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4. 甲、乙两城市之间的高铁运营里程为1 500 km，列车运行速度为b km/h，经过长时间试运行后，铁路部门决定将列车运行速度再提高50 km/h，则提速后列车跑完全程可省时（
A.$\frac{7500}{b(b+50)}$ h
B.$\frac{75000}{b(b+50)}$ h
C.$\frac{7500}{b(b-50)}$ h
D.$\frac{75000}{b(b-50)}$ h
B
）。A.$\frac{7500}{b(b+50)}$ h
B.$\frac{75000}{b(b+50)}$ h
C.$\frac{7500}{b(b-50)}$ h
D.$\frac{75000}{b(b-50)}$ h
答案
B
解析
【分析】
要计算提速后跑完全程的省时时长，核心是用提速前的运行时间减去提速后的运行时间。首先根据行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，分别表示出提速前后列车跑完全程的时间，再对两个时间作差，通过分式减法的运算法则化简计算即可得到结果。
【解析】
首先计算提速前列车跑完全程的时间：
已知路程为1500km，原速度为b km/h，根据时间=路程÷速度，可得提速前用时$ t_1 = \frac{1500}{b}\ \mathrm{h} $。
再计算提速后列车跑完全程的时间：
提速后速度为$ (b+50)\ \mathrm{km/h} $，同理可得提速后用时$ t_2 = \frac{1500}{b+50}\ \mathrm{h} $。
省时时长为两次时间的差，即：
$\begin{aligned}t_1 - t_2&=\frac{1500}{b} - \frac{1500}{b+50}\\&=\frac{1500(b+50) - 1500b}{b(b+50)}\\&=\frac{1500b + 75000 - 1500b}{b(b+50)}\\&=\frac{75000}{b(b+50)}\ \mathrm{h}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算；行程问题公式
【点评】
本题结合实际行程场景考查分式的减法应用，解题的关键是找准等量关系正确列出分式，计算时要注意通分的规则和乘法运算的准确性，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算提速后跑完全程的省时时长，核心是用提速前的运行时间减去提速后的运行时间。首先根据行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，分别表示出提速前后列车跑完全程的时间，再对两个时间作差，通过分式减法的运算法则化简计算即可得到结果。
【解析】
首先计算提速前列车跑完全程的时间：
已知路程为1500km，原速度为b km/h，根据时间=路程÷速度，可得提速前用时$ t_1 = \frac{1500}{b}\ \mathrm{h} $。
再计算提速后列车跑完全程的时间：
提速后速度为$ (b+50)\ \mathrm{km/h} $，同理可得提速后用时$ t_2 = \frac{1500}{b+50}\ \mathrm{h} $。
省时时长为两次时间的差，即：
$\begin{aligned}t_1 - t_2&=\frac{1500}{b} - \frac{1500}{b+50}\\&=\frac{1500(b+50) - 1500b}{b(b+50)}\\&=\frac{1500b + 75000 - 1500b}{b(b+50)}\\&=\frac{75000}{b(b+50)}\ \mathrm{h}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算；行程问题公式
【点评】
本题结合实际行程场景考查分式的减法应用，解题的关键是找准等量关系正确列出分式，计算时要注意通分的规则和乘法运算的准确性，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 计算$\dfrac{m}{m^2 - 1} - \dfrac{1}{1 - m^2}$的结果是
$\frac{1}{m-1}$
。答案
$\frac{1}{m-1}$
解析
【分析】
这是分式的减法运算，解题时先观察两个分式的分母，可发现$m^2-1$和$1-m^2$互为相反数，第一步先将两个分式转化为同分母分式，转化过程中注意符号变化；再按照同分母分式的加减法则计算，得到结果后对分母因式分解，最后约分化为最简分式即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\dfrac{m}{m^2 - 1} - \dfrac{1}{1 - m^2}&=\dfrac{m}{m^2 - 1} + \dfrac{1}{m^2 - 1}\\&=\dfrac{m+1}{m^2 - 1}\\&=\dfrac{m+1}{(m+1)(m-1)}\\&=\dfrac{1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{m-1}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先识别出互为相反数的分母，统一分母时注意符号变化，再结合因式分解约分得到最简结果，计算时需留意分式有意义的隐含限制。
【难度系数】
