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9. 已知$\frac{a}{5}=\frac{b}{8}(a≠0)$，那么$\frac{b-a}{a}=$
$\frac{3}{5}$
.答案
$\frac{3}{5}$ 解析:
∵ $\frac{a}{5}=\frac{b}{8}(a≠0)$,
∴ $\frac{b}{a}=\frac{8}{5}$,
∴ $\frac{b-a}{a}=\frac{b}{a}-1=\frac{3}{5}$.
∵ $\frac{a}{5}=\frac{b}{8}(a≠0)$,
∴ $\frac{b}{a}=\frac{8}{5}$,
∴ $\frac{b-a}{a}=\frac{b}{a}-1=\frac{3}{5}$.
10. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-4,4),(0,4)$,点C,D的坐标分别为$(0,1),(2,1)$.若线段AB和CD是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为
$(0,2)$
.答案
(0,2) 解析:如图,连接 AD 与 y 轴交于点 E,则点 E 是位似中心.
设 AD 所在直线的表达式为 y=kx+b(k≠0).∵ A(-4,4),D(2,1),
∴ $\begin{cases}-4k+b=4,\\2k+b=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$
∴ 直线 AD 的表达式为 y=-$\frac{1}{2}x+2$.当 x=0 时,y=2,
∴ 位似中心的坐标是(0,2).故答案为(0,2).
11.（达州中考改编）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，$AE=CF=\dfrac{1}{4}AC$。连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则$\dfrac{S_{△ ADG}}{S_{△ BGH}}$的值为________。
答案
$\frac{3}{4}$ 解析:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ $S_{△ADC}=S_{△ABC}$.
∵ $AE=CF=\frac{1}{4}AC$,AG//CD,CH//AD,
∴ AG : DC = AE : CE = 1 : 3 , CH : AD = CF : AF = 1 : 3 ,
∴ AG : AB = CH : BC = 1 : 3 ,
∴ BG : AB = BH : BC = 2 : 3.又
∵ ∠B = ∠B,
∴ △BGH∽△BAC,
∴ $\frac{S_{△ADC}}{S_{△BAC}}=\frac{S_{△BAC}}{S_{△BGH}}=(\frac{BA}{BG})^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$.
∵ $\frac{S_{△ADG}}{S_{△ADC}}=\frac{1}{3}$,
∴ $\frac{S_{△ADG}}{S_{△BGH}}=\frac{9}{4}×\frac{1}{3}=\frac{3}{4}$.
技法点拨 本题属于“平行型相似”(即“A 型相似”),当一条直线平行于三角形的一边时,必与另外两边(或延长线)构成相似三角形,比例关系为“平行边与原边的比等于对应线段的比”.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ $S_{△ADC}=S_{△ABC}$.
∵ $AE=CF=\frac{1}{4}AC$,AG//CD,CH//AD,
∴ AG : DC = AE : CE = 1 : 3 , CH : AD = CF : AF = 1 : 3 ,
∴ AG : AB = CH : BC = 1 : 3 ,
∴ BG : AB = BH : BC = 2 : 3.又
∵ ∠B = ∠B,
∴ △BGH∽△BAC,
∴ $\frac{S_{△ADC}}{S_{△BAC}}=\frac{S_{△BAC}}{S_{△BGH}}=(\frac{BA}{BG})^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$.
∵ $\frac{S_{△ADG}}{S_{△ADC}}=\frac{1}{3}$,
∴ $\frac{S_{△ADG}}{S_{△BGH}}=\frac{9}{4}×\frac{1}{3}=\frac{3}{4}$.
技法点拨 本题属于“平行型相似”(即“A 型相似”),当一条直线平行于三角形的一边时,必与另外两边(或延长线)构成相似三角形,比例关系为“平行边与原边的比等于对应线段的比”.
