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7. 如果有理数 $ m,a,b $ 满足条件 $ |a - m| = |b - m|(a ≠ b) $，那么 $ m $ 称为 $ a $ 与 $ b $ 的对称数. 如：$ |5.5 - 3| = |0.5 - 3|(5.5 ≠ 0.5),3 $ 称为5.5与0.5的对称数.
(1) 下列关于对称数的说法正确的是 ______（填序号）.
① 4.5是3与6的对称数；② -3与3的对称数是0；③ 1是-2与3的对称数.
(2) 若5是3与$ x $的对称数，则$ x = \_\_\_\_\_\_ $；-2与6的对称数是________.
(3) 若$ m $是$ a $与$ b $的对称数，也是$ c $与$ d $的对称数，写出一个$ a,b,c,d $之间始终成立的相等关系.
(1) 下列关于对称数的说法正确的是 ______（填序号）.
① 4.5是3与6的对称数；② -3与3的对称数是0；③ 1是-2与3的对称数.
(2) 若5是3与$ x $的对称数，则$ x = \_\_\_\_\_\_ $；-2与6的对称数是________.
(3) 若$ m $是$ a $与$ b $的对称数，也是$ c $与$ d $的对称数，写出一个$ a,b,c,d $之间始终成立的相等关系.
答案
7. (1) ①② (2) 7 2 (3)
∵m是a与b的对称数，也是c与d的对称数，
∴|a−m|=|b−m|,|c−m|=|d−m|,
∴在数轴上，a,b到m的距离相等，且a≠b,c,d到m的距离相等，且c≠d,
∴a+b=2m,c+d=2m,
∴a+b=c+d.
∵m是a与b的对称数，也是c与d的对称数，
∴|a−m|=|b−m|,|c−m|=|d−m|,
∴在数轴上，a,b到m的距离相等，且a≠b,c,d到m的距离相等，且c≠d,
∴a+b=2m,c+d=2m,
∴a+b=c+d.
解析
【分析】
首先明确“对称数”的定义：若m是a与b的对称数，则满足$|a-m|=|b-m|$且$a≠b$，本质是数轴上a、b两点到点m的距离相等，即m是a、b的中点，可推导得$a+b=2m$。解题时按小问逐一分析：
(1) 对三个说法逐个代入对称数定义验证等式是否成立即可判断正误；
(2) 第一空将已知的对称数5、a=3代入定义列绝对值方程求解，注意排除x=3的情况；第二空根据对称数的含义推导计算即可；
(3) 分别根据对称数的定义推导a、b与m的关系，c、d与m的关系，消去m即可得到四个数的相等关系。
【解析】
(1) 逐一验证：
① 验证4.5是否是3与6的对称数：$|3-4.5|=1.5$，$|6-4.5|=1.5$，满足$|3-4.5|=|6-4.5|$且$3≠6$，故①正确；
② 验证0是否是-3与3的对称数：$|-3-0|=3$，$|3-0|=3$，满足$|-3-0|=|3-0|$且$-3≠3$，故②正确；
③ 验证1是否是-2与3的对称数：$|-2-1|=3$，$|3-1|=2$，$3≠2$，不满足定义，故③错误。
因此选①②。
(2) ① 已知5是3与x的对称数，根据定义得$|3-5|=|x-5|$，即$|x-5|=2$，则$x-5=2$或$x-5=-2$，解得$x=7$或$x=3$，又因为$a≠b$即$x≠3$，故$x=7$；
② 设-2与6的对称数为m，根据定义得$|-2-m|=|6-m|$，若$-2-m=6-m$则等式无解，因此$-2-m=-(6-m)$，化简得：$-2-m=-6+m$，移项得$2m=4$，解得$m=2$。
(3) 推导过程如下：
∵m是a与b的对称数，
∴$|a-m|=|b-m|$且$a≠b$，
∴$a-m=-(b-m)$，整理得$a+b=2m$，
同理，m是c与d的对称数，可得$c+d=2m$，
∴$a+b=c+d$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$
(2) $\boldsymbol{7}$；$\boldsymbol{2}$
(3) $\boldsymbol{a+b=c+d}$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 新定义运算
3. 有理数的加减法
【点评】
本题以新定义“对称数”为背景，结合绝对值的几何意义考查有理数的相关运算与逻辑推导能力，解题核心是准确理解新定义的内涵，将陌生的新定义问题转化为已学的绝对值方程、数轴中点等熟悉的知识点求解。
【难度系数】
0.7
首先明确“对称数”的定义：若m是a与b的对称数，则满足$|a-m|=|b-m|$且$a≠b$，本质是数轴上a、b两点到点m的距离相等，即m是a、b的中点，可推导得$a+b=2m$。解题时按小问逐一分析：
(1) 对三个说法逐个代入对称数定义验证等式是否成立即可判断正误；
(2) 第一空将已知的对称数5、a=3代入定义列绝对值方程求解，注意排除x=3的情况；第二空根据对称数的含义推导计算即可；
(3) 分别根据对称数的定义推导a、b与m的关系，c、d与m的关系，消去m即可得到四个数的相等关系。
【解析】
(1) 逐一验证：
① 验证4.5是否是3与6的对称数：$|3-4.5|=1.5$，$|6-4.5|=1.5$，满足$|3-4.5|=|6-4.5|$且$3≠6$，故①正确；
② 验证0是否是-3与3的对称数：$|-3-0|=3$，$|3-0|=3$，满足$|-3-0|=|3-0|$且$-3≠3$，故②正确；
