17. (11分)在如图的方格纸中，$△ OAB$的顶点坐标分别为$O(0,0),A(-2,-1),B(-1,-3)$，$△ O_1A_1B_1$与$△ OAB$是以点$P$为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心点$P$的位置，并写出点$P$及点$B$的对应点$B_1$的坐标；
(2)以原点$O$为位似中心，在位似中心的同侧画出$△ OAB$的一个位似图形$△ OA_2B_2$，使它与$△ OAB$的相似比为$2:1$，并写出点$B$的对应点$B_2$的坐标；
(3)$△ OAB$的内部一点$M$的坐标为$(a,b)$，写出点$M$在$△ OA_2B_2$中的对应点$M_2$的坐标.

(1)如图,点 P 即为所求,P(-5,-1),B₁(3,-5).
(2)如图,△OA₂B₂ 即为所求,B₂(-2,-6).
(3)根据位似图形的性质可知,点 M 的对应点 M₂ 的坐标为(2a,2b).

18. (11分)(荆门中考)如图,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2 m, BD=2.1 m.如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6 m,试确定楼的高度OE.

由题意得 ∠GCD = ∠ECO,∠FAB = ∠EAO.易得 △GDC∽△EOC,△FBA∽△EOA.令 OE=a m,AO=b m,CB=x m,则由 △GDC∽△EOC 得 $\frac{GD}{EO}=\frac{CD}{OC}$,即 $\frac{1.6}{a}=\frac{2.1-x}{2+b}$,整理得 3.2+1.6b=2.1a-ax ①,由 △FBA∽△EOA 得 $\frac{FB}{EO}=\frac{AB}{OA}$,即 $\frac{1.6}{a}=\frac{2-x}{b}$,整理得 1.6b=2a-ax ②,将②代入①得 3.2+2a-ax=2.1a-ax,
∴ a=32,即 OE=32 m.故楼的高度 OE 为 32 m.

19. (12分)(2026·成都期中)【问题背景】
(1)如图①,在△ABC中,D是AC上一点,∠ABD=∠C.求证:$AB^2=AD·AC$.
【尝试应用】
(2)如图②,在正方形ABCD中,点E是AD的中点,连接CE交对角线BD于点F,将射线CF绕点C逆时针旋转45°,交BD于点H.求$\frac{FH}{FB}$的值.
【联系拓展】
(3)如图③,在菱形ABCD中,点E在边BC上,$EB=\sqrt{10}$,过点E作EF//BD,∠EAF=$\frac{1}{2}∠ABC$,$2BD=5EF$,$AF=7$,求CE的长.

(1)
∵ ∠ABD = ∠C,∠A = ∠A,
∴ △ABD∽△ACB,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$,
∴ $AB^2=AD·AC$.
(2)设 AE = ED = a,则 DC = 2a,则 EC = $\sqrt{5}a$,BD = $2\sqrt{2}a$.
∵ AD // BC,
∴ $\frac{EF}{CF}=\frac{DF}{BF}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴ BF = $\frac{2}{3}BD=\frac{4\sqrt{2}}{3}a$,CF = $\frac{2}{3}EC=\frac{2\sqrt{5}}{3}a$,由题意知 ∠FCH = ∠FBC = 45°.又
∵ ∠CFH = ∠BFC,
∴ △FHC ∽ △FCB,
∴ $\frac{FC}{FB}=\frac{FH}{FC}$,
∴ FH = $\frac{FC^2}{FB}=\frac{5\sqrt{2}}{6}a$,
∴ $\frac{FH}{FB}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{6}a}{\frac{4\sqrt{2}}{3}a}=\frac{5}{8}$.
(3)如图,延长 EF,AD 交于点 T.
∵ EF // BD,BE // AT,
∴ ∠T = ∠ADB = $\frac{1}{2}∠ADC=\frac{1}{2}∠ABC$,四边形 BETD 是平行四边形,
∴ DT = BE = $\sqrt{10}$,ET = BD.
∵ ∠EAF = $\frac{1}{2}∠ABC$,
∴ ∠T = ∠EAF.又
∵ ∠AEF = ∠TEA,
∴ △EAF∽△ETA,
∴ $\frac{EA}{ET}=\frac{EF}{EA}$.
∵ 2BD = 5EF,
∴ 设 ET = BD = 5a,则 EF = 2a,
∴ $EA^2=ET·EF=10a^2$,
∴ EA = $\sqrt{10}a$.
∵ △EAF∽△ETA,
∴ $\frac{FA}{AT}=\frac{EF}{EA}=\frac{2a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,
∴ AT = $\frac{5FA}{\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{2}$,
∴ AD = AT - DT = $\frac{5\sqrt{10}}{2}=BC$,
∴ CE = BC - BE = $\frac{3\sqrt{10}}{2}$.