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13. 我们定义：如果两个分式$A$与$B$的差为常数，且这个常数为正数，则称$A$是$B$的“雅中式”，这个常数称为$A$关于$B$的“雅中值”。
如分式$A=\dfrac{2x}{x+1}$，$B=\dfrac{-2}{x+1}$，$A-B=\dfrac{2x}{x+1}-(\dfrac{-2}{x+1})=\dfrac{2x+2}{x+1}=\dfrac{2(x+1)}{x+1}=2$，则$A$是$B$的“雅中式”，$A$关于$B$的“雅中值”为2.
(1) 已知分式$C=\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$，$D=\dfrac{1}{x+2}$，判断$C$是否为$D$的“雅中式”. 若不是，请说明理由；若是，请求出$C$关于$D$的“雅中值”；
(2) 已知分式$P=\dfrac{E}{9-x^2}$，$Q=\dfrac{x}{3-x}$，$P$是$Q$的“雅中式”，且$P$关于$Q$的“雅中值”是1，$x$为整数，且$P$的值也为整数.
①求代数式$E$；
②求所有符合条件的$x$的值.
如分式$A=\dfrac{2x}{x+1}$，$B=\dfrac{-2}{x+1}$，$A-B=\dfrac{2x}{x+1}-(\dfrac{-2}{x+1})=\dfrac{2x+2}{x+1}=\dfrac{2(x+1)}{x+1}=2$，则$A$是$B$的“雅中式”，$A$关于$B$的“雅中值”为2.
(1) 已知分式$C=\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$，$D=\dfrac{1}{x+2}$，判断$C$是否为$D$的“雅中式”. 若不是，请说明理由；若是，请求出$C$关于$D$的“雅中值”；
(2) 已知分式$P=\dfrac{E}{9-x^2}$，$Q=\dfrac{x}{3-x}$，$P$是$Q$的“雅中式”，且$P$关于$Q$的“雅中值”是1，$x$为整数，且$P$的值也为整数.
①求代数式$E$；
②求所有符合条件的$x$的值.
答案
(1) $\because C=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$，$D=\frac{1}{x+2}$，
$\therefore C-D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}-\frac{1}{x+2}$
$=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2}-\frac{1}{x+2}$
$=\frac{x+3}{x+2}-\frac{1}{x+2}$
$=\frac{x+2}{x+2}$
$=1$
$\therefore C$是$D$的“雅中式”，$C$关于$D$的“雅中值”为1。
(2) ①由题意得$\frac{E}{9-x^2}-\frac{x}{3-x}=1$
$\because \frac{E}{9-x^2}-\frac{x}{3-x}=\frac{E}{(3+x)(3-x)}-\frac{x(3+x)}{(3+x)(3-x)}=\frac{E-x^2-3x}{(3+x)(3-x)}$
$\therefore \frac{E-x^2-3x}{(3+x)(3-x)}=1$
$\therefore E-x^2-3x=9-x^2$
$\therefore E=3x+9$
②由(2)①可知，
$P=\frac{3x+9}{9-x^2}=\frac{3(x+3)}{(3+x)(3-x)}=\frac{3}{3-x}$
$\because x$为整数，且$P$的值也为整数，
$\therefore 3-x=3$ 或 $3-x=1$ 或 $3-x=-1$ 或 $3-x=-3$
$\therefore x=0$ 或 $x=2$ 或 $x=4$ 或 $x=6$
综上，所有符合条件的$x$的值为0，2，4，6。
$\therefore C-D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}-\frac{1}{x+2}$
$=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2}-\frac{1}{x+2}$
$=\frac{x+3}{x+2}-\frac{1}{x+2}$
$=\frac{x+2}{x+2}$
$=1$
$\therefore C$是$D$的“雅中式”，$C$关于$D$的“雅中值”为1。
(2) ①由题意得$\frac{E}{9-x^2}-\frac{x}{3-x}=1$
$\because \frac{E}{9-x^2}-\frac{x}{3-x}=\frac{E}{(3+x)(3-x)}-\frac{x(3+x)}{(3+x)(3-x)}=\frac{E-x^2-3x}{(3+x)(3-x)}$
$\therefore \frac{E-x^2-3x}{(3+x)(3-x)}=1$
$\therefore E-x^2-3x=9-x^2$
$\therefore E=3x+9$
②由(2)①可知，
$P=\frac{3x+9}{9-x^2}=\frac{3(x+3)}{(3+x)(3-x)}=\frac{3}{3-x}$
$\because x$为整数，且$P$的值也为整数，
$\therefore 3-x=3$ 或 $3-x=1$ 或 $3-x=-1$ 或 $3-x=-3$
