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例1 已知一元二次方程$x^2 + 2x - 3 =0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，不解方程，求下列各式的值：
(1)$x_1+x_2$；(2)$x_1x_2$。
【思路导析】运用一元二次方程的根与系数的关系求解。
【请你解答】
(1)$x_1+x_2$；(2)$x_1x_2$。
【思路导析】运用一元二次方程的根与系数的关系求解。
【请你解答】
答案
解：在一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$中，
$a=1$，$b=2$，$c=-3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-3) = 16 ＞ 0$，方程存在两个实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系：
(1) $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$；
(2) $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
$a=1$，$b=2$，$c=-3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-3) = 16 ＞ 0$，方程存在两个实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系：
(1) $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$；
(2) $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
解析
【分析】
本题要求不解方程求一元二次方程两根的和与积，核心解题思路是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，接着计算根的判别式$\Delta$，确认方程存在两个实数根后，再分别代入两根之和、两根之积的对应公式计算即可。
【解析】
在一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$中，
$a=1$，$b=2$，$c=-3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-3) = 16 ＞ 0$，因此方程存在两个实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系：
(1) $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$；
(2) $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意先验证方程是否存在实数根，再套用韦达定理公式计算，牢记系数对应的符号是避免出错的关键。
【难度系数】
0.9
本题要求不解方程求一元二次方程两根的和与积，核心解题思路是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先先确定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，接着计算根的判别式$\Delta$，确认方程存在两个实数根后，再分别代入两根之和、两根之积的对应公式计算即可。
【解析】
在一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$中，
$a=1$，$b=2$，$c=-3$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-3) = 16 ＞ 0$，因此方程存在两个实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系：
(1) $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$；
(2) $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意先验证方程是否存在实数根，再套用韦达定理公式计算，牢记系数对应的符号是避免出错的关键。
【难度系数】
0.9
例2 求以$\frac{1}{2}$和$-2$为根的一元二次方程.
【思路导析】设一个一元二次方程的两根之和为$p$，两根之积为$q$，则这个一元二次方程为$x^2 - px + q = 0$，依题意有$\frac{1}{2} + (-2) = p$，$\frac{1}{2}×(-2) = q$，即可求出$p,q$的值，进而求出该一元二次方程.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式的综合运用
【思路导析】设一个一元二次方程的两根之和为$p$，两根之积为$q$，则这个一元二次方程为$x^2 - px + q = 0$，依题意有$\frac{1}{2} + (-2) = p$，$\frac{1}{2}×(-2) = q$，即可求出$p,q$的值，进而求出该一元二次方程.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式的综合运用
答案
解：
设所求一元二次方程的两根分别为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，计算得：
两根之和$p = x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-2) = -\frac{3}{2}$，
两根之积$q = x_1 · x_2 = \frac{1}{2} × (-2) = -1$。
将$p$、$q$代入形式为$x^2 - px + q = 0$的一元二次方程，得：
$x^2 - (-\frac{3}{2})x - 1 = 0$，
整理得$x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$，两边同乘2化为整系数一元二次方程为$2x^2 + 3x - 2 = 0$。
所求的一元二次方程为$2x^2 + 3x - 2 = 0$（答案不唯一，形如$a(2x^2 + 3x - 2)=0$，$a≠0$的一元二次方程均符合要求）。
设所求一元二次方程的两根分别为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，计算得：
两根之和$p = x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-2) = -\frac{3}{2}$，
