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1.等腰三角形的判定:如果一个三角形有
两个角
相等,那么这个三角形是等腰三角形。简单地说,在同一个三角形中,等角对等边
。答案
1. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简单地说，在同一个三角形中，等角对等边。
解析
【分析】
本题是对等腰三角形判定定理的识记考查，解题思路为回忆课本中该定理的完整表述和简化说法即可作答。注意要将判定定理和等腰三角形的性质定理区分开：性质是“等边对等角”，由边的相等关系推导角的相等关系；判定是反过来由角的相等关系推导边的相等关系，不要混淆二者的表述。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。该定理的简化表述为：在同一个三角形中，等角对等边。因此两个空分别对应填入对应内容即可。
【答案】
两个角；等角对等边
【知识点】
等腰三角形的判定定理
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对课本核心定理的记忆掌握情况，难度较低，只要熟练掌握教材基础知识点就能快速得分，学习时要注意区分相似概念，避免记混判定定理和性质定理。
【难度系数】
0.9
本题是对等腰三角形判定定理的识记考查，解题思路为回忆课本中该定理的完整表述和简化说法即可作答。注意要将判定定理和等腰三角形的性质定理区分开：性质是“等边对等角”，由边的相等关系推导角的相等关系；判定是反过来由角的相等关系推导边的相等关系，不要混淆二者的表述。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。该定理的简化表述为：在同一个三角形中，等角对等边。因此两个空分别对应填入对应内容即可。
【答案】
两个角；等角对等边
【知识点】
等腰三角形的判定定理
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对课本核心定理的记忆掌握情况，难度较低，只要熟练掌握教材基础知识点就能快速得分，学习时要注意区分相似概念，避免记混判定定理和性质定理。
【难度系数】
0.9
2.等边三角形的判定：
三个角
都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°
的等腰
三角形是等边三角形。答案
2. 三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
解析
【分析】
本题考查等边三角形的判定定理，解题时需回忆等边三角形的两类判定规则：第一类从角的特征出发，结合三角形内角和为180°，若三个内角都相等，可推出每个角都是60°，对应三边也相等，符合等边三角形的定义；第二类结合等腰三角形的性质推导，等腰三角形本身已有两个角相等，若其中任意一个角为60°，可进一步推出三个角均为60°，满足等边三角形的条件，由此即可对应填出空缺内容。
【解析】
1. 第一个判定：根据等边三角形的判定规则，三个角都相等的三角形，每个内角为$180°÷3=60°$，三条边对应相等，因此是等边三角形，第一空填“三个角”；
2. 第二个判定：等腰三角形的两个底角相等，若存在一个角是$60°$：
若该角为顶角，两个底角度数为$(180°-60°)÷2=60°$，三个角均为$60°$，为等边三角形；
若该角为底角，另一个底角也为$60°$，顶角度数为$180°-60°×2=60°$，三个角均为$60°$，为等边三角形。
因此有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，后两空依次填“$60°$”“等腰”。
【答案】
三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对等边三角形判定定理的识记与理解，是三角形性质模块的核心基础内容，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查等边三角形的判定定理，解题时需回忆等边三角形的两类判定规则：第一类从角的特征出发，结合三角形内角和为180°，若三个内角都相等，可推出每个角都是60°，对应三边也相等，符合等边三角形的定义；第二类结合等腰三角形的性质推导，等腰三角形本身已有两个角相等，若其中任意一个角为60°，可进一步推出三个角均为60°，满足等边三角形的条件，由此即可对应填出空缺内容。
【解析】
1. 第一个判定：根据等边三角形的判定规则，三个角都相等的三角形，每个内角为$180°÷3=60°$，三条边对应相等，因此是等边三角形，第一空填“三个角”；
2. 第二个判定：等腰三角形的两个底角相等，若存在一个角是$60°$：
若该角为顶角，两个底角度数为$(180°-60°)÷2=60°$，三个角均为$60°$，为等边三角形；
若该角为底角，另一个底角也为$60°$，顶角度数为$180°-60°×2=60°$，三个角均为$60°$，为等边三角形。
因此有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，后两空依次填“$60°$”“等腰”。
【答案】
三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对等边三角形判定定理的识记与理解，是三角形性质模块的核心基础内容，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. 下列关于两个等腰三角形全等的判定中,叙述正确的是 (
