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1. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是 （
A.$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$
B.$a(a + 1)(a - 1) = a^3 - a$
C.$6x^2y^3 = 2x^2 · 3y^3$
D.$x^2 + 1 = x(x + \frac{1}{x})$
A
）A.$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$
B.$a(a + 1)(a - 1) = a^3 - a$
C.$6x^2y^3 = 2x^2 · 3y^3$
D.$x^2 + 1 = x(x + \frac{1}{x})$
答案
A
解析
【分析】
要判断等式变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。解题时我们只需要逐个核对每个选项是否满足三个判定条件：①变形前的式子是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积；③变形前后等式左右两边相等，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的变形，叫做因式分解。我们逐一分析选项：
选项A：左边$a^2 - 2a + 1$是多项式，右边$(a-1)^2$是两个整式$(a-1)$的乘积，符合因式分解的定义，该选项正确。
选项B：左边是几个整式的乘积，右边是多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，该选项错误。
选项C：左边$6x^2y^3$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，该选项错误。
选项D：右边的$\frac{1}{x}$属于分式，不是整式，不符合因式分解结果为整式乘积的要求，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解的定义 2. 整式的识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对因式分解定义的理解，解题时只要紧扣“对象是多项式、结果是整式乘积、等式恒成立”三个判定要点，就能快速排除错误选项，正确率较高。
【难度系数】
0.8
要判断等式变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。解题时我们只需要逐个核对每个选项是否满足三个判定条件：①变形前的式子是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积；③变形前后等式左右两边相等，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的变形，叫做因式分解。我们逐一分析选项：
选项A：左边$a^2 - 2a + 1$是多项式，右边$(a-1)^2$是两个整式$(a-1)$的乘积，符合因式分解的定义，该选项正确。
选项B：左边是几个整式的乘积，右边是多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，该选项错误。
选项C：左边$6x^2y^3$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，该选项错误。
选项D：右边的$\frac{1}{x}$属于分式，不是整式，不符合因式分解结果为整式乘积的要求，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解的定义 2. 整式的识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对因式分解定义的理解，解题时只要紧扣“对象是多项式、结果是整式乘积、等式恒成立”三个判定要点，就能快速排除错误选项，正确率较高。
【难度系数】
0.8
2.若多项式$x^2 + ax + b$分解因式的结果为$(x - 2)(x + 3)$，则$a,b$的值分别是（
A.$a=1,b=-6$
B.$a=5,b=6$
C.$a=1,b=6$
D.$a=5,b=-6$
A
）A.$a=1,b=-6$
B.$a=5,b=6$
C.$a=1,b=6$
D.$a=5,b=-6$
答案
A
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆的运算关系，多项式分解因式的结果展开后和原多项式完全相等。因此我们可以先将因式分解的结果$(x-2)(x+3)$利用多项式乘多项式的法则展开，再将展开后的式子和原多项式$x^2+ax+b$对比，对应同类项的系数相等，即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
首先展开因式分解的结果：
根据多项式乘多项式的运算法则：$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$
可得$(x-2)(x+3)=x· x + x·3 + (-2)· x + (-2)×3 = x^2 + 3x - 2x - 6$
合并同类项后得：$x^2 + x - 6$
由题意可知$x^2 + ax + b = x^2 + x - 6$
两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，因此一次项系数$a=1$，常数项$b=-6$。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解的逆运算
2. 多项式乘多项式
3. 对应系数相等
【点评】
本题是基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的互逆变形关系，解题的关键是熟练掌握多项式乘法的运算规则，通过展开因式结果与原式对比系数即可快速得出答案，是对基础运算能力和概念理解的常规考察。
【难度系数】
0.85