0.8
这是分式的减法运算，解题时先观察两个分式的分母，可发现$m^2-1$和$1-m^2$互为相反数，第一步先将两个分式转化为同分母分式，转化过程中注意符号变化；再按照同分母分式的加减法则计算，得到结果后对分母因式分解，最后约分化为最简分式即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\dfrac{m}{m^2 - 1} - \dfrac{1}{1 - m^2}&=\dfrac{m}{m^2 - 1} + \dfrac{1}{m^2 - 1}\\&=\dfrac{m+1}{m^2 - 1}\\&=\dfrac{m+1}{(m+1)(m-1)}\\&=\dfrac{1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{m-1}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先识别出互为相反数的分母，统一分母时注意符号变化，再结合因式分解约分得到最简结果，计算时需留意分式有意义的隐含限制。
【难度系数】
0.8
6. 计算$\dfrac{3y}{2x - 2y} + \dfrac{2xy}{x^2 - xy}$的结果是
$\frac{7y}{2(x-y)}$
.答案
$\frac{7y}{2(x-y)}$
解析
【分析】
这是异分母分式的加法运算，解题时首先对每个分式的分子、分母进行因式分解，先约去分子分母的公因式简化分式，再确定最简公分母，将异分母分式通分为同分母分式，最后按照同分母分式加法法则计算，合并分子后约分化为最简结果即可。
【解析】
解：先对两个分式的分母因式分解并化简：
$\dfrac{3y}{2x - 2y} = \dfrac{3y}{2(x - y)}$，
$\dfrac{2xy}{x^2 - xy} = \dfrac{2xy}{x(x - y)} = \dfrac{2y}{x - y}$（约去公因式$x$，$x≠0$）。
两个分式的最简公分母为$2(x-y)$，将第二个分式通分：
$\dfrac{2y}{x - y} = \dfrac{2y×2}{2(x - y)} = \dfrac{4y}{2(x - y)}$。
按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$\dfrac{3y}{2(x - y)} + \dfrac{4y}{2(x - y)} = \dfrac{3y + 4y}{2(x - y)} = \dfrac{7y}{2(x - y)}$。
【答案】
$\dfrac{7y}{2(x-y)}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，异分母分式加减法
【点评】
本题是分式加减运算的常规题型，解题时优先对分式进行约分简化，可有效降低通分的计算难度；运算过程中要注意因式分解准确，通分时不要漏乘分子，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的加法运算，解题时首先对每个分式的分子、分母进行因式分解，先约去分子分母的公因式简化分式，再确定最简公分母，将异分母分式通分为同分母分式，最后按照同分母分式加法法则计算，合并分子后约分化为最简结果即可。
【解析】
解：先对两个分式的分母因式分解并化简：
$\dfrac{3y}{2x - 2y} = \dfrac{3y}{2(x - y)}$，
$\dfrac{2xy}{x^2 - xy} = \dfrac{2xy}{x(x - y)} = \dfrac{2y}{x - y}$（约去公因式$x$，$x≠0$）。
两个分式的最简公分母为$2(x-y)$，将第二个分式通分：
$\dfrac{2y}{x - y} = \dfrac{2y×2}{2(x - y)} = \dfrac{4y}{2(x - y)}$。
按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$\dfrac{3y}{2(x - y)} + \dfrac{4y}{2(x - y)} = \dfrac{3y + 4y}{2(x - y)} = \dfrac{7y}{2(x - y)}$。
【答案】
$\dfrac{7y}{2(x-y)}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，异分母分式加减法
【点评】
本题是分式加减运算的常规题型，解题时优先对分式进行约分简化，可有效降低通分的计算难度；运算过程中要注意因式分解准确，通分时不要漏乘分子，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8
7. 若$a^2 +5ab -b^2=0$，则$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$的值为
$-5$
。答案
$-5$
解析
【分析】
要求$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$的值，首先可先对该分式进行通分化简，再结合已知等式找到化简后代数式中分子与分母的关系，利用整体代入法计算即可。首先，因为待求式中$a$、$b$均为分母，所以$a≠0$，$b≠0$，保证分式有意义。通分后待求式可化为$\frac{a^2 - b^2}{ab}$，观察已知等式$a^2 +5ab -b^2=0$，通过移项可直接得到$a^2 - b^2$的表达式，代入化简后的式子即可求出结果。
