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如何解方程：$x^2 - 2x = 0$？
答案
通过因式分解，方程可变形为$x(x-2)=0$
解析
【分析】
观察方程特征：方程右侧为0，左侧是不含常数项的二次多项式，存在公因式$x$，优先选用因式分解法求解。首先对左侧多项式提取公因式进行因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“两数相乘为0，则至少其中一个数为0”的性质，将一元二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程左边提取公因式$x$进行因式分解，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，方程成立；
当$x-2=0$时，解得$x=2$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，结合方程结构特点选择因式分解法可大幅简化计算过程，解题时注意不要遗漏$x=0$这个根。
【难度系数】
0.9
观察方程特征：方程右侧为0，左侧是不含常数项的二次多项式，存在公因式$x$，优先选用因式分解法求解。首先对左侧多项式提取公因式进行因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“两数相乘为0，则至少其中一个数为0”的性质，将一元二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程左边提取公因式$x$进行因式分解，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，方程成立；
当$x-2=0$时，解得$x=2$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，结合方程结构特点选择因式分解法可大幅简化计算过程，解题时注意不要遗漏$x=0$这个根。
【难度系数】
0.9
例 解下列方程：
(1) $2x^2 = -3x$；
(2) $x(x-2)+x-2=0$；
(3) $5x^2 -2x - \frac{1}{4} = x^2 -2x + \frac{3}{4}$。
(1) $2x^2 = -3x$；
(2) $x(x-2)+x-2=0$；
(3) $5x^2 -2x - \frac{1}{4} = x^2 -2x + \frac{3}{4}$。
答案
(1) 原方程可变形为$2x^2+3x=0$，$x(2x+3)=0$，$x=0$或$2x+3=0$，$\therefore x_1=0,x_2=-\frac{3}{2}$
(2) 原方程可变形为$(x-2)(x+1)=0$，$x-2=0$或$x+1=0$，$\therefore x_1=2,x_2=-1$
(3) 原方程可变形为$4x^2-1=0$，即$(2x-1)(2x+1)=0$，$2x-1=0$或$2x+1=0$，$\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) 原方程可变形为$(x-2)(x+1)=0$，$x-2=0$或$x+1=0$，$\therefore x_1=2,x_2=-1$
(3) 原方程可变形为$4x^2-1=0$，即$(2x-1)(2x+1)=0$，$2x-1=0$或$2x+1=0$，$\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这三道题均适用因式分解法求解一元二次方程，解题核心思路是先将方程整理为等号右侧为0的形式，再将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。具体到各小题：(1)移项后提取公因式x即可分解；(2)将(x-2)看作整体提取公因式即可分解；(3)先移项合并同类项，再用平方差公式分解因式。
【解析】
(1) 原方程移项变形得：$2x^2+3x=0$，
提取公因式得：$x(2x+3)=0$，
则$x=0$或$2x+3=0$，
解得$x_1=0,x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 原方程提取公因式$(x-2)$得：$(x-2)(x+1)=0$，
则$x-2=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=2,x_2=-1$。
(3) 原方程移项、合并同类项得：$4x^2-1=0$，
用平方差公式分解因式得：$(2x-1)(2x+1)=0$，
则$2x-1=0$或$2x+1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-\frac{3}{2}$；(2)$x_1=2,x_2=-1$；(3)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 提公因式分解因式 3. 平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，通过降次将二次方程转化为一元一次方程求解，熟练掌握提公因式、公式法等常见因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
这三道题均适用因式分解法求解一元二次方程，解题核心思路是先将方程整理为等号右侧为0的形式，再将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。具体到各小题：(1)移项后提取公因式x即可分解；(2)将(x-2)看作整体提取公因式即可分解；(3)先移项合并同类项，再用平方差公式分解因式。
【解析】
(1) 原方程移项变形得：$2x^2+3x=0$，
提取公因式得：$x(2x+3)=0$，
则$x=0$或$2x+3=0$，
解得$x_1=0,x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 原方程提取公因式$(x-2)$得：$(x-2)(x+1)=0$，
则$x-2=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=2,x_2=-1$。
(3) 原方程移项、合并同类项得：$4x^2-1=0$，
用平方差公式分解因式得：$(2x-1)(2x+1)=0$，
则$2x-1=0$或$2x+1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-\frac{3}{2}$；(2)$x_1=2,x_2=-1$；(3)$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 提公因式分解因式 3. 平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，通过降次将二次方程转化为一元一次方程求解，熟练掌握提公因式、公式法等常见因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 解下列方程：