$\therefore x=0$ 或 $x=2$ 或 $x=4$ 或 $x=6$
综上，所有符合条件的$x$的值为0，2，4，6。
解析
【分析】
(1) 要判断C是否为D的“雅中式”，只需按照定义计算C-D，先对C的分子、分母因式分解化简，再与D做减法运算，若结果为正的常数，则C是D的“雅中式”，该常数即为雅中值。
(2) ①根据“雅中式”定义可得P-Q=1，先对两个分式的分母因式分解、通分，结合等式恒成立的条件即可求出E的表达式；②代入E化简P，根据P为整数、x为整数，可知分母是分子的约数，同时注意分式有意义时分母不为0的隐含条件，筛选出符合要求的x值。
【解析】
(1) 对C的分子分母因式分解得：
$C=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2}=\frac{x+3}{x+2}$（$x≠-2$）
则$C-D=\frac{x+3}{x+2}-\frac{1}{x+2}=\frac{x+3-1}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}=1$
1是正数且为常数，符合“雅中式”定义。
(2) ①由题意得$P-Q=1$，即$\frac{E}{9-x^2}-\frac{x}{3-x}=1$
对分母因式分解：$9-x^2=(3+x)(3-x)$，通分得：
$\frac{E}{(3+x)(3-x)}-\frac{x(3+x)}{(3+x)(3-x)}=1$
合并分子得：$\frac{E - 3x - x^2}{(3+x)(3-x)}=1$
等式两边同乘$(3+x)(3-x)$（$x≠\pm3$）得：
$E - 3x - x^2 = 9 - x^2$
化简得$E=3x+9$。
②将$E=3x+9$代入P得：
$P=\frac{3x+9}{9-x^2}=\frac{3(x+3)}{(3+x)(3-x)}=\frac{3}{3-x}$（$x≠-3$）
∵x为整数，P的值为整数，且分式有意义需满足$3-x≠0$即$x≠3$
∴$3-x$是3的整数约数，即$3-x=\pm1,\pm3$
分别求解：
当$3-x=3$时，$x=0$；当$3-x=1$时，$x=2$；
当$3-x=-1$时，$x=4$；当$3-x=-3$时，$x=6$。
以上x值均满足分母不为0的条件。
【答案】
(1) C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1；
(2) ①$E=3x+9$；②所有符合条件的x的值为0，2，4，6。
【知识点】
新定义运算，分式加减运算，分式化简
【点评】
本题以新定义为载体考查分式的相关运算，解题关键是准确理解新定义的规则，严格按照分式运算法则计算，注意不要忽略分式分母不为0的隐含条件，避免出现多余的错误取值。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断C是否为D的“雅中式”，只需按照定义计算C-D，先对C的分子、分母因式分解化简，再与D做减法运算，若结果为正的常数，则C是D的“雅中式”，该常数即为雅中值。
(2) ①根据“雅中式”定义可得P-Q=1，先对两个分式的分母因式分解、通分，结合等式恒成立的条件即可求出E的表达式；②代入E化简P，根据P为整数、x为整数，可知分母是分子的约数，同时注意分式有意义时分母不为0的隐含条件，筛选出符合要求的x值。
【解析】
(1) 对C的分子分母因式分解得：
$C=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)^2}=\frac{x+3}{x+2}$（$x≠-2$）
则$C-D=\frac{x+3}{x+2}-\frac{1}{x+2}=\frac{x+3-1}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}=1$
1是正数且为常数，符合“雅中式”定义。
(2) ①由题意得$P-Q=1$，即$\frac{E}{9-x^2}-\frac{x}{3-x}=1$
对分母因式分解：$9-x^2=(3+x)(3-x)$，通分得：
$\frac{E}{(3+x)(3-x)}-\frac{x(3+x)}{(3+x)(3-x)}=1$
合并分子得：$\frac{E - 3x - x^2}{(3+x)(3-x)}=1$
等式两边同乘$(3+x)(3-x)$（$x≠\pm3$）得：
$E - 3x - x^2 = 9 - x^2$
化简得$E=3x+9$。
②将$E=3x+9$代入P得：
$P=\frac{3x+9}{9-x^2}=\frac{3(x+3)}{(3+x)(3-x)}=\frac{3}{3-x}$（$x≠-3$）
∵x为整数，P的值为整数，且分式有意义需满足$3-x≠0$即$x≠3$
∴$3-x$是3的整数约数，即$3-x=\pm1,\pm3$
分别求解：
当$3-x=3$时，$x=0$；当$3-x=1$时，$x=2$；
当$3-x=-1$时，$x=4$；当$3-x=-3$时，$x=6$。
以上x值均满足分母不为0的条件。
【答案】
(1) C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1；
(2) ①$E=3x+9$；②所有符合条件的x的值为0，2，4，6。
【知识点】
新定义运算，分式加减运算，分式化简
【点评】
本题以新定义为载体考查分式的相关运算，解题关键是准确理解新定义的规则，严格按照分式运算法则计算，注意不要忽略分式分母不为0的隐含条件，避免出现多余的错误取值。
【难度系数】
0.7