A.有两条边对应相等的两个等腰三角形全等
B.有两个角对应相等的两个等腰三角形全等
C.有一腰和一角对应相等的两个等腰三角形全等
D.有一腰和一底角对应相等的两个等腰三角形全等
D
)A.有两条边对应相等的两个等腰三角形全等
B.有两个角对应相等的两个等腰三角形全等
C.有一腰和一角对应相等的两个等腰三角形全等
D.有一腰和一底角对应相等的两个等腰三角形全等
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），以及等腰三角形“两腰相等、两底角相等”的性质，逐一验证每个选项的条件是否满足全等判定要求，分析时要注意区分等腰三角形的边是腰还是底边、角是顶角还是底角，避免遗漏特殊情况。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若两条边对应相等，可能是一个三角形的腰和另一个三角形的底边对应相等，例如等腰三角形①三边为2、2、3，等腰三角形②三边为2、3、3，有两条边对应相等但两个三角形不全等，故A错误；
B. 两个角对应相等只能说明两个三角形形状相似，没有对应边相等的条件，无法判定全等，故B错误；
C. 若一角对应相等，可能是一个三角形的顶角和另一个三角形的底角相等，例如等腰三角形①顶角为30°、腰长为2，等腰三角形②底角为30°、腰长为2，两个三角形不全等，故C错误；
D. 一腰和一底角对应相等时，根据等腰三角形两底角相等，可得两个三角形的两组底角都对应相等，加上相等的腰，可通过ASA或AAS判定两个等腰三角形全等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质和全等判定的综合基础题，易错点是分析选项时忽略边的类型（腰/底边）、角的类型（顶角/底角）的差异，做题时需要全面考虑可能的情况，避免误判。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），以及等腰三角形“两腰相等、两底角相等”的性质，逐一验证每个选项的条件是否满足全等判定要求，分析时要注意区分等腰三角形的边是腰还是底边、角是顶角还是底角，避免遗漏特殊情况。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若两条边对应相等，可能是一个三角形的腰和另一个三角形的底边对应相等，例如等腰三角形①三边为2、2、3，等腰三角形②三边为2、3、3，有两条边对应相等但两个三角形不全等，故A错误；
B. 两个角对应相等只能说明两个三角形形状相似，没有对应边相等的条件，无法判定全等，故B错误；
C. 若一角对应相等，可能是一个三角形的顶角和另一个三角形的底角相等，例如等腰三角形①顶角为30°、腰长为2，等腰三角形②底角为30°、腰长为2，两个三角形不全等，故C错误；
D. 一腰和一底角对应相等时，根据等腰三角形两底角相等，可得两个三角形的两组底角都对应相等，加上相等的腰，可通过ASA或AAS判定两个等腰三角形全等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质和全等判定的综合基础题，易错点是分析选项时忽略边的类型（腰/底边）、角的类型（顶角/底角）的差异，做题时需要全面考虑可能的情况，避免误判。
【难度系数】
0.7
2. 观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（
D
）答案
2. D
解析
【分析】
要判断能否得到等腰三角形，核心是看作图痕迹能否推出△ABC有两边相等或两个内角相等。解题时先识别每个选项的尺规作图类型，再结合等腰三角形判定定理、线段垂直平分线性质等逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：作图痕迹是作∠B=∠C，根据“等角对等边”，可得AB=AC，能判断△ABC是等腰三角形，不符合题意；
选项B：作图痕迹是作BC的垂直平分线，且点A在该垂直平分线上，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得AB=AC，能判断△ABC是等腰三角形，不符合题意；
选项C：作图痕迹是作角相等可得△ABC的两个内角相等，根据“等角对等边”可得两边相等，能判断△ABC是等腰三角形，不符合题意；
选项D：作图痕迹仅能得到一条线段与AC长度相等，无法推出△ABC有两边相等或两角相等，不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，尺规作图识别，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图与等腰三角形判定结合考查，解题的关键是准确识别常见尺规作图的操作及对应的几何性质，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要判断能否得到等腰三角形，核心是看作图痕迹能否推出△ABC有两边相等或两个内角相等。解题时先识别每个选项的尺规作图类型，再结合等腰三角形判定定理、线段垂直平分线性质等逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：作图痕迹是作∠B=∠C，根据“等角对等边”，可得AB=AC，能判断△ABC是等腰三角形，不符合题意；
选项B：作图痕迹是作BC的垂直平分线，且点A在该垂直平分线上，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得AB=AC，能判断△ABC是等腰三角形，不符合题意；