(1) $(x+3)(x-2)=0$；
(2) $(2y+3)(y-1)=0$；
(3) $x^2 -7x=0$；
(4) $2x^2=-5x$；
(5) $2(x-4)+x(x-4)=0$；
(6) $4x(5x-3)=3(5x-3)$。
(1) $(x+3)(x-2)=0$；
(2) $(2y+3)(y-1)=0$；
(3) $x^2 -7x=0$；
(4) $2x^2=-5x$；
(5) $2(x-4)+x(x-4)=0$；
(6) $4x(5x-3)=3(5x-3)$。
答案
(1) $x_1=-3,x_2=2$
(2) $y_1=-\frac{3}{2},y_2=1$
(3) $x_1=0,x_2=7$
(4) $x_1=0,x_2=-\frac{5}{2}$
(5) $x_1=4, x_2=-2$
(6) $x_1=\frac{3}{5},x_2=\frac{3}{4}$
(2) $y_1=-\frac{3}{2},y_2=1$
(3) $x_1=0,x_2=7$
(4) $x_1=0,x_2=-\frac{5}{2}$
(5) $x_1=4, x_2=-2$
(6) $x_1=\frac{3}{5},x_2=\frac{3}{4}$
解析
【分析】
这组方程均适合用因式分解法求解，解题核心依据是：若两个因式的乘积为0，则两个因式中至少有一个等于0，据此可将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。解题注意：不要随意约去方程两边含未知数的公因式，避免漏根；若方程未整理为乘积为0的形式，需先移项再提取公因式，转化为两个因式相乘等于0的形式。
【解析】
(1) 由$(x+3)(x-2)=0$，可得$x+3=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=2$。
(2) 由$(2y+3)(y-1)=0$，可得$2y+3=0$或$y-1=0$，
解得$y_1=-\frac{3}{2}$，$y_2=1$。
(3) 提取公因式$x$得$x(x-7)=0$，
可得$x=0$或$x-7=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=7$。
(4) 移项得$2x^2+5x=0$，提取公因式$x$得$x(2x+5)=0$，
可得$x=0$或$2x+5=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-\frac{5}{2}$。
(5) 提取公因式$(x-4)$得$(x-4)(2+x)=0$，
可得$x-4=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
(6) 移项得$4x(5x-3)-3(5x-3)=0$，提取公因式$(5x-3)$得$(5x-3)(4x-3)=0$，
可得$5x-3=0$或$4x-3=0$，
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=-3,x_2=2$
(2) $y_1=-\frac{3}{2},y_2=1$
(3) $x_1=0,x_2=7$
(4) $x_1=0,x_2=-\frac{5}{2}$
(5) $x_1=4, x_2=-2$
(6) $x_1=\frac{3}{5},x_2=\frac{3}{4}$
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式因式分解
【点评】
这是因式分解法解一元二次方程的基础训练题，重点考查对“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的应用，解题时注意不要随意约去含未知数的因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.85
这组方程均适合用因式分解法求解，解题核心依据是：若两个因式的乘积为0，则两个因式中至少有一个等于0，据此可将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。解题注意：不要随意约去方程两边含未知数的公因式，避免漏根；若方程未整理为乘积为0的形式，需先移项再提取公因式，转化为两个因式相乘等于0的形式。
【解析】
(1) 由$(x+3)(x-2)=0$，可得$x+3=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=2$。
(2) 由$(2y+3)(y-1)=0$，可得$2y+3=0$或$y-1=0$，
解得$y_1=-\frac{3}{2}$，$y_2=1$。
(3) 提取公因式$x$得$x(x-7)=0$，
可得$x=0$或$x-7=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=7$。
(4) 移项得$2x^2+5x=0$，提取公因式$x$得$x(2x+5)=0$，
可得$x=0$或$2x+5=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-\frac{5}{2}$。
(5) 提取公因式$(x-4)$得$(x-4)(2+x)=0$，
可得$x-4=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
(6) 移项得$4x(5x-3)-3(5x-3)=0$，提取公因式$(5x-3)$得$(5x-3)(4x-3)=0$，
可得$5x-3=0$或$4x-3=0$，
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=-3,x_2=2$
(2) $y_1=-\frac{3}{2},y_2=1$
(3) $x_1=0,x_2=7$
(4) $x_1=0,x_2=-\frac{5}{2}$
(5) $x_1=4, x_2=-2$
(6) $x_1=\frac{3}{5},x_2=\frac{3}{4}$
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式因式分解
【点评】
这是因式分解法解一元二次方程的基础训练题，重点考查对“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的应用，解题时注意不要随意约去含未知数的因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.85
