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10.(新定义)对任意四个有理数$a,b,c,d$定义新运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$。已知$\begin{vmatrix}2x&-4\\x&1\end{vmatrix}=18$，则$x=$（ ）
A.$-1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
A.$-1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的运算结果为左上角与右下角元素的乘积，减去右上角与左下角元素的乘积。我们先找到行列式中对应a、b、c、d的代数式，将新运算转化为常规的代数方程，再通过合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
根据新运算的定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，可得：
$\begin{vmatrix}2x&-4\\x&1\end{vmatrix}=2x×1 - (-4)× x=18$
计算等号左边的代数式：
$2x + 4x=18$
合并同类项得：
$6x=18$
系数化为1，两边同时除以6：
$x=3$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考察基础运算能力，解题的核心是正确理解新运算的转化规则，避免符号运算出错，只要能顺利将新运算转化为常规的一元一次方程，就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的运算结果为左上角与右下角元素的乘积，减去右上角与左下角元素的乘积。我们先找到行列式中对应a、b、c、d的代数式，将新运算转化为常规的代数方程，再通过合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
根据新运算的定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，可得：
$\begin{vmatrix}2x&-4\\x&1\end{vmatrix}=2x×1 - (-4)× x=18$
计算等号左边的代数式：
$2x + 4x=18$
合并同类项得：
$6x=18$
系数化为1，两边同时除以6：
$x=3$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考察基础运算能力，解题的核心是正确理解新运算的转化规则，避免符号运算出错，只要能顺利将新运算转化为常规的一元一次方程，就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
11.(几何直观)如图
，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案，求每块地砖的宽.设每块地砖的宽为$x$cm，则$x$的值为 (
A.30
B.20
C.15
D.40
，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案，求每块地砖的宽.设每块地砖的宽为$x$cm，则$x$的值为 (C
)A.30
B.20
C.15
D.40
答案
11.C
解析
【分析】
解题时首先从图形中挖掘等量关系：①观察中间3块横放的小长方形，可得小长方形的长等于3倍的小长方形的宽；②大长方形的总高度为60cm，刚好等于1个小长方形的长加1个小长方形的宽。设小长方形的宽为x cm，即可用含x的式子表示长，再结合第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设每块地砖的宽为$x$ cm，由图形可知小长方形的长为$3x$ cm。
根据大长方形的高度为60 cm，可列方程：
$3x + x = 60$
合并同类项，得：
$4x = 60$
系数化为1，得：
$x = 15$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用、合并同类项解方程、图形等量关系
【点评】
本题是方程与几何图形结合的基础题型，解题核心是通过观察图形找到隐藏的长、宽数量关系，再列方程求解，能有效锻炼几何直观和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从图形中挖掘等量关系：①观察中间3块横放的小长方形，可得小长方形的长等于3倍的小长方形的宽；②大长方形的总高度为60cm，刚好等于1个小长方形的长加1个小长方形的宽。设小长方形的宽为x cm，即可用含x的式子表示长，再结合第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设每块地砖的宽为$x$ cm，由图形可知小长方形的长为$3x$ cm。
根据大长方形的高度为60 cm，可列方程：
$3x + x = 60$
合并同类项，得：
$4x = 60$
系数化为1，得：
$x = 15$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用、合并同类项解方程、图形等量关系
【点评】
本题是方程与几何图形结合的基础题型，解题核心是通过观察图形找到隐藏的长、宽数量关系，再列方程求解，能有效锻炼几何直观和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
12.小明不小心把方程中的一个数污染了，被污染的方程为$2y - \frac{1}{2}y = -\frac{1}{2} - ■$，他看了书后的答案，发现该方程的解为$y = -\frac{5}{3}$，于是很快算出被污染的数为
2
。答案
12.2
解析
【分析】
我们知道方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，所以可以先把被污染的数设为未知数$a$，再将已知的解$y=-\frac{5}{3}$代入原方程，就能得到一个只含有$a$的一元一次方程，解这个方程就能求出被污染的数。
【解析】
设被污染的数为$a$，将$y=-\frac{5}{3}$代入方程$2y - \frac{1}{2}y = -\frac{1}{2} - a$，得：
左边：$2×(-\frac{5}{3}) - \frac{1}{2}×(-\frac{5}{3}) = -\frac{10}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{20}{6} + \frac{5}{6} = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2}$
右边：$-\frac{1}{2} - a$
根据方程左右两边相等，可得：
$-\frac{5}{2} = -\frac{1}{2} - a$
