4.「★★☆」如图,在平面直角坐标系中,已知$△ ABC,A(1,1)$,$B(4,2),C(3,4)$.
(1)在图中画出与$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出点$A_{1}$的坐标.
(2)求$S_{△ A_{1}B_{1}C_{1}}$的值.
(3)在$x$轴上是否存在一点$P$,使得$△ PAC$的周长最小?若存在,请在图中描出点$P$;若不存在,请说明理由.

(1)如图, $△ A_1B_1C_1$ 即为所求. 点 $A_1$ 的坐标为 $(1,-1)$.

(2) $S_{△ A_1B_1C_1}=3×3-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×2×1=3.5$.
(3)存在. 如图, 连接 $A_1C$, 交 $x$ 轴于点 $P$, 则点 $P$ 即为所求.

5.「2026安徽安庆期中，★★☆」如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第1分钟，它从原点运动到点(1,0)，第2分钟，它从点(1,0)运动到点(1,1)，而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2024分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（）


A.(44,0)
B.(45,0)
C.(44,1)
D.(45,1)

根据粒子运动规律可知,
在第 $2^2=4$ 分钟时,粒子所在位置的坐标是 $(0,2)$, 然后向右、向下运动,
在第 $3^2=9$ 分钟时,粒子所在位置的坐标是 $(3,0)$, 然后向上、向左运动,
在第 $4^2=16$ 分钟时,粒子所在位置的坐标是 $(0,4)$, 然后向右、向下运动,
在第 $5^2=25$ 分钟时,粒子所在位置的坐标是 $(5,0)$, 然后向上、向左运动,……,
$\therefore $ 在第 $45^2=2025$ 分钟时,粒子所在位置的坐标是 $(45,0)$, 然后向上、向左运动,
$\therefore $ 在第 2024 分钟时,粒子所在位置的坐标是 $(44,0)$, 故选 A.