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4. 用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成,硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)A方法:剪6个侧面;B方法:剪4个侧面和5个底面.现有19张硬纸板,裁剪时x张采用A方法,其余采用B方法.
(1) 用含x的代数式表示底面的个数为
(2) 求裁剪出的侧面的个数(用含x的代数式表示);
(3) 倘若剪裁出的侧面和底面恰好全部用完,能做多少个盒子?
(1) 用含x的代数式表示底面的个数为
$95-5x$
;(2) 求裁剪出的侧面的个数(用含x的代数式表示);
(3) 倘若剪裁出的侧面和底面恰好全部用完,能做多少个盒子?
答案
4. (1) $95-5x$
(2) 由题意,得裁剪出的侧面的个数为$6x+4(19-x)=(76+2x)$个.
(3) $\because$剪裁出的侧面和底面恰好全部用完,$\therefore$裁剪出的侧面个数和底面个数恰好配套,$\therefore2(76+2x)=3(95-5x)$,解得$x=7$,$(95-5×7)÷2=30$(个). 能做30个盒子.
(2) 由题意,得裁剪出的侧面的个数为$6x+4(19-x)=(76+2x)$个.
(3) $\because$剪裁出的侧面和底面恰好全部用完,$\therefore$裁剪出的侧面个数和底面个数恰好配套,$\therefore2(76+2x)=3(95-5x)$,解得$x=7$,$(95-5×7)÷2=30$(个). 能做30个盒子.
解析
【分析】
(1) 首先明确裁剪规则：A方法不产生底面，B方法每张硬纸板可剪出5个底面。总共有19张硬纸板，x张用A方法，那么用B方法的张数为$(19-x)$张，底面总个数就是所有B方法裁剪出的底面之和，据此列代数式化简即可。
(2) A方法每张剪6个侧面，B方法每张剪4个侧面，分别计算两种方法裁剪的侧面数量后相加，再化简代数式即可得到侧面总个数。
(3) 每个盒子需要3个侧面、2个底面，侧面和底面恰好用完说明二者满足配套关系：侧面总数$:$底面总数$=3:2$，也就是$2×$侧面总数$=3×$底面总数，据此列方程求解x，再根据底面总数除以2（或侧面总数除以3）即可算出盒子总数。
【解析】
(1) 用B方法的硬纸板有$(19-x)$张，每张B方法剪5个底面，因此底面总个数为：
$5(19-x)=95-5x$
(2) A方法裁剪的侧面个数为$6x$，B方法裁剪的侧面个数为$4(19-x)$，因此侧面总个数为：
$6x+4(19-x)$
$=6x+76-4x$
$=76+2x$（个）
(3) 由侧面和底面恰好配套可得等量关系：$2×$侧面总数$=3×$底面总数，代入代数式得：
$2(76+2x)=3(95-5x)$
去括号得：$152+4x=285-15x$
移项合并同类项得：$19x=133$
解得：$x=7$
底面总个数为$95-5×7=60$个，每个盒子需要2个底面，因此盒子个数为$60÷2=30$个。
【答案】
(1) $\boldsymbol{95-5x}$
(2) 裁剪出的侧面的个数为$\boldsymbol{(76+2x)}$个
(3) 能做$\boldsymbol{30}$个盒子
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，配套问题
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题关键是理清两种裁剪方法对应的零件产出数量，准确抓住配套的比例关系列方程，能够锻炼梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确裁剪规则：A方法不产生底面，B方法每张硬纸板可剪出5个底面。总共有19张硬纸板，x张用A方法，那么用B方法的张数为$(19-x)$张，底面总个数就是所有B方法裁剪出的底面之和，据此列代数式化简即可。
(2) A方法每张剪6个侧面，B方法每张剪4个侧面，分别计算两种方法裁剪的侧面数量后相加，再化简代数式即可得到侧面总个数。
(3) 每个盒子需要3个侧面、2个底面，侧面和底面恰好用完说明二者满足配套关系：侧面总数$:$底面总数$=3:2$，也就是$2×$侧面总数$=3×$底面总数，据此列方程求解x，再根据底面总数除以2（或侧面总数除以3）即可算出盒子总数。
【解析】
(1) 用B方法的硬纸板有$(19-x)$张，每张B方法剪5个底面，因此底面总个数为：
$5(19-x)=95-5x$
(2) A方法裁剪的侧面个数为$6x$，B方法裁剪的侧面个数为$4(19-x)$，因此侧面总个数为：
$6x+4(19-x)$
$=6x+76-4x$
$=76+2x$（个）
(3) 由侧面和底面恰好配套可得等量关系：$2×$侧面总数$=3×$底面总数，代入代数式得：
$2(76+2x)=3(95-5x)$
去括号得：$152+4x=285-15x$
移项合并同类项得：$19x=133$
解得：$x=7$
底面总个数为$95-5×7=60$个，每个盒子需要2个底面，因此盒子个数为$60÷2=30$个。
【答案】
(1) $\boldsymbol{95-5x}$
(2) 裁剪出的侧面的个数为$\boldsymbol{(76+2x)}$个
(3) 能做$\boldsymbol{30}$个盒子