移项得：$a = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}$
合并同类项得：$a = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解一元一次方程的解的含义，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可，解题过程中注意计算时符号不要出错。
【难度系数】
0.8
我们知道方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，所以可以先把被污染的数设为未知数$a$，再将已知的解$y=-\frac{5}{3}$代入原方程，就能得到一个只含有$a$的一元一次方程，解这个方程就能求出被污染的数。
【解析】
设被污染的数为$a$，将$y=-\frac{5}{3}$代入方程$2y - \frac{1}{2}y = -\frac{1}{2} - a$，得：
左边：$2×(-\frac{5}{3}) - \frac{1}{2}×(-\frac{5}{3}) = -\frac{10}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{20}{6} + \frac{5}{6} = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2}$
右边：$-\frac{1}{2} - a$
根据方程左右两边相等，可得：
$-\frac{5}{2} = -\frac{1}{2} - a$
移项得：$a = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}$
合并同类项得：$a = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解一元一次方程的解的含义，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可，解题过程中注意计算时符号不要出错。
【难度系数】
0.8
13.解下列方程：
(1)$16x - 3.5x - 6.5x = 7 - (-5)$；
(2)$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x = 5$；
(3)$-3x + \frac{x}{2} = 1.5 × 5 - 6$。
(1)$16x - 3.5x - 6.5x = 7 - (-5)$；
(2)$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x = 5$；
(3)$-3x + \frac{x}{2} = 1.5 × 5 - 6$。
答案
13.(1)解:合并同类项,得$6x=12$.系数化为1,得$x=2$. (2)解:合并同类项,得$\frac{5}{12}x=5$.系数化为1,得$x=12$. (3)解:合并同类项,得$-2.5x=1.5$.系数化为1,得$x=-0.6$.
解析
【分析】
这三道题均为利用合并同类项求解一元一次方程的基础题型，解题思路分为两步：第一步，分别合并方程左右两边的同类项，左边将所有含x的项合并为一项，右边计算所有常数项的结果，将原方程化简为$ax=b(a≠0)$的形式；第二步，将x的系数化为1，即可求出x的值。计算时注意符号运算、分数通分的正确性，避免计算失误。
【解析】
(1) 解：合并同类项，左边$16x - 3.5x - 6.5x=(16-3.5-6.5)x=6x$，右边$7 - (-5)=7+5=12$，可得方程$6x=12$。
系数化为1，两边同时除以6，得$x=2$。
(2) 解：合并同类项，对左边含x的项通分（分母最小公倍数为12），可得$\frac{6}{12}x - \frac{4}{12}x + \frac{3}{12}x=\frac{6-4+3}{12}x=\frac{5}{12}x$，原方程化简为$\frac{5}{12}x=5$。
系数化为1，两边同时乘$\frac{12}{5}$，得$x=12$。
(3) 解：合并同类项，左边$-3x + \frac{x}{2}=-3x+0.5x=-2.5x$，右边$1.5×5 - 6=7.5-6=1.5$，原方程化简为$-2.5x=1.5$。
系数化为1，两边同时除以$-2.5$，得$x=-0.6$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=12$；(3)$x=-0.6$
【知识点】
合并同类项，解一元一次方程，系数化为1
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心考查“合并同类项+系数化为1”的基础解题步骤，计算过程中需注意有理数的符号运算、分数通分的准确性，仔细计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这三道题均为利用合并同类项求解一元一次方程的基础题型，解题思路分为两步：第一步，分别合并方程左右两边的同类项，左边将所有含x的项合并为一项，右边计算所有常数项的结果，将原方程化简为$ax=b(a≠0)$的形式；第二步，将x的系数化为1，即可求出x的值。计算时注意符号运算、分数通分的正确性，避免计算失误。
【解析】
(1) 解：合并同类项，左边$16x - 3.5x - 6.5x=(16-3.5-6.5)x=6x$，右边$7 - (-5)=7+5=12$，可得方程$6x=12$。
系数化为1，两边同时除以6，得$x=2$。
(2) 解：合并同类项，对左边含x的项通分（分母最小公倍数为12），可得$\frac{6}{12}x - \frac{4}{12}x + \frac{3}{12}x=\frac{6-4+3}{12}x=\frac{5}{12}x$，原方程化简为$\frac{5}{12}x=5$。
系数化为1，两边同时乘$\frac{12}{5}$，得$x=12$。
(3) 解：合并同类项，左边$-3x + \frac{x}{2}=-3x+0.5x=-2.5x$，右边$1.5×5 - 6=7.5-6=1.5$，原方程化简为$-2.5x=1.5$。
系数化为1，两边同时除以$-2.5$，得$x=-0.6$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=12$；(3)$x=-0.6$
【知识点】
合并同类项，解一元一次方程，系数化为1
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心考查“合并同类项+系数化为1”的基础解题步骤，计算过程中需注意有理数的符号运算、分数通分的准确性，仔细计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
14.已知方程$7x - 12x = -15$的解比关于$x$的方程$2ax - 3x = 1$的解大1，求$a$的值.
