登录
1. 如果抛物线的对称轴是直线$x=2$，且与$x$轴的一个交点的坐标是$(6,0)$，那么它与$x$轴的另一个交点的坐标是 （
A.$(-6,0)$；
B.$(-4,0)$；
C.$(-2,0)$；
D.$(4,0)$
C
）A.$(-6,0)$；
B.$(-4,0)$；
C.$(-2,0)$；
D.$(4,0)$
答案
1. C
解析
【分析】
本题可利用抛物线的轴对称性求解：抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即对称轴是两个交点连线段的垂直平分线，因此对称轴的横坐标等于两个交点横坐标的平均值。我们可以设另一个交点的横坐标为x，根据上述关系列方程求解即可得到另一个交点的坐标。
【解析】
解：
∵抛物线是轴对称图形，且对称轴为直线$x=2$
∴抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=2$对称，两点横坐标的平均值等于2
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，根据中点坐标公式可得：
$\frac{x + 6}{2} = 2$
解方程：
$x + 6 = 4$
$x = 4 - 6 = -2$
∴另一个交点的坐标为$(-2,0)$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
抛物线的轴对称性，中点坐标公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查抛物线对称性的应用，解题的关键是掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称这一性质，通过中点关系即可快速计算出未知交点坐标，无需代入解析式求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题可利用抛物线的轴对称性求解：抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即对称轴是两个交点连线段的垂直平分线，因此对称轴的横坐标等于两个交点横坐标的平均值。我们可以设另一个交点的横坐标为x，根据上述关系列方程求解即可得到另一个交点的坐标。
【解析】
解：
∵抛物线是轴对称图形，且对称轴为直线$x=2$
∴抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=2$对称，两点横坐标的平均值等于2
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，根据中点坐标公式可得：
$\frac{x + 6}{2} = 2$
解方程：
$x + 6 = 4$
$x = 4 - 6 = -2$
∴另一个交点的坐标为$(-2,0)$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
抛物线的轴对称性，中点坐标公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查抛物线对称性的应用，解题的关键是掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称这一性质，通过中点关系即可快速计算出未知交点坐标，无需代入解析式求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$上部分点坐标的$x$值和对应的$y$值如下表，下列说法中错误的是（
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $-3$ | $-2$ |
| $-6$ | $-11$ | … |
A.$a＜0$；
B.$-\dfrac{b}{2a}=-2$；
C.$c=-6$；
D.$a-b+c＞0$
D
）| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $-3$ | $-2$ |
| $-6$ | $-11$ | … |A.$a＜0$；
B.$-\dfrac{b}{2a}=-2$；
C.$c=-6$；
D.$a-b+c＞0$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先利用抛物线的对称性：纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，先求出抛物线对称轴；再结合x=0时的函数值直接得到c的取值；根据对称轴一侧函数的增减性判断开口方向，确定a的符号；最后明确$a-b+c$就是x=-1时的函数值，对照表格即可判断对错，逐一验证选项即可得到结论。
【解析】
1. 判断选项B：观察表格可知x=-3和x=-1对应的y值均为-3，这两点关于抛物线对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，即$-\frac{b}{2a}=-2$，B说法正确。
2. 判断选项C：将x=0代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=c$，由表格知x=0时y=-6，因此$c=-6$，C说法正确。
3. 判断选项A：已知对称轴为x=-2，观察x＞-2时，x增大y随之减小，说明抛物线开口向下，因此$a＜0$，A说法正确。
4. 判断选项D：将x=-1代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，由表格知x=-1时y=-3，即$a-b+c=-3＜0$，因此D说法错误。
