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8. 已知$M=2a^2 - ab + b - 1$，$M - 3N = a^2 + 3ab + 2b + 1$。计算$M - [2N - (M - N)]$的结果与字母$b$的取值无关，求$a$的值。
答案
8. 原式$=M-2N+M-N=M+M-3N$,把$M=2a^2-ab+b-1$,$M-3N=a^2+3ab+2b+1$代入,得原式$=2a^2-ab+b-1+a^2+3ab+2b+1=3a^2+2ab+3b=3a^2+(2a+3)b$,因为计算$M-[2N-(M-N)]$的结果与字母$b$的取值无关,所以$2a+3=0$,解得$a=-\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
首先我们需要先化简待求的代数式$M - [2N - (M - N)]$，通过去括号、合并同类项简化式子，观察化简后的结果可发现能用已知的$M$和$M-3N$整体代入，无需单独计算$N$，能简化计算过程。代入后将结果整理为含字母$b$的项和不含$b$的项两部分，根据“代数式的结果与字母$b$的取值无关”的条件，可知含$b$的项的系数为0，据此列方程即可求出$a$的值。
【解析】
先化简待求式：
$\begin{aligned}M - [2N - (M - N)]&=M - (2N - M + N)\\&=M - 3N + M\\&=M+(M-3N)\end{aligned}$
将$M=2a^2 - ab + b - 1$，$M - 3N = a^2 + 3ab + 2b + 1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a^2 - ab + b - 1 + a^2 + 3ab + 2b + 1\\&=3a^2 + 2ab + 3b\\&=3a^2 + (2a + 3)b\end{aligned}$
因为计算结果与字母$b$的取值无关，所以含$b$的项的系数为0，即：
$2a + 3 = 0$
解得：$a = -\frac{3}{2}$
【答案】
$a=-\frac{3}{2}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式取值无关性质；整体代入求值
【点评】
本题是整式加减的典型题型，解题核心是先化简目标代数式，利用整体代入减少计算量，掌握“若代数式的值与某个字母取值无关，则该字母的同次项系数和为0”的结论即可快速解题。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先化简待求的代数式$M - [2N - (M - N)]$，通过去括号、合并同类项简化式子，观察化简后的结果可发现能用已知的$M$和$M-3N$整体代入，无需单独计算$N$，能简化计算过程。代入后将结果整理为含字母$b$的项和不含$b$的项两部分，根据“代数式的结果与字母$b$的取值无关”的条件，可知含$b$的项的系数为0，据此列方程即可求出$a$的值。
【解析】
先化简待求式：
$\begin{aligned}M - [2N - (M - N)]&=M - (2N - M + N)\\&=M - 3N + M\\&=M+(M-3N)\end{aligned}$
将$M=2a^2 - ab + b - 1$，$M - 3N = a^2 + 3ab + 2b + 1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a^2 - ab + b - 1 + a^2 + 3ab + 2b + 1\\&=3a^2 + 2ab + 3b\\&=3a^2 + (2a + 3)b\end{aligned}$
因为计算结果与字母$b$的取值无关，所以含$b$的项的系数为0，即：
$2a + 3 = 0$
解得：$a = -\frac{3}{2}$
【答案】
$a=-\frac{3}{2}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式取值无关性质；整体代入求值
【点评】
本题是整式加减的典型题型，解题核心是先化简目标代数式，利用整体代入减少计算量，掌握“若代数式的值与某个字母取值无关，则该字母的同次项系数和为0”的结论即可快速解题。
【难度系数】
0.6
9. 小明做一道数学题:“已知两个多项式$A=□ x^2 - 4x,B=2x^2 + 3x - 4$,试求$A+3B.$”其中多项式$A$中最高次项的系数印刷不清楚.
(1) 小明看答案以后知道$A+3B=x^2 +5x -12$,请你帮小明求出多项式$A$中最高次项的系数“$□$”;
(2) 在(1)的基础上,老师又给出了一个多项式$C$,要求小明求出$A-C$的结果.小明在求解时,误把“$A-C$”看成“$A+C$”,结果求出的答案为$x^2 -7x -3$.请你帮小明求出“$A-C$”的正确答案.
