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12.如图，已知$□ ABCD ∽ □ EMFC$，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，$AB=4$，$BC=6$，且$∠ A=130°$。
(1)求$∠ M$的度数；
(2)若$ME=3$，求$DE$的长。
(1)求$∠ M$的度数；
(2)若$ME=3$，求$DE$的长。
答案
12.解:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$AD// BC$,
∴$∠B=180°-∠A=180°-130°=50°$.
∵$□ABCD∽□EMFC$,
∴$∠M=∠B=50°$.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$AD=BC=6,CD=AB=4$.
∵$□ABCD∽□EMFC$,
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{ME}{AB}$,
即$\frac{CE}{6}=\frac{3}{4}$,
∴$CE=\frac{9}{2}$,
∴$DE=CE-CD=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$AD// BC$,
∴$∠B=180°-∠A=180°-130°=50°$.
∵$□ABCD∽□EMFC$,
∴$∠M=∠B=50°$.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$AD=BC=6,CD=AB=4$.
∵$□ABCD∽□EMFC$,
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{ME}{AB}$,
即$\frac{CE}{6}=\frac{3}{4}$,
∴$CE=\frac{9}{2}$,
∴$DE=CE-CD=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1)要求∠M的度数，首先已知两个平行四边形相似，根据相似多边形对应角相等的性质，可知∠M的对应角是平行四边形ABCD的内角∠B，因此先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，即可得到∠M的度数。
(2)要求DE的长，由图可知DE=CE-CD，其中CD的长等于AB=4，因此只需求出CE的长即可。根据相似多边形对应边成比例的性质，结合已知的AB、BC、ME的长度，列出比例式求出CE，再减去CD的长度就能得到DE的长。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠B=180°-∠A=180°-130°=50°$，
∵$□ABCD∽□EMFC$，相似多边形对应角相等，
∴$∠M=∠B=50°$。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=6$，$CD=AB=4$，
∵$□ABCD∽□EMFC$，相似多边形对应边成比例，
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{ME}{AB}$，
代入数值得$\frac{CE}{6}=\frac{3}{4}$，
解得$CE=\frac{9}{2}$，
∴$DE=CE-CD=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{50°}$；(2)$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似多边形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确找到相似多边形的对应角和对应边，结合平行四边形的性质列式计算即可，熟练掌握相关性质是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
(1)要求∠M的度数，首先已知两个平行四边形相似，根据相似多边形对应角相等的性质，可知∠M的对应角是平行四边形ABCD的内角∠B，因此先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，即可得到∠M的度数。
(2)要求DE的长，由图可知DE=CE-CD，其中CD的长等于AB=4，因此只需求出CE的长即可。根据相似多边形对应边成比例的性质，结合已知的AB、BC、ME的长度，列出比例式求出CE，再减去CD的长度就能得到DE的长。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠B=180°-∠A=180°-130°=50°$，
∵$□ABCD∽□EMFC$，相似多边形对应角相等，
∴$∠M=∠B=50°$。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=6$，$CD=AB=4$，
∵$□ABCD∽□EMFC$，相似多边形对应边成比例，
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{ME}{AB}$，
代入数值得$\frac{CE}{6}=\frac{3}{4}$，
解得$CE=\frac{9}{2}$，
∴$DE=CE-CD=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{50°}$；(2)$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似多边形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确找到相似多边形的对应角和对应边，结合平行四边形的性质列式计算即可，熟练掌握相关性质是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
13.如图，E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是$\sqrt{3}:2$，连接EB、GD.
(1)求证:EB=GD；
(2)若$∠ DAB=60°$，AB=2，求GD的长.
(1)求证:EB=GD；
(2)若$∠ DAB=60°$，AB=2，求GD的长.
答案
13.(1)证明:
∵菱形AEFG∽菱形ABCD,
∴$∠EAG=∠BAD$,
∴$∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB$,
∴$∠EAB=∠GAD$.
∵$AE=AG,AB=AD$,
∴$△AEB≌△AGD$,
∴$EB=GD$.
(2)解:如图,连接BD交AC于点P,则$BP⊥AC$.
∵$∠DAB=60°$,
∴$∠PAB=30°$.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是$\sqrt{3}:2$,
$AB=2$,
∴$AE=\sqrt{3},BP=\frac{1}{2}AB=1$,
∴$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{3}$,
∴$EP=2\sqrt{3}$,
∴$EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$,
∴$GD=\sqrt{13}$.
