10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$△ ABC$内一点，且$BD=CD$。求证：$∠ ABD=∠ ACD$。

10. 证明:因为$AB=AC,BD=CD$,所以$∠ABC=∠ACB, ∠DBC=∠DCB$,所以$∠ABC - ∠DBC=∠ACB-∠DCB$,即$∠ABD=∠ACD$。

【分析】
要证明∠ABD=∠ACD，可先利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导相关等角：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得∠ABC=∠ACB；再由BD=CD可知△DBC是等腰三角形，可得∠DBC=∠DCB。结合∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠ACD=∠ACB-∠DCB，根据等式的性质，相等的量减去相等的量差相等，即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，BD=CD（已知）
∴ ∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB（等腰三角形等边对等角）
∴ ∠ABC - ∠DBC = ∠ACB - ∠DCB（等式的性质）
即 ∠ABD=∠ACD。
【答案】
证明:因为$AB=AC,BD=CD$,所以$∠ABC=∠ACB, ∠DBC=∠DCB$,所以$∠ABC - ∠DBC=∠ACB-∠DCB$,即$∠ABD=∠ACD$。
【知识点】
等腰三角形的性质、等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题关键是两次运用等腰三角形“等边对等角”的性质得到等角，再通过角的差的运算推导结论，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85

11. 如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD，CB=CD。求证：∠ABC=∠ADC。

11.连结BD,因为AB=AD(已知),所以$∠ABD=∠ADB$。又因为$CB = CD$(已知),所以$∠CBD=∠CDB$,所以$∠ABD + ∠CBD = ∠ADB+∠CDB$,即$∠ABC=∠ADC$。

【分析】
要证明∠ABC=∠ADC，已知AB=AD、CB=CD两组边相等，我们可以通过连接辅助线BD，把四边形分割为△ABD和△CBD两个等腰三角形，再利用等腰三角形等边对等角的性质得到两组相等的底角，最后通过角的和的运算即可推导出待证结论。
【解析】
证明：连结BD，
∵ AB=AD（已知），
∴ ∠ABD=∠ADB（等腰三角形的两个底角相等）。
又
∵ CB=CD（已知），
∴ ∠CBD=∠CDB（等腰三角形的两个底角相等）。
根据等式的性质，可得∠ABD + ∠CBD = ∠ADB + ∠CDB，
即∠ABC=∠ADC。
【答案】
连结BD,因为AB=AD(已知),所以$∠ABD=∠ADB$。又因为$CB = CD$(已知),所以$∠CBD=∠CDB$,所以$∠ABD + ∠CBD = ∠ADB+∠CDB$,即$∠ABC=∠ADC$。
【知识点】
等腰三角形性质、角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过构造辅助线将四边形问题转化为等腰三角形的角度问题，考查对等腰三角形性质的运用能力和基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

12. 等腰三角形中底角的角平分线与对边的锐角夹角为$66°$，这个等腰三角形的底角为（）

A.$76°$
B.$76°$或$22°$
C.$44°$或$76°$
D.$44°$或$38°$

12.C

【分析】
首先设等腰三角形的底角为x，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得顶角为180°-2x，底角的角平分线会将底角分为两个大小为$\frac{x}{2}$的角。由于题目明确是“锐角夹角”，需要分两种情况讨论：一是该锐角为角平分线、腰、底边围成的三角形的内角；二是该锐角为上述内角的邻补角，结合三角形内角和定理或外角性质列方程求解，最后验证解是否符合三角形内角规律即可。
【解析】
设这个等腰三角形的底角为$x$，则顶角为$180°-2x$，底角的角平分线将底角分为两个大小为$\frac{x}{2}$的角。
情况1：若题中66°锐角是角平分线、腰、底边围成的三角形的内角：
根据三角形内角和为180°，列方程得：
$x + \frac{x}{2} + 66° = 180°$
解得$\frac{3x}{2}=114°$，$x=76°$，此时三角形三个内角为76°、76°、28°，符合要求。
情况2：若题中66°锐角是上述三角形内角的邻补角：
根据三角形外角的性质，该锐角等于底角与半底角的和，列方程得：
$x + \frac{x}{2} = 66°$
解得$\frac{3x}{2}=66°$，$x=44°$，此时三角形三个内角为44°、44°、92°，符合要求。
因此底角为44°或76°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑其中一种夹角的情况导致漏解，解题时要紧扣“锐角夹角”的描述，对可能出现的两种情况分别计算，同时注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.6