选项C：作图痕迹是作角相等可得△ABC的两个内角相等，根据“等角对等边”可得两边相等，能判断△ABC是等腰三角形，不符合题意；
选项D：作图痕迹仅能得到一条线段与AC长度相等，无法推出△ABC有两边相等或两角相等，不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，尺规作图识别，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图与等腰三角形判定结合考查，解题的关键是准确识别常见尺规作图的操作及对应的几何性质，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AC,AC=AD,有如下四个结论:①AC⊥BD;②BC=DC;③∠DBC=∠DAC;④△ABD是等边三角形。则正确的结论是 (
A.①②③
B.①②④
C.①②
D.①②③④
C
)A.①②③
B.①②④
C.①②
D.①②③④
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手梳理关系：首先由AC平分∠DAB，且AB=AC=AD，可得到AD=AB，△ABD为等腰三角形，结合等腰三角形三线合一性质判断①；再通过SAS证明三角形全等判断②；接着通过假设角度推导或反例验证判断③；最后结合等边三角形的判定条件判断④即可。
【解析】
解：1. 判断结论①：
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
又
∵AC=AD，AC=AB，
∴AD=AB，
∴△ABD是等腰三角形，AC是等腰△ABD顶角∠DAB的角平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AC⊥BD，故①正确；
2. 判断结论②：
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠BAC=∠DAC \\AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC=DC，故②正确；
3. 判断结论③：
假设∠DAB=80°，则∠DAC=40°，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-80°)÷2=50°，
∵AD=AC，∠DAC=40°，
∴∠ADC=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠BDC=∠ADC - ∠ADB=20°，
又
∵BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC=20°≠40°，即∠DBC≠∠DAC，故③错误；
4. 判断结论④：
仅可推出AD=AB，△ABD是等腰三角形，题中未给出∠DAB=60°的条件，无法判定△ABD是等边三角形，故④错误。
综上，正确的结论为①②，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定
【点评】
本题侧重考查三角形基础性质的应用，解题关键是从已知的等线段、角平分线条件中挖掘边角关系，要注意等边三角形的判定需要额外的边长或60°角条件，不可仅凭两边相等就判定为等边。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手梳理关系：首先由AC平分∠DAB，且AB=AC=AD，可得到AD=AB，△ABD为等腰三角形，结合等腰三角形三线合一性质判断①；再通过SAS证明三角形全等判断②；接着通过假设角度推导或反例验证判断③；最后结合等边三角形的判定条件判断④即可。
【解析】
解：1. 判断结论①：
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
又
∵AC=AD，AC=AB，
∴AD=AB，
∴△ABD是等腰三角形，AC是等腰△ABD顶角∠DAB的角平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AC⊥BD，故①正确；
2. 判断结论②：
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠BAC=∠DAC \\AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC=DC，故②正确；
3. 判断结论③：
假设∠DAB=80°，则∠DAC=40°，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-80°)÷2=50°，
∵AD=AC，∠DAC=40°，
∴∠ADC=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠BDC=∠ADC - ∠ADB=20°，
又
∵BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC=20°≠40°，即∠DBC≠∠DAC，故③错误；
4. 判断结论④：
仅可推出AD=AB，△ABD是等腰三角形，题中未给出∠DAB=60°的条件，无法判定△ABD是等边三角形，故④错误。
综上，正确的结论为①②，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定
【点评】