【答案】D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查对抛物线对称性、特殊点函数值的理解和应用，熟练掌握二次函数基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.75
解题时先利用抛物线的对称性：纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，先求出抛物线对称轴；再结合x=0时的函数值直接得到c的取值；根据对称轴一侧函数的增减性判断开口方向，确定a的符号；最后明确$a-b+c$就是x=-1时的函数值，对照表格即可判断对错，逐一验证选项即可得到结论。
【解析】
1. 判断选项B：观察表格可知x=-3和x=-1对应的y值均为-3，这两点关于抛物线对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，即$-\frac{b}{2a}=-2$，B说法正确。
2. 判断选项C：将x=0代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=c$，由表格知x=0时y=-6，因此$c=-6$，C说法正确。
3. 判断选项A：已知对称轴为x=-2，观察x＞-2时，x增大y随之减小，说明抛物线开口向下，因此$a＜0$，A说法正确。
4. 判断选项D：将x=-1代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，由表格知x=-1时y=-3，即$a-b+c=-3＜0$，因此D说法错误。
【答案】D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查对抛物线对称性、特殊点函数值的理解和应用，熟练掌握二次函数基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.75
3. 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 与二次函数 $y=x^2 -kx +k$ 在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是 （
C
）答案
3. C
解析
【分析】
解决这类函数图像匹配题，可通过分类讨论参数k的正负，结合两类函数的性质逐一排除错误选项：首先分k＞0和k＜0两种情况，分别确定反比例函数所在象限，再分析二次函数的开口方向、对称轴位置、与y轴的交点特征，对比选项是否符合即可得到答案。
【解析】
我们分两类情况讨论参数k的取值：
1. 当$k＞0$时：
① 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像位于第一、三象限；
② 二次函数$y=x^2 -kx +k$：二次项系数$1＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=\frac{k}{2}＞0$，即对称轴在y轴右侧；当$x=0$时，$y=k＞0$，即函数与y轴交于正半轴。
观察选项：A中二次函数与y轴交于负半轴，不符合；B中二次函数对称轴在y轴左侧，不符合，故排除A、B。
2. 当$k＜0$时：
① 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像位于第二、四象限；
② 二次函数$y=x^2 -kx +k$：开口向上；对称轴为直线$x=\frac{k}{2}＜0$，即对称轴在y轴左侧；当$x=0$时，$y=k＜0$，即函数与y轴交于负半轴。
观察选项：C符合所有特征；D中二次函数对称轴在y轴右侧，不符合，排除D。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，分类讨论思想
【点评】
本题是函数图像类典型题型，解题关键是抓住参数k对两个函数图像的共同影响，通过分类讨论结合函数的核心特征（开口方向、对称轴、与坐标轴交点、反比例函数所在象限）排除错误选项，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解决这类函数图像匹配题，可通过分类讨论参数k的正负，结合两类函数的性质逐一排除错误选项：首先分k＞0和k＜0两种情况，分别确定反比例函数所在象限，再分析二次函数的开口方向、对称轴位置、与y轴的交点特征，对比选项是否符合即可得到答案。
【解析】
我们分两类情况讨论参数k的取值：
1. 当$k＞0$时：
① 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像位于第一、三象限；
② 二次函数$y=x^2 -kx +k$：二次项系数$1＞0$，开口向上；对称轴为直线$x=\frac{k}{2}＞0$，即对称轴在y轴右侧；当$x=0$时，$y=k＞0$，即函数与y轴交于正半轴。
观察选项：A中二次函数与y轴交于负半轴，不符合；B中二次函数对称轴在y轴左侧，不符合，故排除A、B。
2. 当$k＜0$时：
① 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像位于第二、四象限；
② 二次函数$y=x^2 -kx +k$：开口向上；对称轴为直线$x=\frac{k}{2}＜0$，即对称轴在y轴左侧；当$x=0$时，$y=k＜0$，即函数与y轴交于负半轴。
观察选项：C符合所有特征；D中二次函数对称轴在y轴右侧，不符合，排除D。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，分类讨论思想