③ 验证1是否是-2与3的对称数：$|-2-1|=3$，$|3-1|=2$，$3≠2$，不满足定义，故③错误。
因此选①②。
(2) ① 已知5是3与x的对称数，根据定义得$|3-5|=|x-5|$，即$|x-5|=2$，则$x-5=2$或$x-5=-2$，解得$x=7$或$x=3$，又因为$a≠b$即$x≠3$，故$x=7$；
② 设-2与6的对称数为m，根据定义得$|-2-m|=|6-m|$，若$-2-m=6-m$则等式无解，因此$-2-m=-(6-m)$，化简得：$-2-m=-6+m$，移项得$2m=4$，解得$m=2$。
(3) 推导过程如下：
∵m是a与b的对称数，
∴$|a-m|=|b-m|$且$a≠b$，
∴$a-m=-(b-m)$，整理得$a+b=2m$，
同理，m是c与d的对称数，可得$c+d=2m$，
∴$a+b=c+d$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$
(2) $\boldsymbol{7}$；$\boldsymbol{2}$
(3) $\boldsymbol{a+b=c+d}$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 新定义运算
3. 有理数的加减法
【点评】
本题以新定义“对称数”为背景，结合绝对值的几何意义考查有理数的相关运算与逻辑推导能力，解题核心是准确理解新定义的内涵，将陌生的新定义问题转化为已学的绝对值方程、数轴中点等熟悉的知识点求解。
【难度系数】
0.7
8. 实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度(“A－C，100 m”表示A地比C地高100 m).根据这些测量数据，求观测点A相对于观测点B的相对高度.
答案
8. $100+80+60-50+70-20=240(\mathrm{m})$
解析
【分析】
要计算观测点A相对于B的相对高度，首先明确题中相对高度的含义：“X-Y为a m”表示X比Y高a m，即X-Y=a。我们的目标是求A-B的值，可以将给出的相邻观测点的相对高度关系式相加，消去中间的C、D、E、F、G这些观测点，直接得到A和B的高度差，计算时注意准确对应每个相对高度的正负号即可。
【解析】
由题意得各相邻观测点的高度关系：
A比C高100m，即$A-C=100$；
C比D高80m，即$C-D=80$；
E比D低60m，即$E-D=-60$，可得$D-E=60$；
F比E高50m，即$F-E=50$，可得$E-F=-50$；
G比F低70m，即$G-F=-70$，可得$F-G=70$；
G比B低20m，即$G-B=-20$。
将以上所有式子的左右两边分别相加，左边抵消后得到$A-B$，右边对应数值相加：
$\begin{aligned}A-B&=100+80+60-50+70-20\\&=240(\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
观测点A相对于观测点B的相对高度为$\boxed{240\mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 正负数的实际意义
2. 有理数加减运算
3. 相对高度计算
【点评】
本题结合实际测量场景考查有理数运算的实际应用，解题核心是理解正负数代表的相对高度含义，通过拼接关系式抵消中间量得到所求高度差，需要注意符号的对应关系，避免因混淆高低方向出错。
【难度系数】
0.7
要计算观测点A相对于B的相对高度，首先明确题中相对高度的含义：“X-Y为a m”表示X比Y高a m，即X-Y=a。我们的目标是求A-B的值，可以将给出的相邻观测点的相对高度关系式相加，消去中间的C、D、E、F、G这些观测点，直接得到A和B的高度差，计算时注意准确对应每个相对高度的正负号即可。
【解析】
由题意得各相邻观测点的高度关系：
A比C高100m，即$A-C=100$；
C比D高80m，即$C-D=80$；
E比D低60m，即$E-D=-60$，可得$D-E=60$；
F比E高50m，即$F-E=50$，可得$E-F=-50$；
G比F低70m，即$G-F=-70$，可得$F-G=70$；
G比B低20m，即$G-B=-20$。
将以上所有式子的左右两边分别相加，左边抵消后得到$A-B$，右边对应数值相加：
$\begin{aligned}A-B&=100+80+60-50+70-20\\&=240(\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
观测点A相对于观测点B的相对高度为$\boxed{240\mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 正负数的实际意义
2. 有理数加减运算
3. 相对高度计算
【点评】
本题结合实际测量场景考查有理数运算的实际应用，解题核心是理解正负数代表的相对高度含义，通过拼接关系式抵消中间量得到所求高度差，需要注意符号的对应关系，避免因混淆高低方向出错。
【难度系数】
0.7
9. 最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50 km为标准，多于50 km的记为“+”，不足50 km的记为“−”，刚好50 km的记为“0”.