本题侧重考查三角形基础性质的应用，解题关键是从已知的等线段、角平分线条件中挖掘边角关系，要注意等边三角形的判定需要额外的边长或60°角条件，不可仅凭两边相等就判定为等边。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$，$AB=AC$，$D$为$BC$上的一点，$∠ BAD=20°$，在$AD$的右侧作$△ ADE$，使得$AE=AD$，$∠ DAE=∠ BAC$，连结$CE$，$DE$，$DE$交$AC$于点$O$，若$CE// AB$，则$∠ COE$的度数为（
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
C
）A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先根据已知等角∠DAE=∠BAC，推导得出∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE的条件，用SAS证明△ABD≌△ACE，得到∠B=∠ACE；再结合CE//AB的平行性质，得到同旁内角互补，结合AB=AC推出∠B=∠ACB，可求出∠B的度数，进而得到∠BAC的度数；然后求出∠DAC的度数，再结合AD=AE、∠DAE=∠BAC得出△ADE的底角∠ADE的度数，利用三角形内角和求出∠AOD的度数，最后根据对顶角相等得到∠COE的度数。
【解析】
解：
∵ ∠DAE = ∠BAC，
∴ ∠DAE - ∠DAC = ∠BAC - ∠DAC，即∠BAD = ∠CAE，
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS），
∴ ∠B = ∠ACE，
∵ CE//AB，
∴ ∠B + ∠BCE = 180°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠ACB，
∴ ∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = ∠B + ∠B = 2∠B，
∴ ∠B + 2∠B = 180°，解得∠B = 60°，
∴ △ABC是等边三角形，∠BAC = 60°，
∴ ∠DAE = ∠BAC = 60°，
又
∵ AD=AE，
∴ △ADE是等边三角形，∠ADE = 60°，
∵ ∠BAD = 20°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 60° - 20° = 40°，
在△AOD中，∠AOD = 180° - ∠DAC - ∠ADE = 180° - 40° - 60° = 80°，
∵ ∠COE与∠AOD是对顶角，
∴ ∠COE = ∠AOD = 80°。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形全等、特殊三角形和平行线的相关性质，解题的关键是先通过SAS证明三角形全等，再结合平行和等腰的性质逐步推导角度，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知等角∠DAE=∠BAC，推导得出∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE的条件，用SAS证明△ABD≌△ACE，得到∠B=∠ACE；再结合CE//AB的平行性质，得到同旁内角互补，结合AB=AC推出∠B=∠ACB，可求出∠B的度数，进而得到∠BAC的度数；然后求出∠DAC的度数，再结合AD=AE、∠DAE=∠BAC得出△ADE的底角∠ADE的度数，利用三角形内角和求出∠AOD的度数，最后根据对顶角相等得到∠COE的度数。
【解析】
解：
∵ ∠DAE = ∠BAC，
∴ ∠DAE - ∠DAC = ∠BAC - ∠DAC，即∠BAD = ∠CAE，
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS），
∴ ∠B = ∠ACE，
∵ CE//AB，
∴ ∠B + ∠BCE = 180°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠ACB，
∴ ∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = ∠B + ∠B = 2∠B，
∴ ∠B + 2∠B = 180°，解得∠B = 60°，
∴ △ABC是等边三角形，∠BAC = 60°，
∴ ∠DAE = ∠BAC = 60°，
又
∵ AD=AE，
∴ △ADE是等边三角形，∠ADE = 60°，
∵ ∠BAD = 20°，
∴ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 60° - 20° = 40°，
在△AOD中，∠AOD = 180° - ∠DAC - ∠ADE = 180° - 40° - 60° = 80°，
∵ ∠COE与∠AOD是对顶角，
∴ ∠COE = ∠AOD = 80°。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形全等、特殊三角形和平行线的相关性质，解题的关键是先通过SAS证明三角形全等，再结合平行和等腰的性质逐步推导角度，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$,$CE$分别为$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线,则图中等腰三角形共有 (