答案
14. 解:解方程$7x-12x=-15$,得$x=3$,故关于$x$的方程$2ax-3x=1$的解为$x=2$.将$x=2$代入$2ax-3x=1$,得$4a-6=1$,解得$a=\frac{7}{4}$.
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$7x - 12x = -15$，直接算出它的解；第二步根据“第一个方程的解比第二个方程的解大1”的数量关系，计算出方程$2ax - 3x = 1$的解；第三步把第二个方程的解代入该方程，得到只含未知数$a$的一元一次方程，求解就能得到$a$的值。
【解析】
1. 解方程$7x - 12x = -15$：
合并同类项，得$-5x = -15$
系数化为1，得$x = 3$
2. 求方程$2ax - 3x = 1$的解：
由题意，第一个方程的解比第二个方程的解大1，因此第二个方程的解为$3 - 1 = 2$
3. 求$a$的值：
把$x=2$代入$2ax - 3x = 1$，得$2a×2 - 3×2 = 1$
化简得$4a - 6 = 1$
移项、合并同类项得$4a = 7$
系数化为1，得$a = \frac{7}{4}$
【答案】
$a=\frac{7}{4}$
【知识点】
合并同类项解一元一次方程；一元一次方程的解；代入法求参数
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，解题核心是先求出无参数方程的解，再利用两个解的数量关系得到含参方程的解，代入后转化为普通一元一次方程求解即可，考察对一元一次方程解的概念的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$7x - 12x = -15$，直接算出它的解；第二步根据“第一个方程的解比第二个方程的解大1”的数量关系，计算出方程$2ax - 3x = 1$的解；第三步把第二个方程的解代入该方程，得到只含未知数$a$的一元一次方程，求解就能得到$a$的值。
【解析】
1. 解方程$7x - 12x = -15$：
合并同类项，得$-5x = -15$
系数化为1，得$x = 3$
2. 求方程$2ax - 3x = 1$的解：
由题意，第一个方程的解比第二个方程的解大1，因此第二个方程的解为$3 - 1 = 2$
3. 求$a$的值：
把$x=2$代入$2ax - 3x = 1$，得$2a×2 - 3×2 = 1$
化简得$4a - 6 = 1$
移项、合并同类项得$4a = 7$
系数化为1，得$a = \frac{7}{4}$
【答案】
$a=\frac{7}{4}$
【知识点】
合并同类项解一元一次方程；一元一次方程的解；代入法求参数
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，解题核心是先求出无参数方程的解，再利用两个解的数量关系得到含参方程的解，代入后转化为普通一元一次方程求解即可，考察对一元一次方程解的概念的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
15.甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙这三位爱心人士捐赠图书的册数之比是$5:8:9$.如果他们共捐了748册图书，那么这三位爱心人士各捐了多少册图书？
答案
15. 解:设甲捐书$5x$本,则乙捐书$8x$本,丙捐书$9x$本.根据题意,得$5x+8x+9x=748$.合并同类项,得$22x=748$.系数化为1,得$x=34$.甲捐书$5x=5×34=170$(册),乙捐书$8x=8×34=272$(册),丙捐书$9x=9×34=306$(册).答:这三位爱心人士各捐了170册、272册和306册图书.
