1.把多项式$2(a-2)+6x(2-a)$分解因式，结果是（）

A.$(a-2)(2+6x)$
B.$(a-2)(2-6x)$
C.$2(a-2)(1+3x)$
D.$2(a-2)(1-3x)$

1.D

【分析】
本题是用提公因式法分解因式的题目，解题思路如下：第一步先观察多项式的两项，发现存在$(a-2)$和$(2-a)$两个互为相反数的因式，先统一因式形式，将$(2-a)$转化为$-(a-2)$，让两项都含有相同的因式$(a-2)$；第二步确定公因式，系数部分2和6的最大公约数是2，因式部分的公因式是$(a-2)$，因此整体公因式为$2(a-2)$；第三步提取公因式，化简剩余的部分，最后检查分解是否彻底即可得到结果。
【解析】
解：对多项式$2(a-2)+6x(2-a)$变形，由$2-a=-(a-2)$可得：
$\begin{aligned}原式&=2(a-2)-6x(a-2)\\&=2(a-2)(1-3x)\end{aligned}$
因此分解因式的结果为$2(a-2)(1-3x)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；互为相反数的整式变形；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规题型，易错点为处理互为相反数的因式时符号出错，或提取公因式时没有提取系数的最大公约数，导致分解不彻底。
【难度系数】
0.7

2. 把$5(a-b)+m(b-a)$提公因式后一个因式是$(a-b)$，则另一个因式是（）

A.$5-m$
B.$5+m$
C.$m-5$
D.$-m-5$

2.A

【分析】
要解这道题，首先明确提公因式法的核心是提取各项相同的公因式。观察原式两项，第一项含因式$(a-b)$，第二项含因式$(b-a)$，二者互为相反数，可将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，让两项都含有公因式$(a-b)$，提取公因式后合并剩余部分，即可得到另一个因式。
【解析】
首先对$(b-a)$进行符号变形：$\because b-a=-(a-b)$，
代入原式可得：
$5(a-b)+m(b-a)=5(a-b)-m(a-b)$
提取公因式$(a-b)$，得：
$5(a-b)-m(a-b)=(a-b)(5-m)$
已知一个因式是$(a-b)$，因此另一个因式为$5-m$。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用，解题易错点是对互为相反数的代数式变形时符号出错，掌握“互为相反数的代数式可通过添加负号转化为相同形式”是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 分解因式：
(1)$4x^2y - 2xy=$；
(2)$5a(m - n) + 2b(m - n)=$。

3.(1)$2xy(2x-1)$ (2)$(m-n)(5a+2b)$

【分析】
这两道题都适用提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定公因式，第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式乘积的形式。
(1)题公因式是单项式：先找系数的最大公因数，4和2的最大公因数是2；再找相同字母的最低次幂，x的最低次是$x^1$，y的最低次是$y^1$，因此公因式为$2xy$，提取后合并剩余项即可。
(2)题公因式是多项式：观察到两项都含有相同的多项式因式$(m-n)$，直接将$(m-n)$作为公因式提取，合并剩余的系数和字母得到新的因式即可。
【解析】
(1) 确定公因式为$2xy$，对原式提取公因式：
$4x^2y - 2xy = 2xy · 2x - 2xy · 1 = 2xy(2x - 1)$
(2) 确定公因式为$(m-n)$，对原式提取公因式：
$5a(m - n) + 2b(m - n) = (m - n) · 5a + (m - n) · 2b = (m - n)(5a + 2b)$
【答案】
(1)$2xy(2x-1)$ (2)$(m-n)(5a+2b)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，分别考查了公因式为单项式、多项式两种情况，解题时要准确识别公因式，提取公因式后注意检查是否漏项。
【难度系数】
0.9