【点评】
本题是函数图像类典型题型，解题关键是抓住参数k对两个函数图像的共同影响，通过分类讨论结合函数的核心特征（开口方向、对称轴、与坐标轴交点、反比例函数所在象限）排除错误选项，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 若二次函数$y=(m+1)x^2 + m^2 -9$有最大值，且图像经过原点，则其函数表达式为
4. 若二次函数$y=(m+1)x^2 + m^2 -9$有最大值，且图像经过原点，则其函数表达式为
$y=-2x^2$
.答案
4. $y=-2x^2$
解析
【分析】
拿到这道题我们可以从给出的两个核心条件入手思考：首先，二次函数图像过原点，说明原点坐标(0,0)满足函数表达式，代入就能得到关于参数m的方程，求出m的可能取值；其次，二次函数有最大值，说明抛物线开口向下，对应二次项系数小于0，结合这个条件就能从m的可能取值里筛选出符合要求的解，最后代入原式就能得到函数表达式，解题过程中还要注意二次项系数不能为0的隐含要求。
【解析】
解：
∵二次函数$y=(m+1)x^2 + m^2 -9$的图像经过原点$(0,0)$
∴将$x=0$，$y=0$代入函数表达式得：
$0=(m+1)×0 + m^2 -9$
即$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$
又
∵二次函数有最大值，说明抛物线开口向下，二次项系数小于0
∴$m+1＜0$，解得$m＜-1$
综上，$m=-3$（$m=3$不符合$m＜-1$的要求，舍去）
将$m=-3$代入原表达式得：$m+1=-3+1=-2$
∴函数表达式为$y=-2x^2$
【答案】
$y=-2x^2$
【知识点】
二次函数的最值性质；二次函数图像的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题核心是结合已知条件建立关于参数的方程和不等式，要注意二次函数最值对应的开口方向、二次项系数不为0这两个隐含条件，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.8
拿到这道题我们可以从给出的两个核心条件入手思考：首先，二次函数图像过原点，说明原点坐标(0,0)满足函数表达式，代入就能得到关于参数m的方程，求出m的可能取值；其次，二次函数有最大值，说明抛物线开口向下，对应二次项系数小于0，结合这个条件就能从m的可能取值里筛选出符合要求的解，最后代入原式就能得到函数表达式，解题过程中还要注意二次项系数不能为0的隐含要求。
【解析】
解：
∵二次函数$y=(m+1)x^2 + m^2 -9$的图像经过原点$(0,0)$
∴将$x=0$，$y=0$代入函数表达式得：
$0=(m+1)×0 + m^2 -9$
即$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$
又
∵二次函数有最大值，说明抛物线开口向下，二次项系数小于0
∴$m+1＜0$，解得$m＜-1$
综上，$m=-3$（$m=3$不符合$m＜-1$的要求，舍去）
将$m=-3$代入原表达式得：$m+1=-3+1=-2$
∴函数表达式为$y=-2x^2$
【答案】
$y=-2x^2$
【知识点】
二次函数的最值性质；二次函数图像的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题核心是结合已知条件建立关于参数的方程和不等式，要注意二次函数最值对应的开口方向、二次项系数不为0这两个隐含条件，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.8
5. 若抛物线$y=2x^2+bx+c$与$x$轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点，则抛物线的表达式为
$y=2x^2-2x-12$
。答案
5. $y=2x^2-2x-12$
解析
【分析】
已知抛物线的二次项系数为2，且给出了抛物线与x轴的两个交点坐标，有两种常用解题思路：思路1：利用二次函数交点式，若抛物线与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则解析式可写为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，代入已知的a和交点坐标，展开整理为一般式即可；思路2：将两个交点坐标代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可得到解析式。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵抛物线$y=2x^2+bx+c$的二次项系数$a=2$，且与x轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点
∴抛物线的交点式为$y=2(x+2)(x-3)$
展开化简：
$y=2(x^2 -3x +2x -6) = 2(x^2 -x -6) = 2x^2 -2x -12$
方法二（代入求解法）：
将$A(-2,0)$、$B(3,0)$分别代入$y=2x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}2×(-2)^2 -2b + c = 0 \\2×3^2 +3b + c = 0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}8 -2b + c = 0 ①\\18 +3b + c = 0 ②\end{cases}$