解析
【分析】
本题属于比例分配类应用题，解题思路清晰可遵循以下步骤：首先，题目给出甲、乙、丙三人捐书册数的比为5:8:9，我们可以设每一份的册数为x，这样三人的捐书数量就能分别用5x、8x、9x表示，避免出现分数，简化计算；其次，根据“三人共捐748册图书”的等量关系，将三人的捐书数量相加等于总册数，列出一元一次方程；接着用合并同类项、系数化为1的方法解出x的值；最后将x代入三人对应捐书数量的式子，计算出最终结果即可。
【解析】
解：设甲捐书$5x$册，则乙捐书$8x$册，丙捐书$9x$册。
根据题意，得：
$5x+8x+9x=748$
合并同类项，得：$22x=748$
系数化为1，得：$x=34$
则甲捐书：$5x=5×34=170$（册）
乙捐书：$8x=8×34=272$（册）
丙捐书：$9x=9×34=306$（册）
答：这三位爱心人士各捐了170册、272册和306册图书。
【答案】
甲捐了170册，乙捐了272册，丙捐了306册
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 合并同类项解方程
3. 比例分配问题
【点评】
本题是基础的方程应用题，解题关键是掌握按比例设未知数的技巧，结合总量与分量的关系列方程求解，方法通用性强，可推广到所有多量比例分配类问题。
【难度系数】
0.8
本题属于比例分配类应用题，解题思路清晰可遵循以下步骤：首先，题目给出甲、乙、丙三人捐书册数的比为5:8:9，我们可以设每一份的册数为x，这样三人的捐书数量就能分别用5x、8x、9x表示，避免出现分数，简化计算；其次，根据“三人共捐748册图书”的等量关系，将三人的捐书数量相加等于总册数，列出一元一次方程；接着用合并同类项、系数化为1的方法解出x的值；最后将x代入三人对应捐书数量的式子，计算出最终结果即可。
【解析】
解：设甲捐书$5x$册，则乙捐书$8x$册，丙捐书$9x$册。
根据题意，得：
$5x+8x+9x=748$
合并同类项，得：$22x=748$
系数化为1，得：$x=34$
则甲捐书：$5x=5×34=170$（册）
乙捐书：$8x=8×34=272$（册）
丙捐书：$9x=9×34=306$（册）
答：这三位爱心人士各捐了170册、272册和306册图书。
【答案】
甲捐了170册，乙捐了272册，丙捐了306册
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 合并同类项解方程
3. 比例分配问题
【点评】
本题是基础的方程应用题，解题关键是掌握按比例设未知数的技巧，结合总量与分量的关系列方程求解，方法通用性强，可推广到所有多量比例分配类问题。
【难度系数】
0.8
16.(核心素养·数据观念)有一列数，按一定规律排成1，-4，16，-64，256，-1024，…，设其中某三个相邻的数的和是－13312，求这三个数分别是多少？
答案
16. 解:设第1个数为$x$,则$x+(-4x)+16x=-13312$,$\therefore x=-1024$,故这三个数分别为$-1024,4096,-16384$.
解析
【分析】
首先观察这列数的规律，可发现后一个数是前一个数的-4倍。要求三个相邻数的和，我们可以设三个相邻数中的第一个数为x，那么另外两个相邻数就可以用含x的式子表示，再根据三个数的和为-13312列出一元一次方程，最后解方程求出各数即可。
【解析】
先观察数列规律：$1×(-4)=-4$，$-4×(-4)=16$，$16×(-4)=-64$，…，可得后一个数是前一个数的-4倍。
设相邻三个数中的第一个数为$x$，则第二个数为$-4x$，第三个数为$(-4)×(-4x)=16x$。
根据题意列方程：
$x + (-4x) + 16x = -13312$
合并同类项，得：
$13x = -13312$
系数化为1，得：
$x = -1024$
则第二个数：$-4x = -4×(-1024) = 4096$
第三个数：$16x = 16×(-1024) = -16384$
【答案】
这三个数分别是$-1024$，$4096$，$-16384$
【知识点】
数字规律探究，列一元一次方程解应用题，合并同类项解方程
【点评】
本题将数列规律与一元一次方程的应用相结合，解题核心是准确找到数列中相邻数的倍数关系，合理设元后根据等量关系列方程求解，有助于提升数据观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察这列数的规律，可发现后一个数是前一个数的-4倍。要求三个相邻数的和，我们可以设三个相邻数中的第一个数为x，那么另外两个相邻数就可以用含x的式子表示，再根据三个数的和为-13312列出一元一次方程，最后解方程求出各数即可。
【解析】
先观察数列规律：$1×(-4)=-4$，$-4×(-4)=16$，$16×(-4)=-64$，…，可得后一个数是前一个数的-4倍。
设相邻三个数中的第一个数为$x$，则第二个数为$-4x$，第三个数为$(-4)×(-4x)=16x$。
根据题意列方程：
$x + (-4x) + 16x = -13312$
合并同类项，得：
$13x = -13312$
系数化为1，得：
$x = -1024$
则第二个数：$-4x = -4×(-1024) = 4096$
第三个数：$16x = 16×(-1024) = -16384$
【答案】
这三个数分别是$-1024$，$4096$，$-16384$
【知识点】
数字规律探究，列一元一次方程解应用题，合并同类项解方程
【点评】
本题将数列规律与一元一次方程的应用相结合，解题核心是准确找到数列中相邻数的倍数关系，合理设元后根据等量关系列方程求解，有助于提升数据观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