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，配套问题
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题关键是理清两种裁剪方法对应的零件产出数量，准确抓住配套的比例关系列方程，能够锻炼梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
5. 一项工作，甲单独做10天完成，乙单独做12天完成，丙单独做15天完成，甲、丙合作2天后，甲因事离开，改由乙、丙合作，还需几天完成？（结果取整数）
答案
5. 设还需$x$天完成. 由题意,得$2(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})+(\frac{1}{12}+\frac{1}{15})x=1$,解得$x=4\frac{4}{9}$,$4+1=5$(天).
解析
【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，单人工作效率=1÷单独完成工作的时长，因此可先得出甲、乙、丙的工作效率分别为$\frac{1}{10}$、$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{15}$。我们可以根据等量关系“甲丙合作2天的工作量+乙丙合作x天的工作量=总工作量1”列方程求解，最后要注意工作时长需取整数，剩余工作量即使不足1天也需要1天完成，要用进一法取整。
【解析】
解：设还需$x$天完成。
将总工作量记为单位“1”，可得甲的工作效率为$\frac{1}{10}$，乙的工作效率为$\frac{1}{12}$，丙的工作效率为$\frac{1}{15}$。
根据题意列方程：
$2(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})+(\frac{1}{12}+\frac{1}{15})x=1$
计算化简得：
$\frac{1}{3}+\frac{3}{20}x=1$
移项求解得：
$\frac{3}{20}x=\frac{2}{3}$
$x=4\frac{4}{9}$
由于工作天数需取整数，剩余$\frac{4}{9}$天的工作量仍需1天完成，因此总天数为$4+1=5$天。
【答案】
5天
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、进一法取近似值
【点评】
本题是工程类常规应用题，解题核心是把总工作量设为单位“1”，利用“各部分工作量之和等于总工作量”的等量关系列方程，要注意结合实际场景对结果取近似值，不能直接用四舍五入，未完成的工作量仍需按1天计算。
【难度系数】
0.7
这是工程类一元一次方程应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，单人工作效率=1÷单独完成工作的时长，因此可先得出甲、乙、丙的工作效率分别为$\frac{1}{10}$、$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{15}$。我们可以根据等量关系“甲丙合作2天的工作量+乙丙合作x天的工作量=总工作量1”列方程求解，最后要注意工作时长需取整数，剩余工作量即使不足1天也需要1天完成，要用进一法取整。
【解析】
解：设还需$x$天完成。
将总工作量记为单位“1”，可得甲的工作效率为$\frac{1}{10}$，乙的工作效率为$\frac{1}{12}$，丙的工作效率为$\frac{1}{15}$。
根据题意列方程：
$2(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})+(\frac{1}{12}+\frac{1}{15})x=1$
计算化简得：
$\frac{1}{3}+\frac{3}{20}x=1$
移项求解得：
$\frac{3}{20}x=\frac{2}{3}$
$x=4\frac{4}{9}$
由于工作天数需取整数，剩余$\frac{4}{9}$天的工作量仍需1天完成，因此总天数为$4+1=5$天。
【答案】
5天
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、进一法取近似值
【点评】
本题是工程类常规应用题，解题核心是把总工作量设为单位“1”，利用“各部分工作量之和等于总工作量”的等量关系列方程，要注意结合实际场景对结果取近似值，不能直接用四舍五入，未完成的工作量仍需按1天计算。
【难度系数】
0.7
6. 为响应文明城区建设号召，某校组建了“文明宣传队”和“文明监督队”.其中“文明宣传队”的人数比“文明监督队”的人数的2倍少8人.一个月后，为了提高工作成效，学校决定从“文明宣传队”调10人去“文明监督队”，并调“文明监督队”原来人数的一半去“文明宣传队”，调整后，“文明宣传队”比“文明监督队”多8人.原“文明宣传队”和“文明监督队”各有多少人？
答案
6. 设原“文明监督队”有$x$人,则原“文明宣传队”有$(2x-8)$人. 由题意,得$2x-8-10+\frac{1}{2}x=x+10-\frac{1}{2}x+8$,解得$x=18$,$2×18-8=28$(人). $\therefore$原“文明宣传队”有28人,原“文明监督队”有18人.