【解析】
解：由待求式有意义可知$a≠0$，$b≠0$，
先化简待求式：
$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2 - b^2}{ab}$，
已知$a^2 +5ab -b^2=0$，移项可得：
$a^2 - b^2=-5ab$，
将$a^2 - b^2=-5ab$代入$\frac{a^2 - b^2}{ab}$得：
$\frac{-5ab}{ab}=-5$（$ab≠0$，可约分化简）。
【答案】
$-5$
【知识点】
分式的加减运算，代数式化简求值，等式的变形
【点评】
本题解题核心是先对待求分式通分化简，再结合已知等式变形得到分子的整体表达式，运用整体代入思想求解，无需单独求出$a$、$b$的具体值，简化了计算过程，是代数式求值中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
要求$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$的值，首先可先对该分式进行通分化简，再结合已知等式找到化简后代数式中分子与分母的关系，利用整体代入法计算即可。首先，因为待求式中$a$、$b$均为分母，所以$a≠0$，$b≠0$，保证分式有意义。通分后待求式可化为$\frac{a^2 - b^2}{ab}$，观察已知等式$a^2 +5ab -b^2=0$，通过移项可直接得到$a^2 - b^2$的表达式，代入化简后的式子即可求出结果。
【解析】
解：由待求式有意义可知$a≠0$，$b≠0$，
先化简待求式：
$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2 - b^2}{ab}$，
已知$a^2 +5ab -b^2=0$，移项可得：
$a^2 - b^2=-5ab$，
将$a^2 - b^2=-5ab$代入$\frac{a^2 - b^2}{ab}$得：
$\frac{-5ab}{ab}=-5$（$ab≠0$，可约分化简）。
【答案】
$-5$
【知识点】
分式的加减运算，代数式化简求值，等式的变形
【点评】
本题解题核心是先对待求分式通分化简，再结合已知等式变形得到分子的整体表达式，运用整体代入思想求解，无需单独求出$a$、$b$的具体值，简化了计算过程，是代数式求值中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
8. 一艘轮船在静水中的速度为a km/h，水流速度为b km/h，若A，B两个港口之间的距离为50 km，则该轮船在A，B港口间往返一次所需时间为
$\frac{100a}{a^2-b^2}$
h.答案
$\frac{100a}{a^2-b^2}$
解析
【分析】
解题时首先要明确轮船往返两个港口时，行驶方向不同，水流对速度的影响不同：顺流行驶时，实际速度是静水速度加水流速度；逆流行驶时，实际速度是静水速度减水流速度。再根据“时间=路程÷速度”分别计算顺流、逆流的行驶时间，两者相加就是往返总时间，最后对得到的分式进行通分化简即可得到结果。
【解析】
首先计算轮船顺流、逆流的行驶速度：
顺流速度：$v_{顺}=a + b$（km/h），顺流行驶50km所需时间$t_1=\frac{50}{a + b}$ h；
逆流速度：$v_{逆}=a - b$（km/h），逆流行驶50km所需时间$t_2=\frac{50}{a - b}$ h。
往返一次总时间为两个时间之和：
$t=t_1+t_2=\frac{50}{a + b}+\frac{50}{a - b}$
对分式通分化简，公分母为$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$：
$t=\frac{50(a - b)}{(a + b)(a - b)}+\frac{50(a + b)}{(a + b)(a - b)}$
$=\frac{50a - 50b + 50a + 50b}{a^2 - b^2}$
$=\frac{100a}{a^2 - b^2}$
【答案】
$\frac{100a}{a^2-b^2}$
【知识点】
顺逆水速度计算、分式加减运算
【点评】
本题属于行程问题与分式运算的综合题，解题的核心是准确区分顺流、逆流的实际速度，通分化简时注意分子的计算，避免符号或合并同类项出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确轮船往返两个港口时，行驶方向不同，水流对速度的影响不同：顺流行驶时，实际速度是静水速度加水流速度；逆流行驶时，实际速度是静水速度减水流速度。再根据“时间=路程÷速度”分别计算顺流、逆流的行驶时间，两者相加就是往返总时间，最后对得到的分式进行通分化简即可得到结果。
【解析】
首先计算轮船顺流、逆流的行驶速度：
顺流速度：$v_{顺}=a + b$（km/h），顺流行驶50km所需时间$t_1=\frac{50}{a + b}$ h；
逆流速度：$v_{逆}=a - b$（km/h），逆流行驶50km所需时间$t_2=\frac{50}{a - b}$ h。
往返一次总时间为两个时间之和：
$t=t_1+t_2=\frac{50}{a + b}+\frac{50}{a - b}$
对分式通分化简，公分母为$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$：
$t=\frac{50(a - b)}{(a + b)(a - b)}+\frac{50(a + b)}{(a + b)(a - b)}$