两根之积$q = x_1 · x_2 = \frac{1}{2} × (-2) = -1$。
将$p$、$q$代入形式为$x^2 - px + q = 0$的一元二次方程，得：
$x^2 - (-\frac{3}{2})x - 1 = 0$，
整理得$x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$，两边同乘2化为整系数一元二次方程为$2x^2 + 3x - 2 = 0$。
所求的一元二次方程为$2x^2 + 3x - 2 = 0$（答案不唯一，形如$a(2x^2 + 3x - 2)=0$，$a≠0$的一元二次方程均符合要求）。
解析
【分析】
已知一元二次方程的两个根求方程，可利用根与系数的关系求解：首先回忆，二次项系数为1的一元二次方程可表示为$x^2 - px + q = 0$，其中$p$为两根之和，$q$为两根之积。解题时第一步先计算两个已知根的和与积，得到$p、q$后代入上述方程形式，最后为了符合常用书写规范，可将方程化为整系数形式即可；另外由于给方程两边同时乘任意非零常数，得到的方程根不变，因此满足条件的方程不唯一。
【解析】
设所求一元二次方程的两根分别为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，计算得：
两根之和$p = x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-2) = -\frac{3}{2}$，
两根之积$q = x_1 · x_2 = \frac{1}{2} × (-2) = -1$。
将$p$、$q$代入形式为$x^2 - px + q = 0$的一元二次方程，得：
$x^2 - (-\frac{3}{2})x - 1 = 0$，
整理得$x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$，两边同乘2化为整系数一元二次方程为$2x^2 + 3x - 2 = 0$。
形如$a(2x^2 + 3x - 2)=0$（$a≠0$）的一元二次方程均符合要求。
【答案】
$2x^2 + 3x - 2 = 0$（答案不唯一，形如$a(2x^2 + 3x - 2)=0$，$a≠0$的一元二次方程均符合要求）
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 一元二次方程构造
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，核心考查利用已知两根构造一元二次方程的方法，解题时注意最终通常化为整系数方程，且满足条件的方程不唯一，二次项系数只要不为0即可。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的两个根求方程，可利用根与系数的关系求解：首先回忆，二次项系数为1的一元二次方程可表示为$x^2 - px + q = 0$，其中$p$为两根之和，$q$为两根之积。解题时第一步先计算两个已知根的和与积，得到$p、q$后代入上述方程形式，最后为了符合常用书写规范，可将方程化为整系数形式即可；另外由于给方程两边同时乘任意非零常数，得到的方程根不变，因此满足条件的方程不唯一。
【解析】
设所求一元二次方程的两根分别为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，计算得：
两根之和$p = x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-2) = -\frac{3}{2}$，
两根之积$q = x_1 · x_2 = \frac{1}{2} × (-2) = -1$。
将$p$、$q$代入形式为$x^2 - px + q = 0$的一元二次方程，得：
$x^2 - (-\frac{3}{2})x - 1 = 0$，
整理得$x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$，两边同乘2化为整系数一元二次方程为$2x^2 + 3x - 2 = 0$。
形如$a(2x^2 + 3x - 2)=0$（$a≠0$）的一元二次方程均符合要求。
【答案】
$2x^2 + 3x - 2 = 0$（答案不唯一，形如$a(2x^2 + 3x - 2)=0$，$a≠0$的一元二次方程均符合要求）
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 一元二次方程构造
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，核心考查利用已知两根构造一元二次方程的方法，解题时注意最终通常化为整系数方程，且满足条件的方程不唯一，二次项系数只要不为0即可。
【难度系数】
0.8
例3 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-4)x+m^2-3m+3=0$有两个实数根$x_1,x_2$，且$x_1^2+x_2^2=2$，试求$m$的取值范围。
【探究点拨】$m$应满足下列两个条件：
①$(2m-4)^2 -4×1×(m^2 -3m +3)≥0$；
②$x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=2$。
【规范解答】由$(2m-4)^2 -4×1×(m^2 -3m +3)=4m^2 -16m +16 -4m^2 +12m -12=4-4m≥0$，得$m≤1$。
而$x_1+x_2=4-2m$，$x_1x_2=m^2 -3m +3$，
且$x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=2$，
∴ $(4-2m)^2 -2(m^2 -3m +3)=2$，
即$m^2 -5m +4=0$，
解得$m_1=1,m_2=4$。
又∵ $m≤1$，
∴ $m=1$。
【探究点拨】$m$应满足下列两个条件：
①$(2m-4)^2 -4×1×(m^2 -3m +3)≥0$；
②$x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=2$。
【规范解答】由$(2m-4)^2 -4×1×(m^2 -3m +3)=4m^2 -16m +16 -4m^2 +12m -12=4-4m≥0$，得$m≤1$。
而$x_1+x_2=4-2m$，$x_1x_2=m^2 -3m +3$，
且$x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=2$，
∴ $(4-2m)^2 -2(m^2 -3m +3)=2$，
即$m^2 -5m +4=0$，
解得$m_1=1,m_2=4$。