解析
【分析】
(1)要证明$EB=GD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先利用相似菱形的对应角相等，结合角的和差关系得到一组对应角相等，再结合菱形四边相等的性质得到两组对应边相等，用SAS判定$△ AEB≌△ AGD$即可得结论。
(2)求$GD$的长可利用第一问的结论$GD=EB$，将问题转化为求$EB$的长。连接$BD$交$AC$于$P$，利用菱形对角线互相垂直的性质得到直角三角形，先根据含30°角的直角三角形性质和勾股定理算出$BP$、$AP$的长度，再根据相似比算出$AE$的长度，进而得到$EP$的长度，最后在$Rt△ EBP$中用勾股定理算出$EB$，即$GD$的长度。
【解析】
(1)证明：
∵菱形$AEFG∽$菱形$ABCD$，
∴$∠EAG=∠BAD$，
∴$∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB$，即$∠EAB=∠GAD$。
∵菱形的四条边相等，
∴$AE=AG$，$AB=AD$，
∴$△ AEB≌△ AGD$（SAS），
∴$EB=GD$。
(2)解：如图，连接$BD$交$AC$于点$P$，则$BP⊥AC$。
∵$∠DAB=60°$，菱形对角线平分内角，
∴$∠PAB=30°$。
∵菱形$AEFG∽$菱形$ABCD$，相似比是$\sqrt{3}:2$，$AB=2$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$AE=\sqrt{3}$，
在$Rt△ ABP$中，$BP=\frac{1}{2}AB=1$，
由勾股定理得$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$EP=EA+AP=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在$Rt△ EBP$中，$EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}$，
由(1)知$EB=GD$，
∴$GD=\sqrt{13}$。
【答案】
(1)已证$EB=GD$；
(2)$GD=\sqrt{13}$，辅助线如图：
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似多边形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了菱形、相似多边形、全等三角形、勾股定理等多个知识点，解题的核心是通过全等转化待求线段，再利用菱形对角线的性质构造直角三角形完成计算，能够很好地考查几何逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
(1)要证明$EB=GD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先利用相似菱形的对应角相等，结合角的和差关系得到一组对应角相等，再结合菱形四边相等的性质得到两组对应边相等，用SAS判定$△ AEB≌△ AGD$即可得结论。
(2)求$GD$的长可利用第一问的结论$GD=EB$，将问题转化为求$EB$的长。连接$BD$交$AC$于$P$，利用菱形对角线互相垂直的性质得到直角三角形，先根据含30°角的直角三角形性质和勾股定理算出$BP$、$AP$的长度，再根据相似比算出$AE$的长度，进而得到$EP$的长度，最后在$Rt△ EBP$中用勾股定理算出$EB$，即$GD$的长度。
【解析】
(1)证明：
∵菱形$AEFG∽$菱形$ABCD$，
∴$∠EAG=∠BAD$，
∴$∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB$，即$∠EAB=∠GAD$。
∵菱形的四条边相等，
∴$AE=AG$，$AB=AD$，
∴$△ AEB≌△ AGD$（SAS），
∴$EB=GD$。
(2)解：如图，连接$BD$交$AC$于点$P$，则$BP⊥AC$。
∵$∠DAB=60°$，菱形对角线平分内角，
∴$∠PAB=30°$。
∵菱形$AEFG∽$菱形$ABCD$，相似比是$\sqrt{3}:2$，$AB=2$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$AE=\sqrt{3}$，
在$Rt△ ABP$中，$BP=\frac{1}{2}AB=1$，
由勾股定理得$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$EP=EA+AP=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在$Rt△ EBP$中，$EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}$，
由(1)知$EB=GD$，
∴$GD=\sqrt{13}$。
【答案】
(1)已证$EB=GD$；
(2)$GD=\sqrt{13}$，辅助线如图：
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似多边形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了菱形、相似多边形、全等三角形、勾股定理等多个知识点，解题的核心是通过全等转化待求线段，再利用菱形对角线的性质构造直角三角形完成计算，能够很好地考查几何逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
14 如图，在AB=20 m、AD=30 m的矩形花坛四周修筑小路。
（1）如果四周的小路的宽均相等，都是x m，如图
，那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x m、y m，如图。试问小路的宽x m与y m的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'（A'D'为长）和矩形ABCD相似？请说明理由。
（1）如果四周的小路的宽均相等，都是x m，如图
，那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗？请说明理由；（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x m、y m，如图。试问小路的宽x m与y m的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'（A'D'为长）和矩形ABCD相似？请说明理由。
答案
14.解:(1)不相似.理由如下:
∵$\frac{A'D'}{AD}=\frac{30+2x}{30}=\frac{15+x}{15}$,$\frac{A'B'}{AB}=\frac{20+2x}{20}=\frac{10+x}{10}$,
∴$\frac{A'D'}{AD}≠\frac{A'B'}{AB}$,
∴小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形ABCD不相似.
(2)
∵当$\frac{30+2y}{30}=\frac{20+2x}{20}$时,小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形ABCD相似,解得$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$,
∴小路的宽x m与y m的比值为$\frac{2}{3}$时,小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形ABCD相似.