13. 如图，$∠ A = 15°$，$AB = BC = CD = DE = FE$，则$∠ DEF$等于（）

A.$90°$
B.$75°$
C.$60°$
D.$45°$

13.C

【分析】
题目给出多条相等线段，可优先结合等腰三角形“等边对等角”的性质推导角的关系，再搭配三角形外角等于不相邻两内角和、三角形内角和为180°、平角为180°的性质，从已知的∠A出发，依次计算每个等腰三角形的内角，逐步推导到∠DEF所在三角形的角度，最终求出∠DEF的度数。
【解析】
1. 已知$AB=BC$，$∠ A=15°$，根据等腰三角形等边对等角得$∠ ACB=∠ A=15°$；
根据三角形外角性质，$∠ CBD=∠ A+∠ ACB=15°+15°=30°$。
2. 已知$BC=CD$，则$∠ CDB=∠ CBD=30°$；
在$△ BCD$中，$∠ BCD=180°-∠ CBD-∠ CDB=180°-30°-30°=120°$。
3. 点A、C、E共线，平角为$180°$，因此$∠ DCE=180°-∠ ACB-∠ BCD=180°-15°-120°=45°$；
已知$CD=DE$，则$∠ DEC=∠ DCE=45°$；
在$△ CDE$中，$∠ CDE=180°-∠ DCE-∠ DEC=180°-45°-45°=90°$。
4. 点B、D、F共线，平角为$180°$，因此$∠ EDF=180°-∠ CDB-∠ CDE=180°-30°-90°=60°$；
已知$DE=FE$，则$∠ EFD=∠ EDF=60°$；
在$△ DEF$中，$∠ DEF=180°-∠ EDF-∠ EFD=180°-60°-60°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的等腰三角形角度推导题，解题核心是利用“等边对等角”逐步传递角的数量关系，只要理清各三角形之间的角的联系，结合基础的角的运算性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

14. 如图,点D,E分别在$△ ABC$的边BC,AC上,若$AB=AC,AD=AE$,则()

A.当$∠ B$为定值时,$∠ CDE$为定值
B.当$∠ 1$为定值时,$∠ CDE$为定值
C.当$∠ 2$为定值时,$∠ CDE$为定值
D.当$∠ 3$为定值时,$∠ CDE$为定值

14.B 【解析】因为$AB=AC,AD=AE$,所以$∠B=∠C,∠ADE=∠3$,由三角形的外角性质得,$∠ADE+∠CDE=∠1+∠B,∠3=∠CDE+∠C$,所以$∠CDE+∠C+∠CDE=∠1+∠B$,所以$2∠CDE=∠1$,所以当$∠1$为定值时,$∠CDE$为定值。故选B。