12. (2026·成都期中)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以点B为圆心,以适当长为半径作弧,分别交BA,BC于点M,N;②分别以点M,N为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$∠ ABC$内交于点O;③作射线BO,交AD于点E,交CD的延长线于点F.若$CD=2,DE=1$,则$\frac{BE}{EF}=$
2
.答案
2 解析:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD // BC,AB // CD,
∴ ∠AEB = ∠CBE,∠ABE = ∠F.根据作图可知 BF 是 ∠ABC 的平分线,
∴ ∠CBE = ∠ABE,
∴ ∠AEB = ∠CBE = ∠ABE = ∠F = ∠FED,
∴ DE = DF = 1.
∵ AD // BC,
∴ $\frac{BE}{EF}=\frac{CD}{DF}=2$.故答案为 2.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD // BC,AB // CD,
∴ ∠AEB = ∠CBE,∠ABE = ∠F.根据作图可知 BF 是 ∠ABC 的平分线,
∴ ∠CBE = ∠ABE,
∴ ∠AEB = ∠CBE = ∠ABE = ∠F = ∠FED,
∴ DE = DF = 1.
∵ AD // BC,
∴ $\frac{BE}{EF}=\frac{CD}{DF}=2$.故答案为 2.
13. (鞍山中考)如图,在正方形ABCD中,点M为CD边上一点,连接AM,将$△ ADM$绕点A顺时针旋转$90°$得到$△ ABN$,在AM,AN上分别截取AE,AF,使$AE=AF=BC$,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG并延长,交BC于点H.若$AM=\dfrac{25}{3}$,$CH=2$,则AG的长为
$\dfrac{40}{7}$
.答案
$\frac{40}{7}$ 解析:由题意得△ABN≌△ADM,
∴ ∠BAN = ∠DAM,
∴ ∠FAE = ∠BAD = 90°.
∵ AB = AD = AE = AF,
∴ △FAE,△BAD 是等腰直角三角形且△FAE≌△BAD,
∴ EF = BD.如图,
连接 DE,BF.易得△ABF≌△ADE,∴ BF = DE.连接 BE.
∵ EF = BD,BE = EB,
∴ △BEF ≌ △EBD,
∴ ∠GEB = ∠GBE,
∴ BG = EG.又
∵ AB=AE,AG=AG,
∴ △ABG≌△AEG,
∴ ∠BAG = ∠EAG.连接 EH,HM.
∵ AH = AH,AB = AE,
∴ △ABH≌△AEH,
∴ ∠ABH = ∠AEH = 90°.设 AB = BC = CD = AD = a.
∵ AM = $\frac{25}{3}$,CH = 2,
∴ DM = $\sqrt{AM^2-AD^2}=\sqrt{(\frac{25}{3})^2-a^2}$,BH = EH = a-2,EM = $\frac{25}{3}-a$,CM = a - $\sqrt{(\frac{25}{3})^2-a^2}$.
∵ $EH^2+EM^2=CM^2+CH^2$,
∴ $(a-2)^2+(\frac{25}{3}-a)^2=[a-\sqrt{(\frac{25}{3})^2-a^2}]^2+2^2$,得 $3a^2-31a+56=0$,$(3a-7)(a-8)=0$,解得 $a_1=\frac{7}{3}$(舍去),$a_2=8$,
∴ AD=8,BH=6,AH=10.
∵ △BGH∽△DGA,
∴ $\frac{GH}{AG}=\frac{BH}{AD}=\frac{3}{4}$,
∴ AG=$\frac{40}{7}$.
14. 某中学数学社团开展折纸活动.如图,在一张宽为$8\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片$ABCD(AB=8\sqrt{2}\ \mathrm{cm})$,先将纸片折出折痕$BD$,再在边$AD$上取点$P$,将$△ ABP$沿$BP$折叠得到$△ A'BP$,记$A'P$与$BD$的交点为$Q$.在折纸过程中,当点$Q$平分线段$A'P$时,$BA'$恰好平分$∠ DBC$,则$AD$的长为
14
$\mathrm{cm}$.答案
14 解析:如图,延长 PA'交 BC 于点 E,过点 P 作 PF ⊥ BC 于点 F,则 ∠PFB = ∠PFE = 90°.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ AD // BC,∠A = ∠ABC = 90°,
∴ 四边形 ABFP 为矩形,
∴ PF=AB=8√2 cm.BF=AP.根据折叠可得 ∠BA'Q = ∠A = 90° = ∠BA'E,A'B=AB=8√2 cm.