∵$\frac{A'D'}{AD}=\frac{30+2x}{30}=\frac{15+x}{15}$,$\frac{A'B'}{AB}=\frac{20+2x}{20}=\frac{10+x}{10}$,
∴$\frac{A'D'}{AD}≠\frac{A'B'}{AB}$,
∴小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形ABCD不相似.
(2)
∵当$\frac{30+2y}{30}=\frac{20+2x}{20}$时,小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形ABCD相似,解得$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$,
∴小路的宽x m与y m的比值为$\frac{2}{3}$时,小路四周所围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形ABCD相似.
解析
【分析】
判断两个矩形是否相似的前提是矩形对应角都为直角，已满足对应角相等，因此只需验证对应边是否成比例即可。
(1) 先表示出图1中大矩形的长和宽，分别计算长、宽的对应比值，判断比值是否相等即可得出是否相似；
(2) 先表示出图2中大矩形的长和宽，根据相似的性质列出对应边成比例的等式，求解等式即可得到x与y的比值。
【解析】
(1) 两个矩形不相似，理由如下：
矩形ABCD的长$AD=30\ \mathrm{m}$，宽$AB=20\ \mathrm{m}$，
矩形$A'B'C'D'$的长$A'D'=30+2x\ \mathrm{m}$，宽$A'B'=20+2x\ \mathrm{m}$，
计算对应边比值：
$\frac{A'D'}{AD}=\frac{30+2x}{30}=\frac{15+x}{15}$，
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{20+2x}{20}=\frac{10+x}{10}$，
可得$\frac{A'D'}{AD}≠\frac{A'B'}{AB}$，对应边不成比例，因此两个矩形不相似。
(2) 当x与y的比值为$\frac{2}{3}$时两个矩形相似，理由如下：
矩形$A'B'C'D'$的长$A'D'=30+2y\ \mathrm{m}$，宽$A'B'=20+2x\ \mathrm{m}$，
若两个矩形相似，则对应边成比例，即$\frac{A'D'}{AD}=\frac{A'B'}{AB}$，
代入得$\frac{30+2y}{30}=\frac{20+2x}{20}$，
化简：$2(30+2y)=3(20+2x)$，展开得$60+4y=60+6x$，
整理得$6x=4y$，即$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；
(2) 小路的宽x与y的比值为$\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$和矩形ABCD相似。
【知识点】
相似多边形的判定，比例的性质
【点评】
本题考查相似多边形的判定应用，解题核心是明确矩形相似只需满足对应边成比例，易错点是计算大矩形边长时容易漏乘2（小路在矩形两侧均有分布），能够帮助学生巩固相似判定条件，提升实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
判断两个矩形是否相似的前提是矩形对应角都为直角，已满足对应角相等，因此只需验证对应边是否成比例即可。
(1) 先表示出图1中大矩形的长和宽，分别计算长、宽的对应比值，判断比值是否相等即可得出是否相似；
(2) 先表示出图2中大矩形的长和宽，根据相似的性质列出对应边成比例的等式，求解等式即可得到x与y的比值。
【解析】
(1) 两个矩形不相似，理由如下：
矩形ABCD的长$AD=30\ \mathrm{m}$，宽$AB=20\ \mathrm{m}$，
矩形$A'B'C'D'$的长$A'D'=30+2x\ \mathrm{m}$，宽$A'B'=20+2x\ \mathrm{m}$，
计算对应边比值：
$\frac{A'D'}{AD}=\frac{30+2x}{30}=\frac{15+x}{15}$，
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{20+2x}{20}=\frac{10+x}{10}$，
可得$\frac{A'D'}{AD}≠\frac{A'B'}{AB}$，对应边不成比例，因此两个矩形不相似。
(2) 当x与y的比值为$\frac{2}{3}$时两个矩形相似，理由如下：
矩形$A'B'C'D'$的长$A'D'=30+2y\ \mathrm{m}$，宽$A'B'=20+2x\ \mathrm{m}$，
若两个矩形相似，则对应边成比例，即$\frac{A'D'}{AD}=\frac{A'B'}{AB}$，
代入得$\frac{30+2y}{30}=\frac{20+2x}{20}$，
化简：$2(30+2y)=3(20+2x)$，展开得$60+4y=60+6x$，
整理得$6x=4y$，即$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；
(2) 小路的宽x与y的比值为$\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$和矩形ABCD相似。
【知识点】
相似多边形的判定，比例的性质
【点评】
本题考查相似多边形的判定应用，解题核心是明确矩形相似只需满足对应边成比例，易错点是计算大矩形边长时容易漏乘2（小路在矩形两侧均有分布），能够帮助学生巩固相似判定条件，提升实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
