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7. 如图, 六边形 $ ABCDEF ∽ $ 六边形 $ GHIJKL $, 相似比为 $ 4:3 $, 则下列结论正确的是 （
A.$ 3BC=4HI $
B.六边形 $ ABCDEF $ 的周长：六边形 $ GHIJKL $ 的周长 $ =3:4 $
C.$ ∠ E=\frac{4}{3}∠ K $
D.$ 3S_{\mathrm{六边形}ABCDEF}=4S_{\mathrm{六边形}GHIJKL} $
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
A
）A.$ 3BC=4HI $
B.六边形 $ ABCDEF $ 的周长：六边形 $ GHIJKL $ 的周长 $ =3:4 $
C.$ ∠ E=\frac{4}{3}∠ K $
D.$ 3S_{\mathrm{六边形}ABCDEF}=4S_{\mathrm{六边形}GHIJKL} $
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
答案
7.A
解析
【分析】
解题时首先明确相似多边形的书写顺序对应顶点的对应关系，本题中六边形ABCDEF与六边形GHIJKL相似，相似比为4:3即前者与后者的边长比为4:3，再结合相似多边形的核心性质：对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，逐个对选项进行验证即可选出正确结论。
【解析】
已知六边形$ABCDEF ∽ $六边形$GHIJKL$，相似比为$4:3$，可得：
1. 对应边成比例：$BC$与$HI$是对应边，因此$\frac{BC}{HI}=\frac{4}{3}$，交叉乘得$3BC=4HI$，故A选项正确；
2. 相似多边形周长比等于相似比，因此两个六边形的周长比为$4:3$，B选项错误；
3. 相似多边形对应角相等，因此$∠ E=∠ K$，C选项错误；
4. 相似多边形面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{\mathrm{六边形}ABCDEF}}{S_{\mathrm{六边形}GHIJKL}}=(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，整理得$9S_{\mathrm{六边形}ABCDEF}=16S_{\mathrm{六边形}GHIJKL}$，D选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形性质，相似比，周长面积比规律
【点评】
本题属于相似多边形的基础考查题，解题的关键是准确把握相似的对应关系，牢记相似比、周长比、面积比三者的联系，避免混淆面积比和相似比的关系导致失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确相似多边形的书写顺序对应顶点的对应关系，本题中六边形ABCDEF与六边形GHIJKL相似，相似比为4:3即前者与后者的边长比为4:3，再结合相似多边形的核心性质：对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，逐个对选项进行验证即可选出正确结论。
【解析】
已知六边形$ABCDEF ∽ $六边形$GHIJKL$，相似比为$4:3$，可得：
1. 对应边成比例：$BC$与$HI$是对应边，因此$\frac{BC}{HI}=\frac{4}{3}$，交叉乘得$3BC=4HI$，故A选项正确；
2. 相似多边形周长比等于相似比，因此两个六边形的周长比为$4:3$，B选项错误；
3. 相似多边形对应角相等，因此$∠ E=∠ K$，C选项错误；
4. 相似多边形面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{\mathrm{六边形}ABCDEF}}{S_{\mathrm{六边形}GHIJKL}}=(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，整理得$9S_{\mathrm{六边形}ABCDEF}=16S_{\mathrm{六边形}GHIJKL}$，D选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形性质，相似比，周长面积比规律
【点评】
本题属于相似多边形的基础考查题，解题的关键是准确把握相似的对应关系，牢记相似比、周长比、面积比三者的联系，避免混淆面积比和相似比的关系导致失误。
【难度系数】
0.8
8 如图，菱形$ABCD ∽$菱形$AEFG$，菱形$AEFG$的顶点$G$在菱形$ABCD$的$BC$边上运动，$GF$与$AB$相交于点$H$，$∠ E=60°$.若$CG=3$，$AH=7$，则菱形$ABCD$的边长为（
A.$8$
B.$9$
C.$8\sqrt{3}$
D.$9\sqrt{3}$
B
）A.$8$
B.$9$
C.$8\sqrt{3}$
D.$9\sqrt{3}$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先结合菱形性质和相似多边形性质得到对应角相等，再通过角度的等量代换推导角相等，证明三角形相似，最后设边长为未知数，利用相似三角形的比例关系列方程求解。步骤如下：①根据菱形及相似多边形性质，得∠B=∠AGF=60°；②利用三角形内角和推导∠BAG=∠BGH，结合公共角∠B，证明△BAG∽△BGH；③设菱形边长为x，用x表示BG、BH的长度，代入相似比例式解方程即可。
【解析】
设菱形ABCD的边长为$x$，则$AB=BC=x$。
∵菱形$ABCD ∽$菱形$AEFG$，$∠E=60°$，
∴$∠B=∠E=∠AGF=60°$。
在$△ ABG$中，$∠B=60°$，