用②式减去①式消去c，得：$10 +5b = 0$，解得$b=-2$
将$b=-2$代入①式，得：$8 -2×(-2) + c = 0$，解得$c=-12$
∴抛物线的表达式为$y=2x^2 -2x -12$
【答案】
$y=2x^2-2x-12$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，熟练掌握二次函数不同表达式的适用场景，可灵活选择简便方法快速解题，计算时注意符号问题，避免展开或解方程组时出错。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的二次项系数为2，且给出了抛物线与x轴的两个交点坐标，有两种常用解题思路：思路1：利用二次函数交点式，若抛物线与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则解析式可写为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，代入已知的a和交点坐标，展开整理为一般式即可；思路2：将两个交点坐标代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可得到解析式。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵抛物线$y=2x^2+bx+c$的二次项系数$a=2$，且与x轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点
∴抛物线的交点式为$y=2(x+2)(x-3)$
展开化简：
$y=2(x^2 -3x +2x -6) = 2(x^2 -x -6) = 2x^2 -2x -12$
方法二（代入求解法）：
将$A(-2,0)$、$B(3,0)$分别代入$y=2x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}2×(-2)^2 -2b + c = 0 \\2×3^2 +3b + c = 0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}8 -2b + c = 0 ①\\18 +3b + c = 0 ②\end{cases}$
用②式减去①式消去c，得：$10 +5b = 0$，解得$b=-2$
将$b=-2$代入①式，得：$8 -2×(-2) + c = 0$，解得$c=-12$
∴抛物线的表达式为$y=2x^2 -2x -12$
【答案】
$y=2x^2-2x-12$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，熟练掌握二次函数不同表达式的适用场景，可灵活选择简便方法快速解题，计算时注意符号问题，避免展开或解方程组时出错。
【难度系数】
0.8
6. 已知二次函数的顶点在x轴上，且其横坐标为2. 若该函数的图像还经过另一点(1,－4)，则其表达式为
$y=-4(x-2)^2$
。答案
6. $y=-4(x-2)^2$
解析
【分析】
本题已知二次函数的顶点位置和过另一个定点，解题时优先选用顶点式简化计算：首先根据“顶点在x轴上、横坐标为2”确定顶点坐标为(2,0)，再设二次函数的顶点式，最后将已知点代入求解未知参数即可得到函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数的顶点在x轴上，且横坐标为2，
∴该二次函数的顶点坐标为$(2,0)$。
设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），
将顶点$(2,0)$代入得：$y=a(x-2)^2$。
∵函数图像经过点$(1,-4)$，将$x=1$，$y=-4$代入上式：
$-4=a(1-2)^2$
$-4=a×1$
解得$a=-4$。
将$a=-4$代入顶点式，得函数表达式为$y=-4(x-2)^2$。
【答案】
$y=-4(x-2)^2$
【知识点】
二次函数的顶点式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据顶点信息合理选择顶点式设解析式，相比一般式可减少计算量，熟练掌握二次函数顶点式的形式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题已知二次函数的顶点位置和过另一个定点，解题时优先选用顶点式简化计算：首先根据“顶点在x轴上、横坐标为2”确定顶点坐标为(2,0)，再设二次函数的顶点式，最后将已知点代入求解未知参数即可得到函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数的顶点在x轴上，且横坐标为2，
∴该二次函数的顶点坐标为$(2,0)$。
设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），
将顶点$(2,0)$代入得：$y=a(x-2)^2$。
∵函数图像经过点$(1,-4)$，将$x=1$，$y=-4$代入上式：
$-4=a(1-2)^2$
$-4=a×1$
解得$a=-4$。
将$a=-4$代入顶点式，得函数表达式为$y=-4(x-2)^2$。
【答案】
$y=-4(x-2)^2$
【知识点】
二次函数的顶点式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据顶点信息合理选择顶点式设解析式，相比一般式可减少计算量，熟练掌握二次函数顶点式的形式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