【分析】
首先根据已知的两组等边，可得到两个等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质得到两组相等的底角：$∠ B=∠ C$，$∠ ADE=∠ 3$。接下来要探究$∠ CDE$的定值情况，需通过三角形外角性质建立$∠ CDE$和其他角的联系：一是$∠ ADC$作为$△ ABD$的外角，可表示为$∠ 1+∠ B$，同时$∠ ADC$也可拆分为$∠ ADE+∠ CDE$；二是$∠ 3$作为$△ CDE$的外角，可表示为$∠ CDE+∠ C$。将上述等量关系代入，消去相等的角后即可得到$∠ CDE$和$∠ 1$的数量关系，进而判断选项。
【解析】
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$（等腰三角形两底角相等）
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ ADE=∠ 3$（等腰三角形两底角相等）
根据三角形外角的性质：
$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ 1+∠ B$，
又$\because ∠ ADC=∠ ADE+∠ CDE$，
$\therefore ∠ ADE+∠ CDE=∠ 1+∠ B$ ①
$∠ 3$是$△ CDE$的外角，$\therefore ∠ 3=∠ CDE+∠ C$ ②
将②和$∠ ADE=∠ 3$、$∠ B=∠ C$代入①得：
$∠ CDE+∠ C +∠ CDE =∠ 1 +∠ C$
化简得$2∠ CDE=∠ 1$，即$∠ CDE=\frac{1}{2}∠ 1$
因此当$∠ 1$为定值时，$∠ CDE$为定值。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等量代换
【点评】
本题是等腰三角形性质和三角形外角性质的综合应用题，解题的核心是利用外角性质建立不同角之间的等量关系，通过代换消去无关角得到目标角的数量关系，需要具备一定的角度推导能力。
【难度系数】
0.6

15. 如图，在等腰三角形ABC的两腰AB，BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ACB，则∠B的度数是。

15.20° 【解析】设$∠B=x$。因为$DB=DE$,所以$∠DEB=∠B=x$,所以$∠ADE=∠DEB + ∠B=2x$,所以$∠ACB=2∠ADE=4x$。因为$AB=BC$,所以$∠ACB=∠A=4x$。在$△ABC$中,因为$∠A+∠B+∠C=180°$,所以$4x+x+4x=180°$,所以$x=20°$。即$∠B$的度数是$20°$。故答案为$20°$。

【分析】
本题可通过设未知数列方程的方法求解：首先设所求的∠B为x，先利用等腰△BDE等边对等角的性质得到∠DEB=∠B=x，再根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，结合题目给出的∠ADE与∠ACB的数量关系得到∠ACB的度数；接着利用等腰△ABC等边对等角的性质得到∠A=∠ACB，最后根据三角形内角和为180°列方程求解即可得到∠B的度数。
【解析】
设$∠ B=x$。
$\because DB=DE$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ DEB=∠ B=x$。
$\because ∠ ADE$是$△ BDE$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，$\therefore ∠ ADE=∠ DEB + ∠ B=2x$。
由题意$∠ ADE=\frac{1}{2}∠ ACB$，$\therefore ∠ ACB=2∠ ADE=4x$。
$\because △ ABC$是等腰三角形，$AB=BC$，$\therefore ∠ A=∠ ACB=4x$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得：
$4x+x+4x=180°$
$9x=180°$
解得$x=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题关键是利用等腰三角形的性质转化角的等量关系，结合外角、内角和定理建立方程求解，设未知数列方程求角度是这类问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7

16. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点D在BC边上，点E在AB边上，连结AD，DE，已知$∠ 1=∠ 2$，$AD=DE$。求证：$BD=AC$。

16. 证明:因为$AB=AC$,所以$∠B=∠C$。在$△ADC$和$△DEB$中,因为$∠B=∠C,∠2=∠1,DE=AD$,所以$△ADC≌△DEB(AAS)$,所以$BD=AC$。

【分析】
要证明$BD=AC$，可通过证明两条线段所在的三角形全等得到结论。首先根据已知$AB=AC$，利用等腰三角形等边对等角的性质可得$∠B=∠C$；再结合已知条件$∠1=∠2$、$AD=DE$，刚好满足$△ ADC$和$△ DEB$全等的AAS判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到$BD=AC$。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠B=∠C$（等腰三角形两底角相等）。
在$△ ADC$和$△ DEB$中：
$\begin{cases}∠C=∠B \\∠1=∠2 \\AD=DE\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ DEB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=AC$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$BD=AC$
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，全等三角形性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查等腰三角形性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是结合已知条件找准全等三角形，梳理清楚逻辑推导顺序，掌握相关基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