∵ BA'平分 ∠DBC,
∴ ∠A'BQ = ∠A'BE.又
∵ A'B = A'B,
∴ △A'BQ ≌ △A'BE(ASA),
∴ A'Q = A'E.
∵ 点 Q 平分线段 A'P,
∴ PQ=A'Q,
∴ PQ=A'Q=A'E.
∵ AD // BC,
∴ ∠PDQ = ∠EBQ.又
∵ ∠DQP = ∠BQE,
∴ △DPQ∽△BEQ,
∴ $\frac{PD}{BE}=\frac{PQ}{QE}=\frac{1}{2}$.设 PQ=A'Q=A'E=x,则 PE=3x,BF=AP=A'P=2x.由勾股定理得 BE=$\sqrt{A'B^2+A'E^2}=\sqrt{128+x^2}$,
∴ EF=BE-BF=$\sqrt{128+x^2}-2x$,
∴ PD=$\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}\sqrt{128+x^2}$.由勾股定理得 $PF^2+EF^2=PE^2$,即 128 + $(\sqrt{128+x^2}-2x)^2=9x^2$,解得 x=4(负值已舍去),
∴ AP=8,PD=6,
∴ AD=AP+PD=8+6=14.
三、解答题(共52分)
15. (8分)(黄冈中考)如图,在$△ ABC$和$△ DEC$中,$∠ A=∠ D,∠ BCE=∠ ACD$.
(1)求证:$△ ABC∽△ DEC$;
(2)若$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=4:9,BC=6$,求$EC$的长.
15. (8分)(黄冈中考)如图,在$△ ABC$和$△ DEC$中,$∠ A=∠ D,∠ BCE=∠ ACD$.
(1)求证:$△ ABC∽△ DEC$;
(2)若$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=4:9,BC=6$,求$EC$的长.
答案
(1)
∵ ∠BCE = ∠ACD,
∴ ∠BCE + ∠ACE = ∠ACD + ∠ACE,即∠ACB = ∠DCE.又
∵ ∠A = ∠D,
∴ △ABC∽△DEC.
(2)
∵ △ABC∽△DEC,
∴ $\frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=(\frac{BC}{EC})^2=\frac{4}{9}$.又
∵ BC=6,
∴ EC=9.
∵ ∠BCE = ∠ACD,
∴ ∠BCE + ∠ACE = ∠ACD + ∠ACE,即∠ACB = ∠DCE.又
∵ ∠A = ∠D,
∴ △ABC∽△DEC.
(2)
∵ △ABC∽△DEC,
∴ $\frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=(\frac{BC}{EC})^2=\frac{4}{9}$.又
∵ BC=6,
∴ EC=9.
16. (10分)(河北中考改编)如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E.
(1)AB与CD是否垂直?
(2)求AE的值.
(1)AB与CD是否垂直?
是
(填“是”或“否”).(2)求AE的值.
答案
(1)是 解析:如图①,在△ACM 和 △CFD 中,
∵ AC = CF = 2,∠ACM = ∠CFD = 90°,CM = FD = 1,
∴ △ACM ≌ △CFD,
∴ ∠CAM = ∠FCD.
∵ ∠CAM + ∠CMA = 90°,
∴ ∠FCD + ∠CMA = 90°,
∴ ∠CEM = 90°,
∴ AB ⊥ CD.
(2) 如图 ②,在 Rt △ABH 中, AB = $\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.
∵ AC // BD,
∴ ∠CAE = ∠DBE,∠ACE = ∠BDE,
∴ △ACE∽△BDE,
∴ $\frac{AE}{BE}=\frac{AC}{BD}=\frac{2}{3}$,
∴ $\frac{AE}{2\sqrt{5}-AE}=\frac{2}{3}$,解得 $AE=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