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
D
)A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
5. D 【解析】设 CE 与 BD 的交点为点 O,如图
, 因为 AB = AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠ACB,再根据三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB=(180°−36°)/2=72°。因为 BD 是∠ABC 的平分线,所以∠ABD=∠DBC=1/2∠ABC=36°=∠A,所以 AD=BD。同理∠A=∠ACE=∠BCE=36°,AE=CE。因为∠DBC=36°,∠ACB=72°,根据三角形内角和定理知,∠BDC=180°−72°−36°=72°,所以BD = BC。同理 CE = BC。因为∠BOC =180°−36°−36°=108°,所以∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°,所以△ABC,△ADB,△AEC,△BEO,△COD,△BCE,△BDC,△BOC都是等腰三角形,共8个。故选 D。解析
【分析】
要解决本题，核心是利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，结合三角形内角和定理、角平分线的性质分析角度关系。解题思路如下：第一步先根据已知的等腰△ABC的顶角度数，算出两个底角的度数；第二步根据角平分线的性质，算出各个被平分后的小角的度数；第三步逐个分析图中所有三角形的内角度数，判断是否存在两个相等的内角，按顺序计数即可，注意不要遗漏两条角平分线相交形成的小三角形。
【解析】
设CE与BD的交点为点O，如图。
1. 因为AB=AC，∠A=36°，所以△ABC是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得：∠ABC=∠ACB=(180°−36°)÷2=72°。
2. 因为BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，所以∠ABD=∠DBC=36°，∠ACE=∠BCE=36°。
3. △ADB中，∠A=∠ABD=36°，所以AD=BD，△ADB是等腰三角形；同理△AEC中∠A=∠ACE=36°，AE=CE，△AEC是等腰三角形。
4. △BDC中，∠DBC=36°，∠ACB=72°，可得∠BDC=180°−36°−72°=72°=∠ACB，所以BD=BC，△BDC是等腰三角形；同理△BCE中∠BEC=180°−72°−36°=72°=∠ABC，CE=BC，△BCE是等腰三角形。
5. 两条角平分线交点O处：∠BOC=180°−36°−36°=108°，所以∠BOE=∠COD=72°。
△BEO中，∠BEO=72°，∠BOE=72°，所以BE=BO，△BEO是等腰三角形；
△COD中，∠CDO=72°，∠COD=72°，所以CD=CO，△COD是等腰三角形；
△BOC中，∠OBC=∠OCB=36°，所以OB=OC，△BOC是等腰三角形。
综上，共有△ABC、△ADB、△AEC、△BDC、△BCE、△BEO、△COD、△BOC8个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的性质
【点评】
本题解题的关键是通过角度计算得到相等的内角，再利用“等角对等边”判定等腰三角形，计数时要按照从大到小或从小到大的顺序，避免重复或漏数。
【难度系数】
0.6
要解决本题，核心是利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，结合三角形内角和定理、角平分线的性质分析角度关系。解题思路如下：第一步先根据已知的等腰△ABC的顶角度数，算出两个底角的度数；第二步根据角平分线的性质，算出各个被平分后的小角的度数；第三步逐个分析图中所有三角形的内角度数，判断是否存在两个相等的内角，按顺序计数即可，注意不要遗漏两条角平分线相交形成的小三角形。
【解析】
设CE与BD的交点为点O，如图
。1. 因为AB=AC，∠A=36°，所以△ABC是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得：∠ABC=∠ACB=(180°−36°)÷2=72°。
2. 因为BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，所以∠ABD=∠DBC=36°，∠ACE=∠BCE=36°。
3. △ADB中，∠A=∠ABD=36°，所以AD=BD，△ADB是等腰三角形；同理△AEC中∠A=∠ACE=36°，AE=CE，△AEC是等腰三角形。
4. △BDC中，∠DBC=36°，∠ACB=72°，可得∠BDC=180°−36°−72°=72°=∠ACB，所以BD=BC，△BDC是等腰三角形；同理△BCE中∠BEC=180°−72°−36°=72°=∠ABC，CE=BC，△BCE是等腰三角形。
5. 两条角平分线交点O处：∠BOC=180°−36°−36°=108°，所以∠BOE=∠COD=72°。
△BEO中，∠BEO=72°，∠BOE=72°，所以BE=BO，△BEO是等腰三角形；
△COD中，∠CDO=72°，∠COD=72°，所以CD=CO，△COD是等腰三角形；
△BOC中，∠OBC=∠OCB=36°，所以OB=OC，△BOC是等腰三角形。
