跳水比赛中，如何根据各位评委的打分确定每位选手的分数？

【分析】
要确定跳水选手的最终分数，首先要保证分数尽可能公平，反映选手的真实水平。我们已学过算术平均数的特点：能利用所有数据的信息，但容易受极端偏大、偏小值的影响。跳水比赛中个别评委可能会给出过高或过低的偏心分（极端值），如果直接计算所有打分的平均数，结果会受极端值干扰不够公平。因此解题思路为：先剔除极端值（最高分、最低分）消除干扰，再计算剩余分数的算术平均数作为最终成绩。
【解析】
确定选手分数的步骤如下：
1. 汇总所有评委对该选手的有效打分；
2. 去掉打分中的1个最高分和1个最低分，以此消除个别极端偏心分对最终成绩的影响；
3. 计算剩余所有打分的算术平均数，该平均数即为该选手的最终得分。
【答案】
通常先去掉所有评委打分中的一个最高分和一个最低分，再计算剩余打分的算术平均数，所得结果即为该选手的最终分数。
【知识点】
算术平均数计算、极端值对平均数的影响、统计量的选用
【点评】
本题结合体育赛事的真实场景，考察了统计量的实际应用，能让学生理解不同统计方法的适用场景，体会数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.85

例 某公司对消费者进行了随机问卷调查,共发放1 000份调查问卷,并全部收回.根据调查问卷,将消费者年收入情况整理后,制成如下表格:

(1) 根据表中数据,被调查的消费者平均年收入为多少万元?
(2) 被调查的消费者年收入的中位数和众数分别是多少万元?
(3) 在平均数、中位数这两个数中,哪个更能反映被调查的消费者年收入的一般水平?

(1) 消费者年收入的中位数和众数均是7.2万元,收入差总和＝(－2.4)×200＋4.8×200＋12.8×70＋32.8×30＝2 360(万元),平均年收入＝7.2＋$\frac{2\ 360}{1\ 000}$＝9.56(万元)
(2) 略
(3) 中位数和众数更能反映被调查的消费者年收入的一般水平.

【分析】
本题围绕统计量的计算与应用设置三小问，解题思路如下：1. 计算平均年收入属于加权平均数问题，各年收入对应的人数是权重，可通过每组收入乘以对应人数求和后除以总人数得到结果；2. 求中位数需先明确总数据共1000个，中位数为排序后第500、501个数据的平均值，通过累计人数确定这两个数据所在的分组即可得到中位数，众数是出现次数最多的年收入数值；3. 选择更能反映一般水平的统计量时，需考虑极端值对平均数的影响，中位数不受极端值影响，更能代表多数人的收入情况。
【解析】
(1) 计算平均年收入：
根据加权平均数公式，总年收入 = $4.8×200 + 7.2×500 + 12×200 + 20×70 + 40×30$
计算得：$4.8×200=960$，$7.2×500=3600$，$12×200=2400$，$20×70=1400$，$40×30=1200$
总年收入 = $960+3600+2400+1400+1200=9560$（万元）
平均年收入 = $9560÷1000=9.56$（万元）
(2) 计算中位数和众数：
总调查人数为1000人，将年收入从小到大排序，中位数是第500、501个数据的平均数。
累计人数：年收入4.8万元的共200人，年收入7.2万元的累计人数为$200+500=700$人，因此第500、501个数据均为7.2万元，故中位数为7.2万元。
年收入7.2万元对应的人数最多（500人），因此众数为7.2万元。
(3) 分析统计量的代表性：
平均数9.56万元受20万元、40万元这类高收入极端值影响较大，大部分消费者的年收入低于9.56万元；而中位数7.2万元代表了一半以上消费者的年收入水平，因此在平均数和中位数中，中位数更能反映被调查消费者年收入的一般水平。
【答案】
(1) 9.56万元；(2) 中位数7.2万元，众数7.2万元；(3) 中位数
【知识点】
加权平均数计算，中位数与众数，统计量选用
【点评】
本题结合生活调查场景考查统计量的相关知识，重点需要掌握加权平均数的计算方法、中位数的定位规则，以及不同统计量的特性，解题时要注意结合数据特点判断统计量的实际代表性，避免受极端值干扰判断。
【难度系数】
0.7

1.（1）在某校“我的梦想”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的().
A. 众数 B. 加权平均数 C. 算术平均数 D. 中位数
（2）为筹备班级的毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果做调查，决定最终买何种水果.下列调查数据中，最值得关注的是().
A. 众数 B. 加权平均数 C. 算术平均数 D. 中位数
（3）某篮球队队员共有16人，每人投篮6次，下表为投进球数的次数分配表.已知该队投进球数的中位数是2.5，则众数为.