$=\frac{50a - 50b + 50a + 50b}{a^2 - b^2}$
$=\frac{100a}{a^2 - b^2}$
【答案】
$\frac{100a}{a^2-b^2}$
【知识点】
顺逆水速度计算、分式加减运算
【点评】
本题属于行程问题与分式运算的综合题，解题的核心是准确区分顺流、逆流的实际速度，通分化简时注意分子的计算，避免符号或合并同类项出错。
【难度系数】
0.7
9. 计算：
(1) $\frac{x}{(x-1)^4} - \frac{1}{(1-x)^4}$；
(2) $\frac{b}{2a^2} - \frac{c}{3ab}$；
(3) $\frac{2a}{a^2 -4} + \frac{1}{2 -a}$。
(1) $\frac{x}{(x-1)^4} - \frac{1}{(1-x)^4}$；
(2) $\frac{b}{2a^2} - \frac{c}{3ab}$；
(3) $\frac{2a}{a^2 -4} + \frac{1}{2 -a}$。
答案
(1) $\frac{x}{(x-1)^4} - \frac{1}{(1-x)^4}$
$=\frac{x}{(x-1)^4} - \frac{1}{(x-1)^4}$
$=\frac{x-1}{(x-1)^4}$
$=\frac{1}{(x-1)^3}$
(2) $\frac{b}{2a^2}-\frac{c}{3ab} = \frac{3b^2}{6a^2b}-\frac{2ac}{6a^2b} = \frac{3b^2-2ac}{6a^2b}$
(3) $\frac{2a}{a^2-4}+\frac{1}{2-a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{1}{a+2}$
$=\frac{x}{(x-1)^4} - \frac{1}{(x-1)^4}$
$=\frac{x-1}{(x-1)^4}$
$=\frac{1}{(x-1)^3}$
(2) $\frac{b}{2a^2}-\frac{c}{3ab} = \frac{3b^2}{6a^2b}-\frac{2ac}{6a^2b} = \frac{3b^2-2ac}{6a^2b}$
(3) $\frac{2a}{a^2-4}+\frac{1}{2-a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{1}{a+2}$
解析
【分析】
分式加减运算的核心思路是：同分母分式直接分子相加减、分母不变；异分母分式先通分转化为同分母分式再计算，最终结果要化为最简分式。
(1) 利用偶次幂的性质可得$(1-x)^4=(x-1)^4$，两个分式为同分母，直接按同分母加减规则计算后约分即可；
(2) 属于异分母分式加减，先确定分母$2a^2$、$3ab$的最简公分母为$6a^2b$，通分后按同分母加减规则计算即可；
(3) 先对多项式分母因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再将第二个分式的分母$2-a$变形为$-(a-2)$调整符号，确定最简公分母为$(a+2)(a-2)$，通分后计算、约分得到最简结果。
【解析】
(1) $\frac{x}{(x-1)^4} - \frac{1}{(1-x)^4}$
$=\frac{x}{(x-1)^4} - \frac{1}{(x-1)^4}$
$=\frac{x-1}{(x-1)^4}$
$=\frac{1}{(x-1)^3}$
(2) $\frac{b}{2a^2} - \frac{c}{3ab}$
$= \frac{3b^2}{6a^2b}-\frac{2ac}{6a^2b}$
$= \frac{3b^2-2ac}{6a^2b}$
(3) $\frac{2a}{a^2 -4} + \frac{1}{2 -a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{1}{a+2}$
【答案】
(1) $\frac{1}{(x-1)^3}$；(2) $\frac{3b^2-2ac}{6a^2b}$；(3) $\frac{1}{a+2}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的通分、分式的约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考察运算过程中的符号处理、最简公分母的确定以及约分规则，熟练掌握分式加减的运算步骤就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
分式加减运算的核心思路是：同分母分式直接分子相加减、分母不变；异分母分式先通分转化为同分母分式再计算，最终结果要化为最简分式。
(1) 利用偶次幂的性质可得$(1-x)^4=(x-1)^4$，两个分式为同分母，直接按同分母加减规则计算后约分即可；
(2) 属于异分母分式加减，先确定分母$2a^2$、$3ab$的最简公分母为$6a^2b$，通分后按同分母加减规则计算即可；
(3) 先对多项式分母因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，再将第二个分式的分母$2-a$变形为$-(a-2)$调整符号，确定最简公分母为$(a+2)(a-2)$，通分后计算、约分得到最简结果。
【解析】
(1) $\frac{x}{(x-1)^4} - \frac{1}{(1-x)^4}$