因式分解与整式乘法是互逆的运算关系，多项式分解因式的结果展开后和原多项式完全相等。因此我们可以先将因式分解的结果$(x-2)(x+3)$利用多项式乘多项式的法则展开，再将展开后的式子和原多项式$x^2+ax+b$对比，对应同类项的系数相等，即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
首先展开因式分解的结果：
根据多项式乘多项式的运算法则：$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$
可得$(x-2)(x+3)=x· x + x·3 + (-2)· x + (-2)×3 = x^2 + 3x - 2x - 6$
合并同类项后得：$x^2 + x - 6$
由题意可知$x^2 + ax + b = x^2 + x - 6$
两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，因此一次项系数$a=1$，常数项$b=-6$。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解的逆运算
2. 多项式乘多项式
3. 对应系数相等
【点评】
本题是基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的互逆变形关系，解题的关键是熟练掌握多项式乘法的运算规则，通过展开因式结果与原式对比系数即可快速得出答案，是对基础运算能力和概念理解的常规考察。
【难度系数】
0.85
3. 下列各组代数式中，没有公因式的是（
A.$ax+y$和$x+y$
B.$2x$和$4y$
C.$a-b$和$b-a$
D.$-x^2+xy$和$y-x$
A
）A.$ax+y$和$x+y$
B.$2x$和$4y$
C.$a-b$和$b-a$
D.$-x^2+xy$和$y-x$
答案
A
解析
【分析】
本题考查公因式的判断，解题核心是掌握公因式的定义：多项式中各项都含有的相同因式叫做公因式。解题时逐个分析每个选项的两个代数式即可：先看系数是否有公共的最大公约数，再看是否有相同的字母因式或多项式因式，注意互为相反数的多项式可以提取负号转化为相同因式，最终选出没有公因式的选项。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 代数式$ax+y$和$x+y$，$ax+y$无法分解出$x+y$这一因式，二者除$\pm1$外无公共因式，因此没有公因式；
B. $2x=2· x$，$4y=2· 2y$，二者有公因式$2$，不符合要求；
C. $b-a=-(a-b)$，因此$a-b$和$b-a$有公因式$a-b$（或$b-a$），不符合要求；
D. 对$-x^2+xy$提公因式可得：$-x^2+xy=x(y-x)$，和$y-x$有公因式$y-x$，不符合要求。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
公因式定义；提公因式法；相反数变形
【点评】
本题属于公因式识别的基础题型，解题时要注意观察代数式结构，遇到互为相反数的多项式因式时要灵活变形，避免漏判公因式。
【难度系数】
0.8
本题考查公因式的判断，解题核心是掌握公因式的定义：多项式中各项都含有的相同因式叫做公因式。解题时逐个分析每个选项的两个代数式即可：先看系数是否有公共的最大公约数，再看是否有相同的字母因式或多项式因式，注意互为相反数的多项式可以提取负号转化为相同因式，最终选出没有公因式的选项。
【解析】
逐个分析各选项：
A. 代数式$ax+y$和$x+y$，$ax+y$无法分解出$x+y$这一因式，二者除$\pm1$外无公共因式，因此没有公因式；
B. $2x=2· x$，$4y=2· 2y$，二者有公因式$2$，不符合要求；
C. $b-a=-(a-b)$，因此$a-b$和$b-a$有公因式$a-b$（或$b-a$），不符合要求；
D. 对$-x^2+xy$提公因式可得：$-x^2+xy=x(y-x)$，和$y-x$有公因式$y-x$，不符合要求。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
公因式定义；提公因式法；相反数变形
【点评】
本题属于公因式识别的基础题型，解题时要注意观察代数式结构，遇到互为相反数的多项式因式时要灵活变形，避免漏判公因式。
【难度系数】
0.8
4. 多项式$2mx - 10nx^2$的公因式是 （
A.2
B.x
C.$2x$
D.$2mm$
C
）A.2
B.x
C.$2x$
D.$2mm$
答案
C
解析
【分析】
找多项式的公因式需要遵循三步法：第一步先确定各项系数的最大公约数，第二步确定各项都包含的相同字母，第三步确定相同字母的最低次幂，最后将系数的最大公约数和同字母最低次幂相乘，得到的结果就是公因式。我们按照这个思路逐项分析多项式的两项即可得到答案。
【解析】
我们对多项式$2mx - 10nx^2$按公因式确定步骤分析：
1. 定系数：两项系数分别为2和10，它们的最大公约数是2；
2. 定字母：两项都含有的公共字母是x；
3. 定指数：第一项中x的次数是1，第二项中x的次数是2，取最低次幂为$x^1=x$；
将系数和字母部分相乘，可得公因式为$2× x=2x$。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，解题核心是熟练掌握找公因式的三步法，只要按规则逐一判断系数、公共字母、字母指数就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
找多项式的公因式需要遵循三步法：第一步先确定各项系数的最大公约数，第二步确定各项都包含的相同字母，第三步确定相同字母的最低次幂，最后将系数的最大公约数和同字母最低次幂相乘，得到的结果就是公因式。我们按照这个思路逐项分析多项式的两项即可得到答案。
【解析】
我们对多项式$2mx - 10nx^2$按公因式确定步骤分析：
1. 定系数：两项系数分别为2和10，它们的最大公约数是2；
2. 定字母：两项都含有的公共字母是x；
3. 定指数：第一项中x的次数是1，第二项中x的次数是2，取最低次幂为$x^1=x$；