综上，共有△ABC、△ADB、△AEC、△BDC、△BCE、△BEO、△COD、△BOC8个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的性质
【点评】
本题解题的关键是通过角度计算得到相等的内角，再利用“等角对等边”判定等腰三角形，计数时要按照从大到小或从小到大的顺序，避免重复或漏数。
【难度系数】
0.6
6.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；
③BC=BD+CE；④△ADE的周长=AB+AC；⑤BF=CF。其中正确的有（
A.①②③
B.①②④
C.①②④⑤
D.②④⑤
③BC=BD+CE；④△ADE的周长=AB+AC；⑤BF=CF。其中正确的有（
B
）A.①②③
B.①②④
C.①②④⑤
D.②④⑤
答案
6. B 【解析】因为 DE // BC,所以∠DFB =∠FBC,∠EFC=∠FCB。因为 BF 是∠ABC 的平分线,CF 是∠ACB 的平分线,所以∠FBC=∠FBD,∠FCE = ∠FCB,所以 ∠DBF =∠DFB,∠EFC=∠ECF,所以△DFB,△FEC都是等腰三角形,所以 DF = DB,FE = EC,即有 DE=DF+FE=DB+EC,所以△ADE 的周长 AD + AE + DE = AD + AE + DB + EC =AB+AC,①②④正确。故选 B。
解析
【分析】
解题时先结合角平分线的定义和平行线的性质推导等角，再根据“等角对等边”判断等腰三角形，再逐个验证5个结论：①由角平分线得两个角相等，由平行线得内错角相等，等量代换后可得到△BDF、△CEF的两个底角相等，即可判定为等腰三角形；②由等腰三角形的性质可得DF=BD，EF=CE，结合DE=DF+EF即可推导DE与BD、CE的关系；③DE和BC长度没有必然相等的关系，因此BD+CE（等于DE）不一定等于BC，可判断③错误；④△ADE的周长为AD+AE+DE，将DE替换为BD+CE，即可整理得到周长等于AB+AC；⑤只有当AB=AC时才能推出BF=CF，题目没有给出△ABC是等腰三角形的条件，因此⑤错误，最终选出正确结论即可。
【解析】
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）。
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠FBC=∠FBD，∠FCB=∠FCE（角平分线的定义）。
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC（等量代换），
∴△BDF、△CEF都是等腰三角形（等角对等边），故①正确；
∴DF=BD，EF=CE（等腰三角形两腰相等），
∴DE=DF+EF=BD+CE，故②正确，③错误；
△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+BD+CE=(AD+BD)+(AE+CE)=AB+AC，故④正确；
题中未说明AB=AC，无法推出∠ABC=∠ACB，因此无法得到∠FBC=∠FCB，即不能推出BF=CF，故⑤错误。
综上，正确的是①②④。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“角平分线+平行线”推导等腰三角形的经典模型考题，这类模型在几何题中出现频率较高，掌握该模型的推导逻辑可以快速找到解题突破口，解题时注意不要默认题目未给出的条件。
【难度系数】
0.7
解题时先结合角平分线的定义和平行线的性质推导等角，再根据“等角对等边”判断等腰三角形，再逐个验证5个结论：①由角平分线得两个角相等，由平行线得内错角相等，等量代换后可得到△BDF、△CEF的两个底角相等，即可判定为等腰三角形；②由等腰三角形的性质可得DF=BD，EF=CE，结合DE=DF+EF即可推导DE与BD、CE的关系；③DE和BC长度没有必然相等的关系，因此BD+CE（等于DE）不一定等于BC，可判断③错误；④△ADE的周长为AD+AE+DE，将DE替换为BD+CE，即可整理得到周长等于AB+AC；⑤只有当AB=AC时才能推出BF=CF，题目没有给出△ABC是等腰三角形的条件，因此⑤错误，最终选出正确结论即可。
【解析】
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）。
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠FBC=∠FBD，∠FCB=∠FCE（角平分线的定义）。
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC（等量代换），
∴△BDF、△CEF都是等腰三角形（等角对等边），故①正确；
∴DF=BD，EF=CE（等腰三角形两腰相等），
∴DE=DF+EF=BD+CE，故②正确，③错误；
△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+BD+CE=(AD+BD)+(AE+CE)=AB+AC，故④正确；
题中未说明AB=AC，无法推出∠ABC=∠ACB，因此无法得到∠FBC=∠FCB，即不能推出BF=CF，故⑤错误。
综上，正确的是①②④。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“角平分线+平行线”推导等腰三角形的经典模型考题，这类模型在几何题中出现频率较高，掌握该模型的推导逻辑可以快速找到解题突破口，解题时注意不要默认题目未给出的条件。
【难度系数】
0.7