$=\frac{x}{(x-1)^4} - \frac{1}{(x-1)^4}$
$=\frac{x-1}{(x-1)^4}$
$=\frac{1}{(x-1)^3}$
(2) $\frac{b}{2a^2} - \frac{c}{3ab}$
$= \frac{3b^2}{6a^2b}-\frac{2ac}{6a^2b}$
$= \frac{3b^2-2ac}{6a^2b}$
(3) $\frac{2a}{a^2 -4} + \frac{1}{2 -a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{1}{a+2}$
【答案】
(1) $\frac{1}{(x-1)^3}$；(2) $\frac{3b^2-2ac}{6a^2b}$；(3) $\frac{1}{a+2}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的通分、分式的约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考察运算过程中的符号处理、最简公分母的确定以及约分规则，熟练掌握分式加减的运算步骤就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
10. 已知$a$，$b$为实数，且$ab=1$，设$P=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$，$Q=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$，则$P\_\_\_\_\_\_Q$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
$=$
解析
【分析】
要比较P和Q的大小，有两种通用的解题思路：一是分别对P、Q进行通分化简，代入已知条件$ab=1$计算出两者的结果后直接比较；二是用作差法，计算$P-Q$的取值，若结果为0则$P=Q$，大于0则$P＞Q$，小于0则$P＜Q$。两种方法都要用到分式加减的通分法则，再结合$ab=1$的条件化简即可得到结论。
【解析】
方法一：分别化简P和Q
先计算P：
对P通分可得：
$P=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{a(b+1)+b(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
展开分子：$a(b+1)+b(a+1)=ab+a+ab+b=2ab+a+b$
将$ab=1$代入分子，得：$2×1+a+b=a+b+2$，即$P=\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}$
再计算Q：
对Q通分可得：
$Q=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{(b+1)+(a+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}$
P和Q的分子、分母完全相同，因此$P=Q$。
方法二：作差法
计算$P-Q$：
$P-Q=(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1})-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})=\frac{a-1}{a+1}+\frac{b-1}{b+1}$
对差通分：
$P-Q=\frac{(a-1)(b+1)+(b-1)(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
展开分子：
$(a-1)(b+1)+(b-1)(a+1)=ab+a-b-1+ab+b-a-1=2ab-2$
将$ab=1$代入分子，得：$2×1-2=0$，即$P-Q=0$，因此$P=Q$。
【答案】
$=$
【知识点】
分式的加减运算；代数式比较大小
【点评】
本题是分式加减的基础应用题型，解题核心是熟练掌握分式通分、化简的规则，可灵活选择直接化简或作差法解题，也可通过代入特殊值（如令$a=b=1$）快速验证结果，解题时要注意利用题干给出的已知条件简化运算。
【难度系数】
0.8
要比较P和Q的大小，有两种通用的解题思路：一是分别对P、Q进行通分化简，代入已知条件$ab=1$计算出两者的结果后直接比较；二是用作差法，计算$P-Q$的取值，若结果为0则$P=Q$，大于0则$P＞Q$，小于0则$P＜Q$。两种方法都要用到分式加减的通分法则，再结合$ab=1$的条件化简即可得到结论。
【解析】
方法一：分别化简P和Q
先计算P：
对P通分可得：
$P=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{a(b+1)+b(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
展开分子：$a(b+1)+b(a+1)=ab+a+ab+b=2ab+a+b$
将$ab=1$代入分子，得：$2×1+a+b=a+b+2$，即$P=\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}$
再计算Q：
对Q通分可得：
$Q=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{(b+1)+(a+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}$