将系数和字母部分相乘，可得公因式为$2× x=2x$。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，解题核心是熟练掌握找公因式的三步法，只要按规则逐一判断系数、公共字母、字母指数就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（
A.$x^2 - y$
B.$x^2 - 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
B
）A.$x^2 - y$
B.$x^2 - 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用提公因式法因式分解，首先明确提公因式法的适用前提：多项式的每一项都含有公共的因式（即公因式）。解题时只需逐一分析每个选项的多项式各项是否存在公因式，存在公因式的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，没有公共的字母因式，系数最大公约数为1，不存在公因式，不能用提公因式法分解；
B. 多项式$x^2 - 2x$的两项为$x^2$和$-2x$，两项都含有公因式$x$，提公因式后可分解为$x(x-2)$，可以用提公因式法分解；
C. 多项式$x^2 + y^2$的两项为$x^2$和$y^2$，没有公共的字母因式，系数最大公约数为1，不存在公因式，不能用提公因式法分解；
D. 多项式$x^2 - xy + y^2$的三项为$x^2$、$-xy$、$y^2$，$x^2$不含字母$y$，$y^2$不含字母$x$，没有公共的因式，不能用提公因式法分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的判断
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对提公因式法适用条件的理解，只要熟练掌握公因式的判断方法，就能快速解题。
【难度系数】
0.85
要判断哪个多项式能用提公因式法因式分解，首先明确提公因式法的适用前提：多项式的每一项都含有公共的因式（即公因式）。解题时只需逐一分析每个选项的多项式各项是否存在公因式，存在公因式的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，没有公共的字母因式，系数最大公约数为1，不存在公因式，不能用提公因式法分解；
B. 多项式$x^2 - 2x$的两项为$x^2$和$-2x$，两项都含有公因式$x$，提公因式后可分解为$x(x-2)$，可以用提公因式法分解；
C. 多项式$x^2 + y^2$的两项为$x^2$和$y^2$，没有公共的字母因式，系数最大公约数为1，不存在公因式，不能用提公因式法分解；
D. 多项式$x^2 - xy + y^2$的三项为$x^2$、$-xy$、$y^2$，$x^2$不含字母$y$，$y^2$不含字母$x$，没有公共的因式，不能用提公因式法分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的判断
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对提公因式法适用条件的理解，只要熟练掌握公因式的判断方法，就能快速解题。
【难度系数】
0.85
6. 将多项式$-2a^2 -2a$因式分解提取公因式后，另一个因式是 （
A.$a$
B.$a+1$
C.$a-1$
D.$-a+1$
B
）A.$a$
B.$a+1$
C.$a-1$
D.$-a+1$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查提公因式法分解因式，解题时先按照公因式的确定规则找到多项式的公因式，再用原多项式除以公因式，就能得到提取公因式后的另一个因式。首先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，组合起来就是公因式；再将公因式提取出来，计算剩余部分即可得到答案。
【解析】
解：对多项式$-2a^2 - 2a$提取公因式：
1. 确定公因式：两项系数为$-2$、$-2$，最大公约数是2，两项都含有的字母是$a$，$a$的最低次幂是1次，因此公因式为$-2a$。
2. 提取公因式：
$\begin{aligned}-2a^2 - 2a&= -2a × a + (-2a) × 1\\&=-2a(a + 1)\end{aligned}$
因此提取公因式后，另一个因式是$a+1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心是掌握公因式的确定方法，提取公因式时要注意各项的符号变化，提取后剩余的因式要确保不能再提取公因式。
【难度系数】
0.9
这道题考查提公因式法分解因式，解题时先按照公因式的确定规则找到多项式的公因式，再用原多项式除以公因式，就能得到提取公因式后的另一个因式。首先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，组合起来就是公因式；再将公因式提取出来，计算剩余部分即可得到答案。
【解析】
解：对多项式$-2a^2 - 2a$提取公因式：
1. 确定公因式：两项系数为$-2$、$-2$，最大公约数是2，两项都含有的字母是$a$，$a$的最低次幂是1次，因此公因式为$-2a$。
2. 提取公因式：
$\begin{aligned}-2a^2 - 2a&= -2a × a + (-2a) × 1\\&=-2a(a + 1)\end{aligned}$
因此提取公因式后，另一个因式是$a+1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心是掌握公因式的确定方法，提取公因式时要注意各项的符号变化，提取后剩余的因式要确保不能再提取公因式。
【难度系数】
0.9
7. 把下列各式因式分解：
(1)$am^2 + n^2a$；
(2)$a^2b - 2bc$；
(3)$a^2 - ab + a$；
(4)$3xy +5x^2y -4y^2$。
(1)$am^2 + n^2a$；
(2)$a^2b - 2bc$；
(3)$a^2 - ab + a$；
(4)$3xy +5x^2y -4y^2$。
答案
(1)原式$=a(m^2 + n^2)$.