又∵ $m≤1$，
∴ $m=1$。
答案
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-4)x+m^2-3m+3=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m-4)^2 -4×1×(m^2-3m+3)≥0$，
展开计算得：
$4m^2-16m+16-4m^2+12m-12≥0$，
即$4-4m≥0$，
解得$m≤1$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-(2m-4)=4-2m$，
$x_1x_2=m^2-3m+3$。
∵ $x_1^2+x_2^2=2$，且$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
∴ $(4-2m)^2 - 2(m^2-3m+3)=2$，
展开整理得：
$16-16m+4m^2-2m^2+6m-6=2$，
即$m^2-5m+4=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=4$。
又∵ $m≤1$，
∴ $m=4$不符合条件，舍去，
∴ $m=1$。
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-4)x+m^2-3m+3=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m-4)^2 -4×1×(m^2-3m+3)≥0$，
展开计算得：
$4m^2-16m+16-4m^2+12m-12≥0$，
即$4-4m≥0$，
解得$m≤1$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-(2m-4)=4-2m$，
$x_1x_2=m^2-3m+3$。
∵ $x_1^2+x_2^2=2$，且$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
∴ $(4-2m)^2 - 2(m^2-3m+3)=2$，
展开整理得：
$16-16m+4m^2-2m^2+6m-6=2$，
即$m^2-5m+4=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=4$。
又∵ $m≤1$，
∴ $m=4$不符合条件，舍去，
∴ $m=1$。
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①因为题目给出一元二次方程有两个实数根，所以首先要满足根的判别式Δ≥0，先求出m的初步取值范围，这是求解的前提，不可遗漏；②已知$x_1^2+x_2^2=2$，可利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合一元二次方程根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根之和与两根之积；③将上述表达式代入变形后的等式，得到关于m的一元二次方程，解出m的取值后，再结合第一步得到的m的范围，舍去不符合条件的解，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-4)x+m^2-3m+3=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m-4)^2 -4×1×(m^2-3m+3)≥0$，
展开计算得：
$4m^2-16m+16-4m^2+12m-12≥0$，
即$4-4m≥0$，
解得$m≤1$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-(2m-4)=4-2m$，
$x_1x_2=m^2-3m+3$。
∵ $x_1^2+x_2^2=2$，且$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
∴ $(4-2m)^2 - 2(m^2-3m+3)=2$，
展开整理得：
$16-16m+4m^2-2m^2+6m-6=2$，
即$m^2-5m+4=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=4$。
又
∵ $m≤1$，
∴ $m=4$不符合条件，舍去，
∴ $m=1$。
【答案】
$m=1$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，核心考查根的判别式与根与系数关系的联合应用，易错点是求解m后容易忽略判别式的限制条件，未舍去超出范围的解，解题时要注意先根据实根条件确定参数的取值范围，再求解验证。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①因为题目给出一元二次方程有两个实数根，所以首先要满足根的判别式Δ≥0，先求出m的初步取值范围，这是求解的前提，不可遗漏；②已知$x_1^2+x_2^2=2$，可利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合一元二次方程根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根之和与两根之积；③将上述表达式代入变形后的等式，得到关于m的一元二次方程，解出m的取值后，再结合第一步得到的m的范围，舍去不符合条件的解，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-4)x+m^2-3m+3=0$有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m-4)^2 -4×1×(m^2-3m+3)≥0$，
展开计算得：
$4m^2-16m+16-4m^2+12m-12≥0$，
即$4-4m≥0$，
解得$m≤1$。
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-(2m-4)=4-2m$，
$x_1x_2=m^2-3m+3$。
∵ $x_1^2+x_2^2=2$，且$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
∴ $(4-2m)^2 - 2(m^2-3m+3)=2$，
展开整理得：
$16-16m+4m^2-2m^2+6m-6=2$，
即$m^2-5m+4=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=4$。
又
∵ $m≤1$，
∴ $m=4$不符合条件，舍去，
∴ $m=1$。
【答案】