（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走
（2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶路程；
（3）已知新能源汽车每行驶100 km耗电量为15 kW·h，电费为0.4元/(kW·h)，请计算小明家这7天的行驶费用.
（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走
49
km；（2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶路程；
（3）已知新能源汽车每行驶100 km耗电量为15 kW·h，电费为0.4元/(kW·h)，请计算小明家这7天的行驶费用.
答案
9. (1) 49 (2) $50×7+(-8-10-14+0+24+31+35)=350+58=408(\mathrm{km})$ (3) $408÷100×15×0.4=24.48(\mathrm{元})$
解析
【分析】
（1）先从表格中找到路程相对50km的最大偏差和最小偏差，实际路程差等于两个偏差的差值，用最大偏差减去最小偏差即可求解；（2）先计算7天的标准总路程（每天50km共7天），再加上7天的偏差总和，就能得到7天实际总行驶路程；（3）先根据总路程算出总耗电量，再乘以电费单价，即可得到7天的行驶费用。
【解析】
（1）观察表格可知，路程最多的一天偏差为+35km，最少的一天偏差为-14km，二者差值为：
$35 - (-14) = 35 + 14 = 49(\mathrm{km})$
（2）先计算7天的偏差之和：
$-8 -10 -14 + 0 +24 +31 +35 = (-32) + 90 = 58(\mathrm{km})$
7天标准总路程为$50×7=350(\mathrm{km})$，因此实际总路程为：
$350 + 58 = 408(\mathrm{km})$
（3）先计算总耗电量：每100km耗电15kW·h，因此总耗电量为$408÷100×15=61.2(\mathrm{kW·h})$
再计算行驶费用：$61.2×0.4=24.48(\mathrm{元})$
【答案】
（1）$\boxed{49}$；（2）$\boxed{408\mathrm{km}}$；（3）$\boxed{24.48\mathrm{元}}$
【知识点】
正负数的应用；有理数加减运算；有理数乘除运算
【点评】
本题结合新能源汽车行驶的生活场景，考查正负数的实际意义和有理数的四则运算，解题的核心是准确理解正负数代表的含义，再结合基本运算规则计算即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
（1）先从表格中找到路程相对50km的最大偏差和最小偏差，实际路程差等于两个偏差的差值，用最大偏差减去最小偏差即可求解；（2）先计算7天的标准总路程（每天50km共7天），再加上7天的偏差总和，就能得到7天实际总行驶路程；（3）先根据总路程算出总耗电量，再乘以电费单价，即可得到7天的行驶费用。
【解析】
（1）观察表格可知，路程最多的一天偏差为+35km，最少的一天偏差为-14km，二者差值为：
$35 - (-14) = 35 + 14 = 49(\mathrm{km})$
（2）先计算7天的偏差之和：
$-8 -10 -14 + 0 +24 +31 +35 = (-32) + 90 = 58(\mathrm{km})$
7天标准总路程为$50×7=350(\mathrm{km})$，因此实际总路程为：
$350 + 58 = 408(\mathrm{km})$
（3）先计算总耗电量：每100km耗电15kW·h，因此总耗电量为$408÷100×15=61.2(\mathrm{kW·h})$
再计算行驶费用：$61.2×0.4=24.48(\mathrm{元})$
【答案】
（1）$\boxed{49}$；（2）$\boxed{408\mathrm{km}}$；（3）$\boxed{24.48\mathrm{元}}$
【知识点】
正负数的应用；有理数加减运算；有理数乘除运算
【点评】
本题结合新能源汽车行驶的生活场景，考查正负数的实际意义和有理数的四则运算，解题的核心是准确理解正负数代表的含义，再结合基本运算规则计算即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