(2)原式$=b(a^2 - 2c)$.
(3)原式$=a(a - b + 1)$.
(4)原式$=y(3x + 5x^2 - 4y)$.
(2)原式$=b(a^2 - 2c)$.
(3)原式$=a(a - b + 1)$.
(4)原式$=y(3x + 5x^2 - 4y)$.
解析
【分析】
这组因式分解题均采用提公因式法求解，解题思路分为两步：第一步确定公因式：先找多项式各项系数的最大公约数，再找各项共同含有的字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积即为公因式；第二步提取公因式：将公因式写到括号外，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果作为括号内的多项式，注意提取公因式后括号内的项数要和原多项式项数一致，单独的项提取公因式后剩余的1不可省略。
【解析】
(1) 观察多项式$am^2 + n^2a$，两项的公因式为$a$，提取公因式$a$可得：
原式$=a· m^2 + a· n^2 = a(m^2 + n^2)$
(2) 观察多项式$a^2b - 2bc$，两项的公因式为$b$，提取公因式$b$可得：
原式$=b· a^2 - b· 2c = b(a^2 - 2c)$
(3) 观察多项式$a^2 - ab + a$，三项的公因式为$a$，提取公因式$a$，注意最后一项$a$除以$a$得1，不可省略：
原式$=a· a - a· b + a· 1 = a(a - b + 1)$
(4) 观察多项式$3xy +5x^2y -4y^2$，三项的公因式为$y$，提取公因式$y$可得：
原式$=y· 3x + y· 5x^2 - y· 4y = y(3x + 5x^2 - 4y)$
【答案】
(1)$a(m^2 + n^2)$
(2)$b(a^2 - 2c)$
(3)$a(a - b + 1)$
(4)$y(3x + 5x^2 - 4y)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础训练题，核心考察公因式的识别与提取能力，解题时需注意准确找全各项的公因式，提取公因式后不要漏写原单独项提取后剩余的1，熟练掌握本题型可为后续复杂因式分解的学习打好基础。
【难度系数】
0.85
这组因式分解题均采用提公因式法求解，解题思路分为两步：第一步确定公因式：先找多项式各项系数的最大公约数，再找各项共同含有的字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积即为公因式；第二步提取公因式：将公因式写到括号外，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果作为括号内的多项式，注意提取公因式后括号内的项数要和原多项式项数一致，单独的项提取公因式后剩余的1不可省略。
【解析】
(1) 观察多项式$am^2 + n^2a$，两项的公因式为$a$，提取公因式$a$可得：
原式$=a· m^2 + a· n^2 = a(m^2 + n^2)$
(2) 观察多项式$a^2b - 2bc$，两项的公因式为$b$，提取公因式$b$可得：
原式$=b· a^2 - b· 2c = b(a^2 - 2c)$
(3) 观察多项式$a^2 - ab + a$，三项的公因式为$a$，提取公因式$a$，注意最后一项$a$除以$a$得1，不可省略：
原式$=a· a - a· b + a· 1 = a(a - b + 1)$
(4) 观察多项式$3xy +5x^2y -4y^2$，三项的公因式为$y$，提取公因式$y$可得：
原式$=y· 3x + y· 5x^2 - y· 4y = y(3x + 5x^2 - 4y)$
【答案】
(1)$a(m^2 + n^2)$
(2)$b(a^2 - 2c)$
(3)$a(a - b + 1)$
(4)$y(3x + 5x^2 - 4y)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础训练题，核心考察公因式的识别与提取能力，解题时需注意准确找全各项的公因式，提取公因式后不要漏写原单独项提取后剩余的1，熟练掌握本题型可为后续复杂因式分解的学习打好基础。
【难度系数】
0.85
8.请你写出一个整式a，使得多项式$x^2 + a$能因式分解，这个整式a可以是
$xy$（答案不唯一）
。答案
$xy$（答案不唯一）
解析
【分析】
要使多项式$x^2 + a$能因式分解，可结合已学的提公因式法思考：若多项式的两个项有公因式，就能提取公因式完成因式分解。因此我们只需让$a$含有与$x^2$相同的公因式$x$即可，也可构造平方差公式的形式得到符合要求的$a$，答案不唯一。
【解析】
我们可以选取整式$a=xy$，代入多项式得$x^2+xy$，提取公因式$x$后可得：