17.已知:如图,在$△ ABC$中,D,E是边BC上的两点,且$AB=BE,AC=CD$。
(1)若$∠ BAC=90°$,求$∠ DAE$的度数。
(2)若$∠ BAC=120°$,直接写出$∠ DAE$的度数。
(3)设$∠ BAC=α,∠ DAE=β$,猜想$α$与$β$之间的数量关系(不需证明)。

17.(1)因为$BE=BA$,所以$∠BAE=∠BEA$,所以$∠B=180°-2∠BAE$①。因为$CD=CA$,所以$∠CAD=∠CDA$,所以$∠C=180°-2∠CAD$②,①+②得:$∠B+∠C=360°-2(∠BAE+∠CAD)$,所以$180° - ∠BAC = 360° - 2[(∠BAD+∠DAE)+(∠DAE+∠CAE)]$,所以$-∠BAC=180°-2[(∠BAD+∠DAE+∠CAE)+∠DAE]$,所以$-∠BAC=180°-2(∠BAC+∠DAE)$,所以$2∠DAE=180°-∠BAC$。因为$∠BAC=90°$,所以$2∠DAE = 180°-90°=90°$,所以$∠DAE=45°$。
(2)由(1)知,$∠DAE=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
(3)由(1)知,$β=\frac{1}{2}(180°-α)$,所以$α+2β=180°$。

【分析】
解题时首先观察题目给出的$AB=BE$、$AC=CD$，可得到两个等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，分别表示出$∠ B$与$∠ BAE$、$∠ C$与$∠ CAD$的关系；再结合三角形内角和定理，将$△ ABC$中$∠ B+∠ C$替换为$180°-∠ BAC$，之后把$∠ BAE$、$∠ CAD$拆分为包含$∠ DAE$和$∠ BAC$的角的和，整理即可得到$∠ DAE$和$∠ BAC$的数量关系，代入对应角度就能求解各小问。
【解析】
(1) 因为$BE=BA$，所以$∠ BAE=∠ BEA$，根据三角形内角和定理可得$∠ B=180°-2∠ BAE$ ①。
因为$CD=CA$，所以$∠ CAD=∠ CDA$，同理可得$∠ C=180°-2∠ CAD$ ②。
将①+②得：$∠ B+∠ C=360°-2(∠ BAE+∠ CAD)$。
在$△ ABC$中，$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC$，且$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE$，$∠ CAD=∠ DAE+∠ CAE$，代入上式得：
$180° - ∠ BAC = 360° - 2[(∠ BAD+∠ DAE)+(∠ DAE+∠ CAE)]$
整理得：$-∠ BAC=180°-2[(∠ BAD+∠ DAE+∠ CAE)+∠ DAE]$
又因为$∠ BAD+∠ DAE+∠ CAE=∠ BAC$，代入得：
$-∠ BAC=180°-2(∠ BAC+∠ DAE)$
化简得$2∠ DAE=180°-∠ BAC$。
将$∠ BAC=90°$代入，得$2∠ DAE=180°-90°=90°$，所以$∠ DAE=45°$。
(2) 由(1)推导得到的关系$∠ DAE=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$，代入$∠ BAC=120°$，得：
$∠ DAE=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
(3) 由(1)的推导，将$∠ BAC=α$，$∠ DAE=β$代入$2β=180°-α$，整理得$α+2β=180°$。
【答案】
(1) $45°$
(2) $30°$
(3) $α+2β=180°$（或$β=\frac{180°-α}{2}$）
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角的和差计算
【点评】
本题侧重考察等腰三角形性质与三角形内角和定理的综合运用，解题核心是通过等腰三角形的角的关系建立已知角和待求角之间的联系，推导过程中需要熟练进行角的拆分与转化，掌握这类推导方法可以快速解决同类型的等腰三角形角度计算问题。
【难度系数】
0.6