4. 用提公因式法分解因式：
(1) $-3ma^3 + 6ma^2 - 12ma$；
(2) $4(x-y)^3 - 6(y-x)^2$。

4. 解:(1)原式$=-3ma(a^2-2a+4)$.
(2)原式$=(x-y)^2(4x-4y-6)$
$=2(x-y)^2(2x-2y-3).$

【分析】
用提公因式法分解因式的核心是先准确找到公因式，步骤如下：
1. 找公因式：先看系数，取各项系数的最大公约数；再看字母（或多项式因式），取各项都含有的相同因式的最低次幂；若首项系数为负，通常先提取负号。
2. 提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式，将所得的商相加作为括号内的因式，最后检查括号内是否还有可提取的公因式，保证分解彻底。
针对第(1)题：首项系数为负，各项都含公因式-3ma，提取后化简即可；
针对第(2)题：先利用“互为相反数的两个数的偶次幂相等”，将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，再找公因式$2(x-y)^2$，提取后化简括号内的式子即可。
【解析】
(1) 观察多项式各项，公因式为$-3ma$，提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=-3ma· a^2 + (-3ma)· (-2a) + (-3ma)·4\\&=-3ma(a^2 -2a +4)\end{aligned}$
(2) 先利用$(y-x)^2=(x-y)^2$变形，再找公因式$2(x-y)^2$，提取公因式并化简：
$\begin{aligned}原式&=4(x-y)^3 -6(x-y)^2\\&=2(x-y)^2·2(x-y) - 2(x-y)^2·3\\&=2(x-y)^2[2(x-y)-3]\\&=2(x-y)^2(2x-2y-3)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-3ma(a^2-2a+4)$；
(2) $2(x-y)^2(2x-2y-3)$
【知识点】
提公因式法分解因式；偶次幂的符号性质
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用，解题的关键是正确确定公因式，注意首项为负时优先提取负号，遇到含互为相反数的多项式因式时，可利用偶次幂的性质统一因式形式，最后要检查分解是否彻底，保证括号内没有可再提取的公因式。
【难度系数】
0.8

5.如图，长、宽分别为$a,b$的长方形周长为16，面积为12，则$a^2b+ab^2$的值为（）


A.80
B.96
C.192
D.240

5.B

【分析】
要计算$a^2b+ab^2$的值，首先观察式子结构，可通过提公因式法先对式子因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式；再结合长方形的周长、面积公式，分别求出$a+b$与$ab$的数值，最后整体代入分解后的式子即可得到结果，无需单独计算$a$、$b$的具体值，能简化运算。
【解析】
1. 对所求代数式因式分解：
提取公因式$ab$可得：$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
2. 根据长方形周长公式求$a+b$：
已知长方形周长为16，即$2(a+b)=16$，解得$a + b = 16÷2 = 8$
3. 根据长方形面积公式得$ab$：
已知长方形面积为12，即$ab=12$
4. 整体代入计算：
将$a+b=8$、$ab=12$代入$ab(a + b)$，得$12×8=96$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，解题核心是先对所求代数式变形，再结合已知条件获取对应整体值代入计算，用整体代入的思路可避开求解单个未知数的复杂运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

6. 先分解因式，再求值：$2(x-5)^2 -6(5-x)$，其中$x=7.$

6. 解:原式$=2(x-5)^2+6(x-5)$
$=2(x-5)(x-5+3)=2(x-5)(x-2).$
当$x=7$时,原式$=2×(7-5)×(7-2)=20.$

【分析】
本题要求先分解因式再求值，解题思路如下：第一步先观察式子结构，发现两项中分别含有因式$(x-5)$和$(5-x)$，二者互为相反数，可先将$(5-x)$变形为$-(x-5)$，统一两项的公因式；第二步提取公因式$2(x-5)$完成因式分解；第三步将$x=7$代入分解后的式子计算，相比直接代入原式计算更简便，能减少计算错误。
【解析】
解：先对原式做符号变形，将$(5-x)$转化为$-(x-5)$：
原式$=2(x-5)^2 + 6(x-5)$
提取公因式$2(x-5)$：
$=2(x-5)[(x-5)+3]$
合并括号内的同类项：
$=2(x-5)(x-2)$
将$x=7$代入分解后的式子计算：
原式$=2×(7-5)×(7-2)$
$=2×2×5$
$=20$
【答案】
$20$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式求值
【点评】
本题重点考查提公因式法分解因式的应用，解题的易错点是处理互为相反数的因式时符号转换错误，先分解因式再代入求值能有效简化运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8