P和Q的分子、分母完全相同，因此$P=Q$。
方法二：作差法
计算$P-Q$：
$P-Q=(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1})-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})=\frac{a-1}{a+1}+\frac{b-1}{b+1}$
对差通分：
$P-Q=\frac{(a-1)(b+1)+(b-1)(a+1)}{(a+1)(b+1)}$
展开分子：
$(a-1)(b+1)+(b-1)(a+1)=ab+a-b-1+ab+b-a-1=2ab-2$
将$ab=1$代入分子，得：$2×1-2=0$，即$P-Q=0$，因此$P=Q$。
【答案】
$=$
【知识点】
分式的加减运算；代数式比较大小
【点评】
本题是分式加减的基础应用题型，解题核心是熟练掌握分式通分、化简的规则，可灵活选择直接化简或作差法解题，也可通过代入特殊值（如令$a=b=1$）快速验证结果，解题时要注意利用题干给出的已知条件简化运算。
【难度系数】
0.8
11. 已知$\frac{3x-2}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}-\frac{B}{x+2}$，其中$A$，$B$是常数，则$A-2B=$
$\frac{17}{3}$
。答案
$\frac{17}{3}$
解析
【分析】
这是分式恒等求参数的题型，解题思路如下：首先根据分式相等的性质，左右两边分母相同时分子必然相等，因此先将等式右侧的两个分式通分，合并为和左侧分母相同的分式；接着让两侧分子相等，将右侧分子展开合并同类项后，根据多项式相等时对应同类项的系数相等，列出关于A、B的二元一次方程组；解出A、B的值后，代入A-2B计算即可得到结果。
【解析】
对等式右侧通分，可得：
$\frac{A}{x-1}-\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)-B(x-1)}{(x-1)(x+2)}$
因为等式左右两边分母相同且分式相等，因此分子相等，即：
$3x - 2 = A(x+2) - B(x-1)$
将等式右侧展开并合并同类项：
$右边=Ax+2A-Bx+B=(A-B)x+(2A+B)$
根据多项式相等时对应项系数相等，列出方程组：
$\begin{cases}A - B = 3 \\2A + B = -2 \end{cases}$
解方程组：
将两个方程相加得$3A=1$，解得$A=\frac{1}{3}$
把$A=\frac{1}{3}$代入$A-B=3$，得$\frac{1}{3}-B=3$，解得$B=-\frac{8}{3}$
代入$A-2B$计算：
$A-2B=\frac{1}{3}-2×(-\frac{8}{3})=\frac{1}{3}+\frac{16}{3}=\frac{17}{3}$
【答案】
$\frac{17}{3}$
【知识点】
分式的加减运算；多项式恒等性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式运算中典型的参数求解类题目，核心是利用分式恒等的性质转化为多项式相等问题，再通过对应系数相等列方程求解，解题时要注意通分、去括号环节的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
这是分式恒等求参数的题型，解题思路如下：首先根据分式相等的性质，左右两边分母相同时分子必然相等，因此先将等式右侧的两个分式通分，合并为和左侧分母相同的分式；接着让两侧分子相等，将右侧分子展开合并同类项后，根据多项式相等时对应同类项的系数相等，列出关于A、B的二元一次方程组；解出A、B的值后，代入A-2B计算即可得到结果。
【解析】
对等式右侧通分，可得：
$\frac{A}{x-1}-\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)-B(x-1)}{(x-1)(x+2)}$
因为等式左右两边分母相同且分式相等，因此分子相等，即：
$3x - 2 = A(x+2) - B(x-1)$
将等式右侧展开并合并同类项：
$右边=Ax+2A-Bx+B=(A-B)x+(2A+B)$
根据多项式相等时对应项系数相等，列出方程组：
$\begin{cases}A - B = 3 \\2A + B = -2 \end{cases}$
解方程组：
将两个方程相加得$3A=1$，解得$A=\frac{1}{3}$
把$A=\frac{1}{3}$代入$A-B=3$，得$\frac{1}{3}-B=3$，解得$B=-\frac{8}{3}$
代入$A-2B$计算：
$A-2B=\frac{1}{3}-2×(-\frac{8}{3})=\frac{1}{3}+\frac{16}{3}=\frac{17}{3}$
【答案】
$\frac{17}{3}$
【知识点】
分式的加减运算；多项式恒等性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式运算中典型的参数求解类题目，核心是利用分式恒等的性质转化为多项式相等问题，再通过对应系数相等列方程求解，解题时要注意通分、去括号环节的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
12. 阅读材料，并回答问题.