(1) 小明看答案以后知道$A+3B=x^2 +5x -12$,请你帮小明求出多项式$A$中最高次项的系数“$□$”;
(2) 在(1)的基础上,老师又给出了一个多项式$C$,要求小明求出$A-C$的结果.小明在求解时,误把“$A-C$”看成“$A+C$”,结果求出的答案为$x^2 -7x -3$.请你帮小明求出“$A-C$”的正确答案.
答案
9. (1) $\because B=2x^2+3x-4$,$\therefore 3B=3(2x^2+3x-4)=6x^2+9x-12$,$\because A+3B=x^2+5x-12$,$\therefore A=(x^2+5x-12)-(6x^2+9x-12)=x^2+5x-12-6x^2-9x+12=-5x^2-4x$,$\therefore$多项式$A$中最高次项的系数“$□$”为$-5$.
(2) $\because A=-5x^2-4x$,$A+C=x^2-7x-3$,$\therefore C=(x^2-7x-3)-(-5x^2-4x)=x^2-7x-3+5x^2+4x=6x^2-3x-3$,$\therefore A-C=(-5x^2-4x)-(6x^2-3x-3)=-5x^2-4x-6x^2+3x+3=-11x^2-x+3$.
(2) $\because A=-5x^2-4x$,$A+C=x^2-7x-3$,$\therefore C=(x^2-7x-3)-(-5x^2-4x)=x^2-7x-3+5x^2+4x=6x^2-3x-3$,$\therefore A-C=(-5x^2-4x)-(6x^2-3x-3)=-5x^2-4x-6x^2+3x+3=-11x^2-x+3$.
解析
【分析】
(1) 要确定A的最高次项系数，可先计算出3B的结果，再根据“A=(A+3B)-3B”的关系求出完整的A的表达式，即可得到对应系数。
(2) 小明误将A-C看成A+C得到结果，可先利用错误的等式求出多项式C，再代入A-C进行整式加减运算，就能得到正确结果。
【解析】
(1) 已知$B=2x^2+3x-4$，先计算3B：
$3B=3(2x^2+3x-4)=6x^2+9x-12$
又已知$A+3B=x^2 +5x -12$，因此：
$A=(x^2 +5x -12) - 3B$
代入3B的表达式得：
$A=(x^2 +5x -12)-(6x^2+9x-12)$
去括号得：$A=x^2 +5x -12 -6x^2 -9x +12$
合并同类项得：$A=-5x^2 -4x$
所以多项式A中最高次项的系数“”为$-5$。
(2) 已知小明误算$A+C$的结果为$x^2 -7x -3$，且$A=-5x^2 -4x$，因此先求C：
$C=(x^2 -7x -3) - A$
代入A的表达式得：
$C=(x^2 -7x -3)-(-5x^2 -4x)$
去括号得：$C=x^2 -7x -3 +5x^2 +4x$
合并同类项得：$C=6x^2 -3x -3$
再计算正确的$A-C$：
$A-C=(-5x^2 -4x)-(6x^2 -3x -3)$
去括号得：$A-C=-5x^2 -4x -6x^2 +3x +3$
合并同类项得：$A-C=-11x^2 -x +3$
【答案】
(1) $\boxed{-5}$；(2) $\boxed{-11x^2 -x +3}$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题关键是根据题意正确列出对应代数式，运算时注意去括号的符号变化，熟练掌握合并同类项法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定A的最高次项系数，可先计算出3B的结果，再根据“A=(A+3B)-3B”的关系求出完整的A的表达式，即可得到对应系数。
(2) 小明误将A-C看成A+C得到结果，可先利用错误的等式求出多项式C，再代入A-C进行整式加减运算，就能得到正确结果。
【解析】