$x^2+xy = x(x+y)$，满足因式分解的要求。
除此之外，$a=-1$、$a=2x$等也均符合条件，答案不唯一。
【答案】
$xy$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法分解因式
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，主要考查对因式分解的理解和提公因式法的应用，灵活掌握因式分解的基本方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要使多项式$x^2 + a$能因式分解，可结合已学的提公因式法思考：若多项式的两个项有公因式，就能提取公因式完成因式分解。因此我们只需让$a$含有与$x^2$相同的公因式$x$即可，也可构造平方差公式的形式得到符合要求的$a$，答案不唯一。
【解析】
我们可以选取整式$a=xy$，代入多项式得$x^2+xy$，提取公因式$x$后可得：
$x^2+xy = x(x+y)$，满足因式分解的要求。
除此之外，$a=-1$、$a=2x$等也均符合条件，答案不唯一。
【答案】
$xy$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法分解因式
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，主要考查对因式分解的理解和提公因式法的应用，灵活掌握因式分解的基本方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
9.(1)若$m-n=1$，则$(m-n)^2 -2m +2n$的值是
(2)已知$a-2=b+c$，则$a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=$
$-1$
；(2)已知$a-2=b+c$，则$a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=$
$4$
答案
(1)$-1$
(2)$4$
(2)$4$
解析
【分析】
(1) 解题时先观察已知条件和所求代数式的结构，已知$m-n=1$，所求式中$-2m+2n$可以提取公因式$-2$，变形为$-2(m-n)$，这样整个式子就可以转化为仅含$(m-n)$的代数式，再整体代入$m-n=1$计算即可，无需单独求$m$、$n$的值。
(2) 先对已知条件$a-2=b+c$移项，得到$a-b-c=2$，再观察所求代数式，每一项都含有公因式$(a-b-c)$，提取公因式后将代数式变形为$(a-b-c)^2$，最后整体代入$a-b-c=2$计算即可。
【解析】
(1) 对原式变形：
$\begin{aligned}(m-n)^2 -2m +2n&=(m-n)^2 -2(m-n)\\\mathrm{将} \ m-n=1 \ \mathrm{代入得：}&\\&=1^2 - 2×1\\&=1-2\\&=-1\end{aligned}$
(2) 由已知$a-2=b+c$，移项得：$a - b - c = 2$
对原式提取公因式$(a-b-c)$：
$\begin{aligned}a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)&=(a-b-c)(a-b-c)\\&=(a-b-c)^2\end{aligned}$
将$a-b-c=2$代入得：$2^2=4$
【答案】
(1)$-1$；(2)$4$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
这两道题是因式分解的基础应用，核心是通过观察式子结构提取公因式，结合整体代入思想简化计算，不需要求出每个字母的具体值，能有效提升代数式求值的效率。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先观察已知条件和所求代数式的结构，已知$m-n=1$，所求式中$-2m+2n$可以提取公因式$-2$，变形为$-2(m-n)$，这样整个式子就可以转化为仅含$(m-n)$的代数式，再整体代入$m-n=1$计算即可，无需单独求$m$、$n$的值。
(2) 先对已知条件$a-2=b+c$移项，得到$a-b-c=2$，再观察所求代数式，每一项都含有公因式$(a-b-c)$，提取公因式后将代数式变形为$(a-b-c)^2$，最后整体代入$a-b-c=2$计算即可。
【解析】
(1) 对原式变形：
$\begin{aligned}(m-n)^2 -2m +2n&=(m-n)^2 -2(m-n)\\\mathrm{将} \ m-n=1 \ \mathrm{代入得：}&\\&=1^2 - 2×1\\&=1-2\\&=-1\end{aligned}$