小亮在学习分式运算的过程中，计算$\frac{6}{a^2 -9}+\frac{1}{a+3}$的过程如下：
解：$\frac{6}{a^2 -9}+\frac{1}{a+3}$
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{a+3}$ ①
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$ ②
$=6+a-3$ ③
$=a+3.$ ④
问题：
（1）上述计算过程中，从
（2）发生错误的原因是：
（3）请你写出正确解答过程.
小亮在学习分式运算的过程中，计算$\frac{6}{a^2 -9}+\frac{1}{a+3}$的过程如下：
解：$\frac{6}{a^2 -9}+\frac{1}{a+3}$
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{a+3}$ ①
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$ ②
$=6+a-3$ ③
$=a+3.$ ④
问题：
（1）上述计算过程中，从
③
步开始出现错误；（填序号）（2）发生错误的原因是：
分式加法法则运用错误
；（3）请你写出正确解答过程.
答案
(1) ③
(2) 分式加法法则运用错误
(3) 原式$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{a+3}$
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{6+a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{1}{a-3}$
(2) 分式加法法则运用错误
(3) 原式$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{a+3}$
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{6+a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{1}{a-3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式加减的运算规则：异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按照同分母分式加减法则计算，即分母不变，分子相加减，最后约分化为最简分式。解题时先逐行检查小亮的计算步骤：第①步用平方差公式分解分母$a^2-9$，正确；第②步给第二个分式通分，分子分母同乘最简公分母的另一因式$(a-3)$，正确；第③步进行加法运算时，错误地去掉了分母，只把分子相加，违背了分式加减的法则，因此从第③步开始出错。明确错误原因后，按照正确的运算规则写出完整计算过程即可。
【解析】
（1）逐步骤验证：
①步骤：利用平方差公式分解$a^2-9=(a+3)(a-3)$，变形正确；
②步骤：将$\frac{1}{a+3}$通分，分子分母同乘$(a-3)$得到$\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$，通分正确；
③步骤：同分母分式相加应遵循“分母不变，分子相加减”的规则，小亮直接省略分母，仅对分子相加，变形错误，因此从第③步开始出错。
（2）错误原因：进行同分母分式加法运算时，错误地去掉了分母，违反了分式加法的运算法则，即分式加法法则运用错误。
（3）正确解答过程：
原式$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{a+3}$
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{6+a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{1}{a-3}$
【答案】
(1) ③
(2) 分式加法法则运用错误
(3) 原式$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{a+3}$
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{6+a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{1}{a-3}$
【知识点】
分式加减法则，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的易错点考查题，同学们很容易混淆分式加减运算和解分式方程的步骤，出现随意去掉分母的错误。解题时要牢记：分式加减运算需保留分母，仅对分子进行加减运算，最后要将结果化为最简分式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆分式加减的运算规则：异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按照同分母分式加减法则计算，即分母不变，分子相加减，最后约分化为最简分式。解题时先逐行检查小亮的计算步骤：第①步用平方差公式分解分母$a^2-9$，正确；第②步给第二个分式通分，分子分母同乘最简公分母的另一因式$(a-3)$，正确；第③步进行加法运算时，错误地去掉了分母，只把分子相加，违背了分式加减的法则，因此从第③步开始出错。明确错误原因后，按照正确的运算规则写出完整计算过程即可。
【解析】
（1）逐步骤验证：
①步骤：利用平方差公式分解$a^2-9=(a+3)(a-3)$，变形正确；
②步骤：将$\frac{1}{a+3}$通分，分子分母同乘$(a-3)$得到$\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$，通分正确；
③步骤：同分母分式相加应遵循“分母不变，分子相加减”的规则，小亮直接省略分母，仅对分子相加，变形错误，因此从第③步开始出错。
（2）错误原因：进行同分母分式加法运算时，错误地去掉了分母，违反了分式加法的运算法则，即分式加法法则运用错误。
（3）正确解答过程：
原式$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{a+3}$
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{6+a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{1}{a-3}$
【答案】
(1) ③
(2) 分式加法法则运用错误
(3) 原式$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{a+3}$
$=\frac{6}{(a+3)(a-3)}+\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{6+a-3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{1}{a-3}$
【知识点】
分式加减法则，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的易错点考查题，同学们很容易混淆分式加减运算和解分式方程的步骤，出现随意去掉分母的错误。解题时要牢记：分式加减运算需保留分母，仅对分子进行加减运算，最后要将结果化为最简分式。
【难度系数】
0.8