解析
【分析】
这是一道人员调配类的一元一次方程应用题，解题时首先找准基础未知量设为未知数：本题中“文明宣传队”人数与“文明监督队”人数有直接倍数关系，因此设原“文明监督队”人数为$x$，即可用含$x$的式子表示出原“文明宣传队”的人数；接下来分别表示调整后两队的人数：调整后“文明宣传队”人数=原宣传队人数-调走的10人+从监督队调来的原监督队人数的一半，调整后“文明监督队”人数=原监督队人数+调来的10人-调走的原监督队人数的一半；最后根据调整后“宣传队比监督队多8人”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设原“文明监督队”有$x$人，则原“文明宣传队”有$(2x-8)$人。
根据题意列方程得：
$2x-8-10+\frac{1}{2}x=x+10-\frac{1}{2}x+8$
合并同类项，得：$\frac{5}{2}x - 18 = \frac{1}{2}x + 18$
移项，得：$\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}x = 18 + 18$
计算得：$2x = 36$
解得：$x=18$
则原“文明宣传队”人数为：$2×18 - 8 = 28$（人）
【答案】
原“文明宣传队”有28人，原“文明监督队”有18人。
【知识点】
一元一次方程的应用、调配问题、找等量关系列方程
【点评】
本题是典型的人员调配类应用题，解题核心是准确梳理人员调动前后两队人数的变化，抓住题目给出的数量关系列方程求解，需要注意调配涉及的“原监督队人数的一半”指的是调整前监督队的人数，不要误算为调整后的人数，避免因看错条件出错。
【难度系数】
0.7
这是一道人员调配类的一元一次方程应用题，解题时首先找准基础未知量设为未知数：本题中“文明宣传队”人数与“文明监督队”人数有直接倍数关系，因此设原“文明监督队”人数为$x$，即可用含$x$的式子表示出原“文明宣传队”的人数；接下来分别表示调整后两队的人数：调整后“文明宣传队”人数=原宣传队人数-调走的10人+从监督队调来的原监督队人数的一半，调整后“文明监督队”人数=原监督队人数+调来的10人-调走的原监督队人数的一半；最后根据调整后“宣传队比监督队多8人”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设原“文明监督队”有$x$人，则原“文明宣传队”有$(2x-8)$人。
根据题意列方程得：
$2x-8-10+\frac{1}{2}x=x+10-\frac{1}{2}x+8$
合并同类项，得：$\frac{5}{2}x - 18 = \frac{1}{2}x + 18$
移项，得：$\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}x = 18 + 18$
计算得：$2x = 36$
解得：$x=18$
则原“文明宣传队”人数为：$2×18 - 8 = 28$（人）
【答案】
原“文明宣传队”有28人，原“文明监督队”有18人。
【知识点】
一元一次方程的应用、调配问题、找等量关系列方程
【点评】
本题是典型的人员调配类应用题，解题核心是准确梳理人员调动前后两队人数的变化，抓住题目给出的数量关系列方程求解，需要注意调配涉及的“原监督队人数的一半”指的是调整前监督队的人数，不要误算为调整后的人数，避免因看错条件出错。
【难度系数】
0.7