7.已知$a-b=5,b-c=-6$,则代数式$a^2-ac-b(a-c)$的值为 （）

A.$-30$
B.$30$
C.$-5$
D.$-6$

7.C

【分析】本题可先利用提公因式法对所求代数式进行因式分解，将其转化为含已知等式的形式，再结合已知条件求出所需整体的值，最后代入计算即可。解题时无需单独求解a、b、c的具体数值，采用整体代入的思路可简化计算。
【解析】
1. 化简代数式：
对$a^2-ac-b(a-c)$分解因式，先将前两项提公因式$a$，可得：
$a^2-ac-b(a-c)=a(a-c)-b(a-c)$
再提取公因式$(a-c)$，可得：
$a(a-c)-b(a-c)=(a-c)(a-b)$
2. 求$a-c$的值：
已知$a-b=5$，$b-c=-6$，将两个等式左右两边分别相加：
$(a-b)+(b-c)=5+(-6)$
化简得$a-c=-1$
3. 代入计算：
将$a-c=-1$，$a-b=5$代入$(a-c)(a-b)$，得：
$(-1)×5=-5$
【答案】C
【知识点】提公因式法分解因式，代数式求值
【点评】本题的核心是利用提公因式法分解因式，将待求代数式转化为可整体代入的形式，避免了单独求解未知数的繁琐，体现了整体思想在代数运算中的优势。
【难度系数】0.7

8.已知$(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)$可分解因式为$(3x+a)(x+b)$，其中$a,b$均为整数，则$a+3b$的值为。

8.$-31$

【分析】
观察多项式的结构，可发现两个乘积项中都含有公因式$(3x-7)$，首先用提公因式法提取公因式，再对剩余部分化简整理，将得到的因式分解结果与$(3x+a)(x+b)$对应，即可确定$a$、$b$的取值，最后代入$a+3b$计算就能得到最终结果。
【解析】
1. 提取公因式$(3x-7)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3x-7)[(2x-21)-(x-13)]\\\end{aligned}$
2. 化简中括号内的代数式：
去括号得$2x-21 -x +13$，合并同类项后结果为$x-8$，因此原式可写为：
$\mathrm{原式}=(3x-7)(x-8)$
3. 对比因式分解结果$(3x+a)(x+b)$，可得$a=-7$，$b=-8$。
4. 计算$a+3b$：
$a+3b=-7+3×(-8)=-7-24=-31$
【答案】
$-31$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式求值
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，解题关键是准确识别公因式，提取公因式化简时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7

9. 已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且满足$ac + bc = b^2 + ab$，则$△ ABC$的形状是。

9. 等腰三角形

【分析】
要判断三角形的形状，需先明确三边的数量关系。题目给出了关于三边长a、b、c的等式，我们可以先通过移项将等式整理为一边为0的形式，再用提公因式法对等式左边分解因式，结合三角形边长均为正数的隐含条件，推导得到两边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
对已知等式逐步变形推导：
1. 移项，将所有项移到等号左侧：
$ac + bc - b^2 - ab = 0$
2. 分组提取公因式：
将前两项、后两项分别分组，前两项提取公因式$c$，后两项提取公因式$-b$，可得：
$c(a + b) - b(a + b) = 0$
3. 再次提取公因式$(a + b)$，得：
$(a + b)(c - b) = 0$
4. 结合三角形边长性质分析：
因为a、b是△ABC的边长，所以$a＞0$，$b＞0$，即$a + b ＞ 0$，因此仅当$c - b = 0$时乘积为0，即$b = c$。
有两边相等的三角形为等腰三角形，因此△ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
提公因式法分解因式，三角形三边性质，等腰三角形判定
【点评】
本题将因式分解与三角形形状判定结合，解题核心是通过提公因式法对等式变形，挖掘边长为正的隐含条件得到边的等量关系，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8

10. 已知$x+y=5,xy=6$,求$x(x+y)(x-y)-x(x+y)^2$.

