2 + 2x·(-x) + 2x·1 - [x·2x^2 + x·2x + x·(-3)]\\&=2x^3 - 2x^2 + 2x - (2x^3 + 2x^2 - 3x)\end{aligned}$
去括号并合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2x^3 - 2x^2 + 2x - 2x^3 - 2x^2 + 3x\\&=-4x^2 + 5x\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-2)^2 + 5×(-2)\\&=-4×4 -10\\&=-16 -10\\&=-26\end{aligned}$
【答案】
原式$=-4x^2+5x=-26$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查运算的规范性，计算时需注意单项式乘多项式要乘遍多项式的每一项，去括号时不要弄错符号，掌握先化简再求值的运算顺序可有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
13. 已知$x^2y=3$，求$-2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)$的值。
答案
13.24
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：首先观察所求代数式的结构，是单项式乘多项式的形式，若直接代入已知条件计算难度大，因此第一步先利用单项式乘多项式的运算法则展开代数式；第二步结合幂的运算的逆运算，将展开后的各项变形为含有已知式$x^2y$的形式；第三步将$x^2y=3$整体代入变形后的式子计算，无需单独求解x、y的具体值，即可快速得到结果。
【解析】
解：根据单项式乘多项式的运算法则展开原式：
$\begin{aligned}-2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)&=-2xy· x^5y^2 + (-2xy)·(-3x^3y) + (-2xy)·(-4x)\\&=-2x^{6}y^{3} + 6x^{4}y^{2} + 8x^{2}y\end{aligned}$
根据幂的乘方逆运算可知：$x^{6}y^{3}=(x^2y)^3$，$x^{4}y^{2}=(x^2y)^2$，将$x^2y=3$整体代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-2×(x^2y)^3 +6×(x^2y)^2 +8×(x^2y)\\&=-2×3^3 +6×3^2 +8×3\\&=-2×27 +6×9 +24\\&=-54 +54 +24\\&=24\end{aligned}$
【答案】
24
【知识点】
单项式乘多项式；幂的运算；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，重点考查整式乘法的运算能力和整体代入的数学思想，通过变形将已知条件整体代入，避免了求解单个未知数的繁琐步骤，能有效简化计算过程，解题时需注意单项式乘多项式的符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：首先观察所求代数式的结构，是单项式乘多项式的形式，若直接代入已知条件计算难度大，因此第一步先利用单项式乘多项式的运算法则展开代数式；第二步结合幂的运算的逆运算，将展开后的各项变形为含有已知式$x^2y$的形式；第三步将$x^2y=3$整体代入变形后的式子计算，无需单独求解x、y的具体值，即可快速得到结果。
【解析】
解：根据单项式乘多项式的运算法则展开原式：
$\begin{aligned}-2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)&=-2xy· x^5y^2 + (-2xy)·(-3x^3y) + (-2xy)·(-4x)\\&=-2x^{6}y^{3} + 6x^{4}y^{2} + 8x^{2}y\end{aligned}$
根据幂的乘方逆运算可知：$x^{6}y^{3}=(x^2y)^3$，$x^{4}y^{2}=(x^2y)^2$，将$x^2y=3$整体代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-2×(x^2y)^3 +6×(x^2y)^2 +8×(x^2y)\\&=-2×3^3 +6×3^2 +8×3\\&=-2×27 +6×9 +24\\&=-54 +54 +24\\&=24\end{aligned}$
【答案】
24
【知识点】
单项式乘多项式；幂的运算；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，重点考查整式乘法的运算能力和整体代入的数学思想，通过变形将已知条件整体代入，避免了求解单个未知数的繁琐步骤，能有效简化计算过程，解题时需注意单项式乘多项式的符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
14.一家房屋的结构如图所示，房子的主人打算把卧室铺上地板，卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为$a$元/平方米，地板的价格为$(a-10)$元/平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？
答案
14.需要$11xy\ \mathrm{m}^2$的地砖,购买地板和地砖至少共需要$(15axy-40xy)$元.
解析
【分析】
解题时先明确铺设地砖的区域是卫生间、厨房、客厅，铺设地板的区域是卧室。首先根据图中给出的尺寸，分别推导每个区域的长和宽，利用矩形面积=长×宽计算各区域面积，求和得到地砖总面积；再计算卧室面积，结合两种材料的单价，分别算出地砖总费用和地板总费用，相加得到总花费即可。
【解析】
解：
1. 计算需要的地砖面积：
客厅是长为$4y$、宽为$2x$的矩形，面积：$S_{\mathrm{客厅}}=4y × 2x = 8xy$；
厨房的宽为$x$，长为$4y-2y=2y$，面积：$S_{\mathrm{厨房}}=x × 2y = 2xy$；
卫生间的宽为$y$，高为$4x-2x-x=x$，面积：$S_{\mathrm{卫生间}}=y × x = xy$；
地砖总面积：$S_{\mathrm{地砖}}=8xy+2xy+xy=11xy \ (\mathrm{平方米})$。
2. 计算购买材料的总费用：
卧室是长为$2y$、高为$4x-2x=2x$的矩形，面积：$S_{\mathrm{卧室}}=2y × 2x = 4xy$。
地砖总费用：$11xy × a = 11axy$（元），
地板总费用：$4xy × (a-10) = 4axy - 40xy$（元），
总费用：$11axy + 4axy -40xy = 15axy -40xy$（元）。
【答案】
至少需要$11xy\ \mathrm{m}^2$的地砖，购买地板和地砖至少共需要$(15axy-40xy)$元。
【知识点】
列代数式，整式的乘法，整式的加减
【点评】
本题结合生活场景考查整式运算的应用，解题核心是准确从图形中提取各区域的边长信息，正确计算各部分面积，再结合单价计算总费用，能有效锻炼学生的读图能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确铺设地砖的区域是卫生间、厨房、客厅，铺设地板的区域是卧室。首先根据图中给出的尺寸，分别推导每个区域的长和宽，利用矩形面积=长×宽计算各区域面积，求和得到地砖总面积；再计算卧室面积，结合两种材料的单价，分别算出地砖总费用和地板总费用，相加得到总花费即可。
【解析】
解：
1. 计算需要的地砖面积：
客厅是长为$4y$、宽为$2x$的矩形，面积：$S_{\mathrm{客厅}}=4y × 2x = 8xy$；
厨房的宽为$x$，长为$4y-2y=2y$，面积：$S_{\mathrm{厨房}}=x × 2y = 2xy$；
卫生间的宽为$y$，高为$4x-2x-x=x$，面积：$S_{\mathrm{卫生间}}=y × x = xy$；
地砖总面积：$S_{\mathrm{地砖}}=8xy+2xy+xy=11xy \ (\mathrm{平方米})$。
2. 计算购买材料的总费用：
卧室是长为$2y$、高为$4x-2x=2x$的矩形，面积：$S_{\mathrm{卧室}}=2y × 2x = 4xy$。
地砖总费用：$11xy × a = 11axy$（元），
地板总费用：$4xy × (a-10) = 4axy - 40xy$（元），
总费用：$11axy + 4axy -40xy = 15axy -40xy$（元）。
【答案】
至少需要$11xy\ \mathrm{m}^2$的地砖，购买地板和地砖至少共需要$(15axy-40xy)$元。
【知识点】
列代数式，整式的乘法，整式的加减
【点评】
本题结合生活场景考查整式运算的应用，解题核心是准确从图形中提取各区域的边长信息，正确计算各部分面积，再结合单价计算总费用，能有效锻炼学生的读图能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