$m=1$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，核心考查根的判别式与根与系数关系的联合应用，易错点是求解m后容易忽略判别式的限制条件，未舍去超出范围的解，解题时要注意先根据实根条件确定参数的取值范围，再求解验证。
【难度系数】
0.7
1.已知$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2 - kx - 3 = 0$的两个实数根，且$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，求k的值。
答案
解：
对于一元二次方程$2x^2 - kx - 3 = 0$，其中$a=2$，$b=-k$，$c=-3$。
由一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = \frac{k}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{3}{2}$。
将上述结果代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得：
$\frac{k}{2} - 2×(-\frac{3}{2}) = 0$
化简得：
$\frac{k}{2} + 3 = 0$
解得$k=-6$。
检验：当$k=-6$时，判别式$\Delta = (-k)^2 - 4×2×(-3) = k^2 +24 = 60＞0$，方程存在两个实数根，符合题意。
所以$k$的值为$-6$。
对于一元二次方程$2x^2 - kx - 3 = 0$，其中$a=2$，$b=-k$，$c=-3$。
由一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = \frac{k}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{3}{2}$。
将上述结果代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得：
$\frac{k}{2} - 2×(-\frac{3}{2}) = 0$
化简得：
$\frac{k}{2} + 3 = 0$
解得$k=-6$。
检验：当$k=-6$时，判别式$\Delta = (-k)^2 - 4×2×(-3) = k^2 +24 = 60＞0$，方程存在两个实数根，符合题意。
所以$k$的值为$-6$。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个实数根满足的代数式关系，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程一般形式中a、b、c的取值，根据根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和与两根之积的表达式；第二步，将两根和、两根积代入题目给出的等式$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得到关于k的一元一次方程，求解得到k的初步值；第三步，由于题目明确方程有两个实数根，因此需要将求出的k代入判别式验证，确保判别式≥0，符合题意的k即为最终结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - kx - 3 = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-k$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{k}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{3}{2}$。
将上述结果代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得：
$\frac{k}{2} - 2×(-\frac{3}{2}) = 0$
化简得：
$\frac{k}{2} + 3 = 0$
解得$k=-6$。
检验：当$k=-6$时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4×2×(-3) = k^2 +24 = (-6)^2 +24 = 60＞0$，方程存在两个实数根，符合题意。
【答案】
$k=-6$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握韦达定理的公式，同时要注意求出参数后需验证判别式，保证方程有两个实数根，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的两个实数根满足的代数式关系，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程一般形式中a、b、c的取值，根据根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和与两根之积的表达式；第二步，将两根和、两根积代入题目给出的等式$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得到关于k的一元一次方程，求解得到k的初步值；第三步，由于题目明确方程有两个实数根，因此需要将求出的k代入判别式验证，确保判别式≥0，符合题意的k即为最终结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - kx - 3 = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-k$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{k}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{3}{2}$。
将上述结果代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$，得：
$\frac{k}{2} - 2×(-\frac{3}{2}) = 0$
化简得：
$\frac{k}{2} + 3 = 0$
解得$k=-6$。
检验：当$k=-6$时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4×2×(-3) = k^2 +24 = (-6)^2 +24 = 60＞0$，方程存在两个实数根，符合题意。
【答案】
$k=-6$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握韦达定理的公式，同时要注意求出参数后需验证判别式，保证方程有两个实数根，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