∴$∠BAG + ∠AGB = 180°-60°=120°$，
又
∵$∠AGF=60°$，
∴$∠AGB + ∠BGH = 180°-60°=120°$，
∴$∠BAG=∠BGH$，又$∠B=∠B$，
∴$△ BAG ∽ △ BGH$（两角分别相等的两个三角形相似）。
已知$CG=3$，$AH=7$，
∴$BG=BC-CG=x-3$，$BH=AB-AH=x-7$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{BG}{AB}=\frac{BH}{BG}$，即$BG^2=AB·BH$，
代入得$(x-3)^2=x(x-7)$，
展开得$x^2-6x+9=x^2-7x$，
化简解得$x=9$。
【答案】B
【知识点】
菱形的性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过角度代换找到相似三角形，再结合方程思想求解，掌握角的等量代换方法和相似的判定规则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.65
解题时首先结合菱形性质和相似多边形性质得到对应角相等，再通过角度的等量代换推导角相等，证明三角形相似，最后设边长为未知数，利用相似三角形的比例关系列方程求解。步骤如下：①根据菱形及相似多边形性质，得∠B=∠AGF=60°；②利用三角形内角和推导∠BAG=∠BGH，结合公共角∠B，证明△BAG∽△BGH；③设菱形边长为x，用x表示BG、BH的长度，代入相似比例式解方程即可。
【解析】
设菱形ABCD的边长为$x$，则$AB=BC=x$。
∵菱形$ABCD ∽$菱形$AEFG$，$∠E=60°$，
∴$∠B=∠E=∠AGF=60°$。
在$△ ABG$中，$∠B=60°$，
∴$∠BAG + ∠AGB = 180°-60°=120°$，
又
∵$∠AGF=60°$，
∴$∠AGB + ∠BGH = 180°-60°=120°$，
∴$∠BAG=∠BGH$，又$∠B=∠B$，
∴$△ BAG ∽ △ BGH$（两角分别相等的两个三角形相似）。
已知$CG=3$，$AH=7$，
∴$BG=BC-CG=x-3$，$BH=AB-AH=x-7$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{BG}{AB}=\frac{BH}{BG}$，即$BG^2=AB·BH$，
代入得$(x-3)^2=x(x-7)$，
展开得$x^2-6x+9=x^2-7x$，
化简解得$x=9$。
【答案】B
【知识点】
菱形的性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过角度代换找到相似三角形，再结合方程思想求解，掌握角的等量代换方法和相似的判定规则是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.65
9如图,在梯形ABCD中,AD//BC,BC=60,AD=15,E、F分别是AB、CD上的点,且EF//AD.若梯形AEFD∽梯形EBCF,则EF的长度为
30
.答案
9.30
解析
【分析】
首先审题，已知梯形AEFD与梯形EBCF相似，且给出AD=15、BC=60，要求EF的长度。我们可以回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。接下来需要找准两个相似梯形的对应边：梯形AEFD的上底为AD，下底为EF；梯形EBCF的上底为EF，下底为BC，两组边分别对应，因此可以得到比例式$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}$，可知EF是AD和BC的比例中项，代入数值计算即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵梯形AEFD∽梯形EBCF
根据相似多边形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}$
变形得$EF^2 = AD · BC$
将AD=15，BC=60代入上式：
$EF^2 = 15 × 60 = 900$
∵EF是线段长度，结果为正
∴$EF=\sqrt{900}=30$
【答案】
30
【知识点】
相似多边形的性质、比例的基本性质、算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似多边形性质的应用，解题的核心是准确找到相似梯形的对应边，列出正确的比例式，易错点为对应边匹配错误导致比例式列错。
【难度系数】
0.7
首先审题，已知梯形AEFD与梯形EBCF相似，且给出AD=15、BC=60，要求EF的长度。我们可以回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。接下来需要找准两个相似梯形的对应边：梯形AEFD的上底为AD，下底为EF；梯形EBCF的上底为EF，下底为BC，两组边分别对应，因此可以得到比例式$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}$，可知EF是AD和BC的比例中项，代入数值计算即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵梯形AEFD∽梯形EBCF
根据相似多边形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}$
变形得$EF^2 = AD · BC$
将AD=15，BC=60代入上式：
$EF^2 = 15 × 60 = 900$
∵EF是线段长度，结果为正
∴$EF=\sqrt{900}=30$
【答案】
30
【知识点】
相似多边形的性质、比例的基本性质、算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似多边形性质的应用，解题的核心是准确找到相似梯形的对应边，列出正确的比例式，易错点为对应边匹配错误导致比例式列错。
