1.「2026山东菏泽期末，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是$(-3,0)$，点B的坐标是$(0,4)$，点C是OB上一点，将$△ ABC$沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点$B'$处，则OC的长为（）


A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2$
D.$\frac{5}{2}$

由题意知$AB=AB',\because A(-3,0),B(0,4),\therefore OA=3,OB=4,\therefore AB=AB'=5,\therefore OB'=AB'-OA=2,\therefore $ 点 $B'$ 的坐标为 $(2,0)$,设 $C$ 点的坐标为 $(0,b)$, 则 $B'C=BC=4-b,\because B' C^{2}= B'O^{2}+OC^{2},\therefore (4-b)^{2}=2^{2}+b^{2},\therefore b=\frac{3}{2},\therefore OC=\frac{3}{2}$, 故选 B.

2.「★☆」如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,A(13,0),C(0,5),点D在AB边上,将长方形OABC沿CD折叠,使点B落在OA上的点E处.
(1)直接写出点B的坐标.
(2)求OE的长.
(3)求点D的坐标.

(1)点 B 的坐标为(13,5).
(2)由题意可得 $CE=BC=OA=13,OC=5$,
因为 $∠ COE=90°$,
所以在 $\mathrm{Rt}△ COE$ 中, $OE=\sqrt{CE^2-OC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
(3)因为 $OA=13,OE=12$, 所以 $AE=1$,
设 $AD=m$, 则 $DE=BD=5-m$, 因为 $∠ DAE=90°$, 所以 $AD^2=DE^2-AE^2$, 即 $m^2=(5-m)^2-1^2$, 解得 $m=\frac{12}{5}$, 所以点 $D$ 的坐标为 $(13,\frac{12}{5})$.

3. 学科特色 将军饮马问题「★★☆」如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知$A(3,0),B(0,2)$,过点$B$作$y$轴的垂线$l$,$P$为直线$l$上一动点,连接$PO$,$PA$,则$PO+PA$的最小值为.

答案 5
解析 如图,取点 $O'(0,4)$, 连接 $O'P,O'A,\because B(0,2),\therefore $ 点 $O'(0,4)$ 与点 $O(0,0)$ 关于直线 $l$ 对称, $\therefore PO'=PO,\therefore PO+PA=PO'+PA≥ O'A$, 即 $PO+PA$ 的最小值为 $O'A$ 的长,
在 $\mathrm{Rt}△ O'AO$ 中, $\because OA=3,OO'=4,\therefore $ 由勾股定理, 得 $O'A=\sqrt{OA^2+OO'^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
$\therefore PO+PA$ 的最小值为 5.