(1) 已知$B=2x^2+3x-4$，先计算3B：
$3B=3(2x^2+3x-4)=6x^2+9x-12$
又已知$A+3B=x^2 +5x -12$，因此：
$A=(x^2 +5x -12) - 3B$
代入3B的表达式得：
$A=(x^2 +5x -12)-(6x^2+9x-12)$
去括号得：$A=x^2 +5x -12 -6x^2 -9x +12$
合并同类项得：$A=-5x^2 -4x$
所以多项式A中最高次项的系数“”为$-5$。
(2) 已知小明误算$A+C$的结果为$x^2 -7x -3$，且$A=-5x^2 -4x$，因此先求C：
$C=(x^2 -7x -3) - A$
代入A的表达式得：
$C=(x^2 -7x -3)-(-5x^2 -4x)$
去括号得：$C=x^2 -7x -3 +5x^2 +4x$
合并同类项得：$C=6x^2 -3x -3$
再计算正确的$A-C$：
$A-C=(-5x^2 -4x)-(6x^2 -3x -3)$
去括号得：$A-C=-5x^2 -4x -6x^2 +3x +3$
合并同类项得：$A-C=-11x^2 -x +3$
【答案】
(1) $\boxed{-5}$；(2) $\boxed{-11x^2 -x +3}$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题关键是根据题意正确列出对应代数式，运算时注意去括号的符号变化，熟练掌握合并同类项法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10. 我们规定:使得 $a - b = 2ab$ 成立的一对数 $a,b$ 为“有趣数对”，记为 $(a,b)$. 例如:因为 $2 - 0.4 = 2 × 2 × 0.4, (-1) - 1 = 2 × (-1) × 1$，所以数对 $(2,0.4), (-1,1)$ 都是“有趣数对”.
(1) 在数对 $(1, \frac{1}{3}), (1.5, 3), (-\frac{1}{2}, -1)$ 中是“有趣数对”的是 ______;
(2) 若 $(k, -3)$ 是“有趣数对”，求 $k$ 的值;
(3) 若 $(m,n)$ 是“有趣数对”，求代数式 $8[3mn - \frac{1}{2}m - 2(mn - 1)] - 4(3m^2 - n) + 12m^2$ 的值.
(1) 在数对 $(1, \frac{1}{3}), (1.5, 3), (-\frac{1}{2}, -1)$ 中是“有趣数对”的是 ______;
(2) 若 $(k, -3)$ 是“有趣数对”，求 $k$ 的值;
(3) 若 $(m,n)$ 是“有趣数对”，求代数式 $8[3mn - \frac{1}{2}m - 2(mn - 1)] - 4(3m^2 - n) + 12m^2$ 的值.
答案
10. (1) $(1,\frac{1}{3})$
(2) 因为$(k,-3)$是“有趣数对”,所以$k-(-3)=2× k×(-3)$,解得$k=-\frac{3}{7}$.
(3) 原式$=8(3mn-\frac{1}{2}m-2mn+2)-12m^2+4n+12m^2=24mn-4m-16mn+16-12m^2+4n+12m^2=8mn-4m+4n+16=8mn-4(m-n)+16$,因为$(m,n)$是“有趣数对”,所以$m-n=2mn$.把$m-n=2mn$代入,得原式$=16$.
(2) 因为$(k,-3)$是“有趣数对”,所以$k-(-3)=2× k×(-3)$,解得$k=-\frac{3}{7}$.
(3) 原式$=8(3mn-\frac{1}{2}m-2mn+2)-12m^2+4n+12m^2=24mn-4m-16mn+16-12m^2+4n+12m^2=8mn-4m+4n+16=8mn-4(m-n)+16$,因为$(m,n)$是“有趣数对”,所以$m-n=2mn$.把$m-n=2mn$代入,得原式$=16$.