【难度系数】
0.7
10如图,在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使点B落在AD上的点F处.若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
.答案
10.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
解析
【分析】
首先利用折叠的性质，可知折叠后△ABE与△AFE全等，进而可推出四边形ABEF是正方形，得到相关线段的长度；再设AD的长为x，用含x的代数式表示出四边形EFDC的各边长度；最后根据相似多边形对应边成比例的性质列方程，求解方程并结合实际意义舍去负根即可得到AD的长度。
【解析】
设AD的长为$x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，$AB=1$，
∴ $CD=AB=1$，$∠ BAD=∠ B=∠ D=∠ C=90°$，$BC=AD=x$。
由折叠的性质可知：$△ ABE ≌ △ AFE$，
∴ $AB=AF=1$，$∠ AFE=∠ B=90°$，$BE=FE$，
∴ 四边形ABEF是正方形（三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形），
∴ $FE=AB=1$，$BE=1$，
∴ $FD=AD-AF=x-1$，$EC=BC-BE=x-1$。
∵ 四边形EFDC与矩形ABCD相似，且四边形EFDC也是矩形，
∴ 对应边成比例，即$\frac{EF}{AD}=\frac{FD}{CD}$，
代入数值得：$\frac{1}{x}=\frac{x-1}{1}$，
整理得：$x^2 -x -1=0$，
解这个方程得：$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵ 线段长度为正数，
∴ 舍去负根$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∴ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
折叠的性质，相似多边形的性质，矩形的性质
【点评】
本题综合考查了折叠变换、矩形的判定与性质、相似多边形的性质，解题的关键是利用折叠的性质得出相关线段的数量关系，再根据相似的比例关系建立方程求解，注意解要符合线段长度为正的实际要求。
【难度系数】
0.6
首先利用折叠的性质，可知折叠后△ABE与△AFE全等，进而可推出四边形ABEF是正方形，得到相关线段的长度；再设AD的长为x，用含x的代数式表示出四边形EFDC的各边长度；最后根据相似多边形对应边成比例的性质列方程，求解方程并结合实际意义舍去负根即可得到AD的长度。
【解析】
设AD的长为$x$，
∵ 四边形ABCD是矩形，$AB=1$，
∴ $CD=AB=1$，$∠ BAD=∠ B=∠ D=∠ C=90°$，$BC=AD=x$。
由折叠的性质可知：$△ ABE ≌ △ AFE$，
∴ $AB=AF=1$，$∠ AFE=∠ B=90°$，$BE=FE$，
∴ 四边形ABEF是正方形（三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形），
∴ $FE=AB=1$，$BE=1$，
∴ $FD=AD-AF=x-1$，$EC=BC-BE=x-1$。
∵ 四边形EFDC与矩形ABCD相似，且四边形EFDC也是矩形，
∴ 对应边成比例，即$\frac{EF}{AD}=\frac{FD}{CD}$，
代入数值得：$\frac{1}{x}=\frac{x-1}{1}$，
整理得：$x^2 -x -1=0$，
解这个方程得：$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵ 线段长度为正数，
∴ 舍去负根$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∴ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
折叠的性质，相似多边形的性质，矩形的性质
【点评】
本题综合考查了折叠变换、矩形的判定与性质、相似多边形的性质，解题的关键是利用折叠的性质得出相关线段的数量关系，再根据相似的比例关系建立方程求解，注意解要符合线段长度为正的实际要求。
【难度系数】
0.6
11. 如图，多边形ABCDEF和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$相似，其中A、B、C、D、E、F的对应点分别为$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$、$E_1$、$F_1$，$∠A=∠D_1=135°$，$∠B=∠E_1=120°$，$∠C_1=95°$。
(1)求$∠F$的度数；
(2)如果多边形ABCDEF和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$的相似比是$1:1.5$，且$CD=15\ \mathrm{cm}$，求$C_1D_1$的长度。
(1)求$∠F$的度数；
(2)如果多边形ABCDEF和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$的相似比是$1:1.5$，且$CD=15\ \mathrm{cm}$，求$C_1D_1$的长度。
答案
11.解:(1)
∵多边形ABCDEF∽多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$,
∴$∠A=∠A_1,∠B=∠B_1,∠C=∠C_1,∠D=∠D_1,∠E=∠E_1,∠F=∠F_1$.