10. 解:$\because x+y=5,xy=6,$
$\therefore$原式$=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]$
$=-2xy(x+y)=-60.$

【分析】
观察所求代数式的结构，可发现两项中都含有公因式$x(x+y)$，因此优先考虑用提公因式法对代数式化简，避免直接展开计算的繁琐；化简后代数式会转化为仅含$x+y$和$xy$的形式，再将已知的$x+y=5$、$xy=6$整体代入计算即可，无需单独求解$x$、$y$的值。
【解析】
解：对原式提取公因式$x(x+y)$：
$\begin{aligned}原式&=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]\\&=x(x+y)(x-y-x-y)\\&=x(x+y)·(-2y)\\&=-2xy(x+y)\end{aligned}$
将$x+y=5$，$xy=6$代入化简后的式子：
原式$=-2×6×5=-60$
【答案】
$-60$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过提公因式化简代数式，再结合已知条件整体代入，可有效降低计算量，避免求解未知数的复杂过程，重点考查对因式分解的灵活运用能力和整体思想的应用意识。
【难度系数】
0.8

11.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)^2(1+x)=(1+x)^3.$
(1)上述因式分解的方法是________，共应用了________次；
(2)若因式分解$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots +x(x+1)^{2025}$，则需要应用上述方法________次，结果是________；
(3)因式分解：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots +x(x+1)^n$.(n为正整数)

11. 解:(1)提公因式法 2
(2)2 025 $(1+x)^{2\ 026}$
(3)原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots +x(x$
$+1)^{n-1}]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots +x(x$
$+1)^{n-2}]$
$\dots$
$=(1+x)^n(x+1)=(1+x)^{n+1}.$

【分析】
解题思路：先观察给出的因式分解样例过程，每一步的核心是提取公因式$(1+x)$，据此判断使用的因式分解方法和提取次数；再从特殊样例归纳通用规律：式子中最后一项的$(x+1)$的次数为$m$时，需要提取公因式$m$次，最终分解结果为$(1+x)^{m+1}$，最后将规律应用到第二、第三问的一般情形即可求解。
【解析】
(1) 观察分解过程：第一步提取公因式$(1+x)$得$(1+x)[1+x+x(x+1)]$，第二步对中括号内的式子再次提取公因式$(1+x)$得$(1+x)^2(1+x)$，最后化简为$(1+x)^3$，因此所用方法为提公因式法，共应用了2次。
(2) 从样例归纳规律：样例中最高次项为$x(x+1)^2$，提取2次得到$(1+x)^3$，可知若式子最高次项为$x(x+1)^k$，需提取公因式$k$次，结果为$(1+x)^{k+1}$。当最高次项为$x(x+1)^{2025}$时，需要应用该方法2025次，结果为$(1+x)^{2026}$。
(3) 对一般式反复提取公因式：
原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots +x(x+1)^{n-1}]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots +x(x+1)^{n-2}]$
$\dots$
每提取1次，公因式的次数加1，剩余式子的最高次项次数减1，提取$n$次后剩余式子为$(1+x)$，因此最终化简为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
(1)提公因式法；2
(2)2025；$(1+x)^{2026}$
(3)$(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法分解因式，规律探究
【点评】
本题通过给出的因式分解示例，引导学生总结多次提取公因式的运算规律，再将规律推广到一般情形，侧重考查对提公因式法的熟练掌握程度，以及从特殊到一般的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7