解析
【分析】
(1) 本题可根据“有趣数对”的定义，将每个数对的两个数分别代入等式$a-b=2ab$，验证左右两边是否相等，相等的即为符合要求的数对；
(2) 已知$(k,-3)$是“有趣数对”，将$a=k$、$b=-3$代入定义的等式，得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值；
(3) 先按照整式加减的运算法则（去括号、合并同类项）化简给定的代数式，再根据“有趣数对”的定义得到$m-n=2mn$，将其作为整体代入化简后的代数式计算即可，无需单独求解$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 逐个验证数对：
① 对于$(1,\frac{1}{3})$：左边$a-b=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，右边$2ab=2×1×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，左边=右边，符合要求；
② 对于$(1.5,3)$：左边$a-b=1.5-3=-1.5$，右边$2ab=2×1.5×3=9$，左边≠右边，不符合要求；
③ 对于$(-\frac{1}{2},-1)$：左边$a-b=-\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}$，右边$2ab=2×(-\frac{1}{2})×(-1)=1$，左边≠右边，不符合要求；
故是“有趣数对”的是$(1,\frac{1}{3})$。
(2) 因为$(k,-3)$是“有趣数对”，代入定义式得：
$k-(-3)=2× k×(-3)$
整理得：$k+3=-6k$
移项合并同类项得：$7k=-3$
解得：$k=-\frac{3}{7}$。
(3) 先化简代数式：
$\begin{aligned}&8[3mn - \frac{1}{2}m - 2(mn - 1)] - 4(3m^2 - n) + 12m^2\\=&8(3mn-\frac{1}{2}m-2mn+2)-12m^2+4n+12m^2\\=&24mn-4m-16mn+16-12m^2+4n+12m^2\\=&8mn-4m+4n+16\\=&8mn-4(m-n)+16\end{aligned}$
因为$(m,n)$是“有趣数对”，所以$m-n=2mn$，将其代入上式：
原式$=8mn-4×2mn+16=8mn-8mn+16=16$。
【答案】
(1) $(1,\frac{1}{3})$；(2) $k=-\frac{3}{7}$；(3) $16$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的解法，整式的化简求值
【点评】
本题依托新定义背景，综合考查了方程求解和整式运算能力，解题核心是准确理解新定义的运算规则，第三问运用整体代入思想可大幅简化计算过程，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可根据“有趣数对”的定义，将每个数对的两个数分别代入等式$a-b=2ab$，验证左右两边是否相等，相等的即为符合要求的数对；
(2) 已知$(k,-3)$是“有趣数对”，将$a=k$、$b=-3$代入定义的等式，得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值；
(3) 先按照整式加减的运算法则（去括号、合并同类项）化简给定的代数式，再根据“有趣数对”的定义得到$m-n=2mn$，将其作为整体代入化简后的代数式计算即可，无需单独求解$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 逐个验证数对：
① 对于$(1,\frac{1}{3})$：左边$a-b=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，右边$2ab=2×1×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，左边=右边，符合要求；
② 对于$(1.5,3)$：左边$a-b=1.5-3=-1.5$，右边$2ab=2×1.5×3=9$，左边≠右边，不符合要求；
③ 对于$(-\frac{1}{2},-1)$：左边$a-b=-\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}$，右边$2ab=2×(-\frac{1}{2})×(-1)=1$，左边≠右边，不符合要求；
故是“有趣数对”的是$(1,\frac{1}{3})$。
(2) 因为$(k,-3)$是“有趣数对”，代入定义式得：
$k-(-3)=2× k×(-3)$
整理得：$k+3=-6k$
移项合并同类项得：$7k=-3$
解得：$k=-\frac{3}{7}$。
(3) 先化简代数式：
$\begin{aligned}&8[3mn - \frac{1}{2}m - 2(mn - 1)] - 4(3m^2 - n) + 12m^2\\=&8(3mn-\frac{1}{2}m-2mn+2)-12m^2+4n+12m^2\\=&24mn-4m-16mn+16-12m^2+4n+12m^2\\=&8mn-4m+4n+16\\=&8mn-4(m-n)+16\end{aligned}$
因为$(m,n)$是“有趣数对”，所以$m-n=2mn$，将其代入上式：
原式$=8mn-4×2mn+16=8mn-8mn+16=16$。
【答案】
(1) $(1,\frac{1}{3})$；(2) $k=-\frac{3}{7}$；(3) $16$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的解法，整式的化简求值
【点评】
本题依托新定义背景，综合考查了方程求解和整式运算能力，解题核心是准确理解新定义的运算规则，第三问运用整体代入思想可大幅简化计算过程，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