(2) 由已知$a-2=b+c$，移项得：$a - b - c = 2$
对原式提取公因式$(a-b-c)$：
$\begin{aligned}a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)&=(a-b-c)(a-b-c)\\&=(a-b-c)^2\end{aligned}$
将$a-b-c=2$代入得：$2^2=4$
【答案】
(1)$-1$；(2)$4$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
这两道题是因式分解的基础应用，核心是通过观察式子结构提取公因式，结合整体代入思想简化计算，不需要求出每个字母的具体值，能有效提升代数式求值的效率。
【难度系数】
0.8
10.如果$a-3$是多项式$a^2+ma-6$的一个因式，则$m$的值是
$-1$
.答案
$-1$
解析
【分析】
如果a-3是多项式的一个因式，说明该多项式可以写成(a-3)与另一个一次多项式相乘的形式。我们可以用两种符合学段要求的思路求解：思路1：利用整式乘法和因式分解是互逆运算，设出另一个因式，展开后对比左右两边多项式的对应系数，列方程求解m；思路2：根据因式的性质，当a-3=0即a=3时，原多项式的值为0，将a=3代入多项式得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
方法一：设多项式$a^2 + ma - 6$的另一个因式为$a + n$，根据题意可得：
$a^2 + ma - 6 = (a - 3)(a + n)$
将右边展开得：$a^2 + (n - 3)a - 3n$
对比左右两边多项式的对应系数：
常数项：$-3n = -6$，解得$n = 2$
一次项系数：$m = n - 3 = 2 - 3 = -1$
方法二（简便解法）：
因为$a - 3$是多项式$a^2 + ma - 6$的一个因式，所以当$a = 3$时，$a^2 + ma - 6 = 0$
将$a = 3$代入多项式得：
$3^2 + 3m - 6 = 0$
计算整理得：$3m + 3 = 0$
解得：$m = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
因式的定义、整式乘法、代数式求值
【点评】
本题是因式分解模块的基础典型题，核心考查因式与多项式的关系，以及整式乘法与因式分解的互逆性，熟练掌握对应性质就能快速求解，也能帮助学生理解代数中恒等变形的思想。
【难度系数】
0.7
如果a-3是多项式的一个因式，说明该多项式可以写成(a-3)与另一个一次多项式相乘的形式。我们可以用两种符合学段要求的思路求解：思路1：利用整式乘法和因式分解是互逆运算，设出另一个因式，展开后对比左右两边多项式的对应系数，列方程求解m；思路2：根据因式的性质，当a-3=0即a=3时，原多项式的值为0，将a=3代入多项式得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
方法一：设多项式$a^2 + ma - 6$的另一个因式为$a + n$，根据题意可得：
$a^2 + ma - 6 = (a - 3)(a + n)$
将右边展开得：$a^2 + (n - 3)a - 3n$
对比左右两边多项式的对应系数：
常数项：$-3n = -6$，解得$n = 2$
一次项系数：$m = n - 3 = 2 - 3 = -1$
方法二（简便解法）：
因为$a - 3$是多项式$a^2 + ma - 6$的一个因式，所以当$a = 3$时，$a^2 + ma - 6 = 0$
将$a = 3$代入多项式得：
$3^2 + 3m - 6 = 0$
计算整理得：$3m + 3 = 0$
解得：$m = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
因式的定义、整式乘法、代数式求值
【点评】
本题是因式分解模块的基础典型题，核心考查因式与多项式的关系，以及整式乘法与因式分解的互逆性，熟练掌握对应性质就能快速求解，也能帮助学生理解代数中恒等变形的思想。
【难度系数】
0.7
11. 利用因式分解简便计算：
(1)$1.01^2 - 1.01$；
(2)$29×20.23 + 72×20.23 - 20.23$；
(3)$2^{2025} - 6×2^{2024} + 4×2^{2023} + 8×2^{2022}$。
(1)$1.01^2 - 1.01$；
(2)$29×20.23 + 72×20.23 - 20.23$；
(3)$2^{2025} - 6×2^{2024} + 4×2^{2023} + 8×2^{2022}$。
答案
(1)原式$=1.01×(1.01 - 1)=0.0101$.