∵$∠A=∠D_1=135°,∠B=∠E_1=120°,∠C_1=95°$,
∴$∠C=95°,∠D=135°,∠E=120°$.
∵六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$,
∴$∠F=720°-∠A-∠B-∠C-∠D-∠E=720°-135°-120°-95°-135°-120°=115°$.
(2)
∵多边形ABCDEF∽多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$,
$\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{1}{1.5},CD=15\ \mathrm{cm}$,
∴$C_1D_1=1.5CD=22.5\ \mathrm{cm}$.
∵多边形ABCDEF∽多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$,
∴$∠A=∠A_1,∠B=∠B_1,∠C=∠C_1,∠D=∠D_1,∠E=∠E_1,∠F=∠F_1$.
∵$∠A=∠D_1=135°,∠B=∠E_1=120°,∠C_1=95°$,
∴$∠C=95°,∠D=135°,∠E=120°$.
∵六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$,
∴$∠F=720°-∠A-∠B-∠C-∠D-∠E=720°-135°-120°-95°-135°-120°=115°$.
(2)
∵多边形ABCDEF∽多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$,
$\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{1}{1.5},CD=15\ \mathrm{cm}$,
∴$C_1D_1=1.5CD=22.5\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1)求解∠F的度数：首先利用相似多边形对应角相等的性质，将已知的对应角全部转化为六边形ABCDEF的内角度数，再根据n边形内角和公式$(n-2)×180°$求出六边形的内角和，最后用内角和减去其余5个内角的度数就能得到∠F的度数。
(2)求解$C_1D_1$的长度：根据相似多边形对应边成比例，且比值等于相似比，结合已知的CD长度和相似比，列比例式计算即可得到$C_1D_1$的长度。
【解析】
(1)
∵多边形ABCDEF∽多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$，
∴对应角相等，即$∠A=∠A_1,∠B=∠B_1,∠C=∠C_1,∠D=∠D_1,∠E=∠E_1,∠F=∠F_1$。
已知$∠A=∠D_1=135°,∠B=∠E_1=120°,∠C_1=95°$，
代入得$∠C=95°,∠D=135°,∠E=120°$。
六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，
∴$∠F=720°-∠A-∠B-∠C-∠D-∠E=720°-135°-120°-95°-135°-120°=115°$。
(2)
∵多边形ABCDEF∽多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$，相似比为$1:1.5$，
∴对应边成比例，即$\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{1}{1.5}$。
已知$CD=15\ \mathrm{cm}$，
∴$C_1D_1=1.5× CD=1.5×15=22.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠F=115°}$；(2) $\boldsymbol{C_1D_1=22.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似多边形的性质、多边形内角和、比例运算
【点评】
本题是基础应用类题目，主要考查相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质，以及多边形内角和公式的应用，解题时要准确识别对应角和对应边，代入数值计算即可，注意计算过程中角度和数值的准确性。
【难度系数】
0.85
(1)求解∠F的度数：首先利用相似多边形对应角相等的性质，将已知的对应角全部转化为六边形ABCDEF的内角度数，再根据n边形内角和公式$(n-2)×180°$求出六边形的内角和，最后用内角和减去其余5个内角的度数就能得到∠F的度数。
(2)求解$C_1D_1$的长度：根据相似多边形对应边成比例，且比值等于相似比，结合已知的CD长度和相似比，列比例式计算即可得到$C_1D_1$的长度。
【解析】
(1)
∵多边形ABCDEF∽多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$，
∴对应角相等，即$∠A=∠A_1,∠B=∠B_1,∠C=∠C_1,∠D=∠D_1,∠E=∠E_1,∠F=∠F_1$。
已知$∠A=∠D_1=135°,∠B=∠E_1=120°,∠C_1=95°$，
代入得$∠C=95°,∠D=135°,∠E=120°$。
六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，
∴$∠F=720°-∠A-∠B-∠C-∠D-∠E=720°-135°-120°-95°-135°-120°=115°$。
(2)
∵多边形ABCDEF∽多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$，相似比为$1:1.5$，
∴对应边成比例，即$\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{1}{1.5}$。
已知$CD=15\ \mathrm{cm}$，
∴$C_1D_1=1.5× CD=1.5×15=22.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠F=115°}$；(2) $\boldsymbol{C_1D_1=22.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似多边形的性质、多边形内角和、比例运算
【点评】
本题是基础应用类题目，主要考查相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质，以及多边形内角和公式的应用，解题时要准确识别对应角和对应边，代入数值计算即可，注意计算过程中角度和数值的准确性。
【难度系数】
0.85