1.(1) D (2) A (3) 2

【分析】
（1）9名学生的成绩各不相同，将成绩排序后，中位数恰好是第5名的成绩，学生把自己的成绩和中位数对比，就能判断是否进入前5，因此需要了解中位数。
（2）买水果需要满足大多数人的喜好，也就是要选调查中被选择次数最多的水果，对应的统计量是众数，因此最关注众数。
（3）16个数据的中位数是排序后第8、第9个数据的平均数，结合中位数为2.5可推出第8个数据是2、第9个数据是3，再结合总人数求出a、b的值，找到出现次数最多的数就是众数。
【解析】
（1）将9个不同的成绩从小到大排序后，中位数是第5个数据，若自己的成绩≥中位数，就说明进入前5，因此选D。
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数，买水果要符合多数人的喜好，因此最值得关注众数，选A。
（3）总人数为16，中位数是排序后第8、第9个投进球数的平均数，已知中位数是2.5，说明第8个数据是2，第9个数据是3。
投进0球和1球的总人数为2+2=4人，要让第8个数据为2，第9个数据为3，则投进2球的人数a满足4+a=8，解得a=4。
根据总人数列等式：2+2+a+b+3+2+1=16，代入a=4，解得b=2。
统计各投进球数的人数：0有2人，1有2人，2有4人，3有2人，4有3人，5有2人，6有1人，出现次数最多的是2，因此众数为2。
【答案】
（1）D （2）A （3）2
【知识点】
中位数，众数，统计量选用
【点评】
本题考查三类常见统计量的实际应用，解题核心是准确理解平均数、中位数、众数的含义，结合场景需求选择对应的统计量。
【难度系数】
0.7

2. 某校元旦文艺演出中，10位评委给某个节目打分如下(单位:分)：
7.20,7.25,7.00,7.10,9.50,7.30,7.20,7.20,6.10,7.25.
哪一个统计量可以更好地表示上述节目得分的集中趋势？请说明理由。

众数和中位数

【分析】
要判断哪个统计量能更好反映得分的集中趋势，首先明确常用的集中趋势统计量有平均数、中位数、众数三类，三者特点不同：平均数易受极端值影响，中位数、众数不受极端值影响。解题时先将打分数据排序，分别计算三个统计量的数值，再结合数据中存在异常高分、异常低分的特点，判断不受极端值影响的统计量更适合反映集中趋势。
【解析】
首先将10位评委的打分从小到大排序：
6.10，7.00，7.10，7.20，7.20，7.20，7.25，7.25，7.30，9.50
1. 计算平均数：
平均数 = 总分÷评委人数 = (6.10+7.00+7.10+7.20×3+7.25×2+7.30+9.50)÷10 = 73.1÷10 = 7.31分
2. 计算中位数：
共10个数据，中位数为第5、第6个数据的平均数，即$(7.20+7.20)÷2 = 7.20$分
3. 确定众数：
7.20出现的次数最多（共3次），因此众数为7.20分
观察数据可知，存在6.10（异常低分）和9.50（异常高分）两个极端值，平均数7.31分受到极端值的较大影响，不能反映大多数评委的打分水平；而中位数和众数均为7.20分，不受极端值影响，符合大部分评委的打分情况，因此众数和中位数可以更好地表示得分的集中趋势。
【答案】
众数和中位数
【知识点】
1. 集中趋势统计量
2. 极端值的影响
3. 统计量的选用
【点评】
本题结合实际打分场景考查三类集中趋势统计量的特点与选用，解题核心是识别数据中的极端值，再结合不同统计量的优缺点判断即可，和生活实际关联度高，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7