(2)原式$=20.23×(29 + 72 - 1)$
$=20.23×100=2023$.
(3)原式$=2^3 × 2^{2022} - 6 × 2^2 × 2^{2022} + 4 × 2 × 2^{2022} + 8 × 2^{2022}$
$=(8 - 24 + 8 + 8) × 2^{2022}=0$.
(2)原式$=20.23×(29 + 72 - 1)$
$=20.23×100=2023$.
(3)原式$=2^3 × 2^{2022} - 6 × 2^2 × 2^{2022} + 4 × 2 × 2^{2022} + 8 × 2^{2022}$
$=(8 - 24 + 8 + 8) × 2^{2022}=0$.
解析
【分析】
这三道题均可以利用提公因式法进行简便运算，解题思路如下：
1. 先观察式子的各项，找出公共的因式作为公因式；
2. 提取公因式后，将剩下的部分合并计算；
3. 对于第(3)题，先利用同底数幂的乘法逆运算，将各项均转化为含$2^{2022}$的形式，再提取公因式$2^{2022}$计算即可，避免直接计算高次幂，简化运算过程。
【解析】
(1) 观察式子可知公因式为$1.01$，提取公因式得：
原式$=1.01×(1.01 - 1)=1.01×0.01=0.0101$
(2) 观察式子可知公因式为$20.23$，提取公因式得：
原式$=20.23×(29 + 72 - 1)=20.23×100=2023$
(3) 先根据同底数幂乘法的逆运算$a^m=a^{m-n}×a^n$，把各项统一为含$2^{2022}$的形式：
$2^{2025}=2^3×2^{2022}=8×2^{2022}$，$6×2^{2024}=6×2^2×2^{2022}=24×2^{2022}$，$4×2^{2023}=4×2×2^{2022}=8×2^{2022}$，
代入原式提取公因式$2^{2022}$得：
原式$=8×2^{2022} - 24×2^{2022} + 8×2^{2022} + 8×2^{2022}$
$=(8 - 24 + 8 + 8)×2^{2022}$
$=0×2^{2022}=0$
【答案】
(1)$0.0101$；(2)$2023$；(3)$0$
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂的运算；简便运算
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，核心是准确识别出各项的公因式，对于底数相同的高次幂运算，优先通过同底数幂的性质统一最低次幂作为公因式，能大幅降低计算量，避免直接计算高次幂出现错误。
【难度系数】
0.8
这三道题均可以利用提公因式法进行简便运算，解题思路如下：
1. 先观察式子的各项，找出公共的因式作为公因式；
2. 提取公因式后，将剩下的部分合并计算；
3. 对于第(3)题，先利用同底数幂的乘法逆运算，将各项均转化为含$2^{2022}$的形式，再提取公因式$2^{2022}$计算即可，避免直接计算高次幂，简化运算过程。
【解析】
(1) 观察式子可知公因式为$1.01$，提取公因式得：
原式$=1.01×(1.01 - 1)=1.01×0.01=0.0101$
(2) 观察式子可知公因式为$20.23$，提取公因式得：
原式$=20.23×(29 + 72 - 1)=20.23×100=2023$
(3) 先根据同底数幂乘法的逆运算$a^m=a^{m-n}×a^n$，把各项统一为含$2^{2022}$的形式：
$2^{2025}=2^3×2^{2022}=8×2^{2022}$，$6×2^{2024}=6×2^2×2^{2022}=24×2^{2022}$，$4×2^{2023}=4×2×2^{2022}=8×2^{2022}$，
代入原式提取公因式$2^{2022}$得：
原式$=8×2^{2022} - 24×2^{2022} + 8×2^{2022} + 8×2^{2022}$
$=(8 - 24 + 8 + 8)×2^{2022}$
$=0×2^{2022}=0$
【答案】
(1)$0.0101$；(2)$2023$；(3)$0$
【知识点】
提公因式法因式分解；同底数幂的运算；简便运算
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，核心是准确识别出各项的公因式，对于底数相同的高次幂运算，优先通过同底数幂的性质统一最低次幂作为公因式，能大幅降低计算量，避免直接计算高次幂出现错误。
【难度系数】
0.8
