15.「2025陕西西安期末，★★☆」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点D在边AC上，且$AD=BD$，过点A作$AE ⊥ BD$，交BD的延长线于点E，若$AE=6$，$BC=2\sqrt{10}$，则BD的长为。

$\frac{25}{4}$
解析 如图,过B作$BH⊥AC$于H,
∴$∠E=∠BHD=90°$,

在$△ADE$与$△BDH$中,$\begin{cases} ∠E=∠BHD, \\ ∠ADE=∠BDH, \\ AD=BD, \end{cases}$
∴$△ADE≌△BDH(AAS)$,
∴$BH=AE=6$,
∵$BC=2\sqrt{10}$,
∴$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=2$,
∴$AH=AC-2$,
∵$AH^2+BH^2=AB^2$,$AB=AC$,
∴$(AC-2)^2+6^2=AC^2$,
∴$AC=10$,
∴$AH=8$,
∴$DH=AH-AD=8-BD$,
∵$BD^2=BH^2+DH^2$,
∴$BD^2=6^2+(8-BD)^2$,
∴$BD=\frac{25}{4}$.

16.「2025浙江宁波七中期末，★★★」如图，已知$B_1(1,y_1),B_2(2,y_2),B_3(3,y_3),\dots$在直线$y=2x+3$上，在$x$轴上取点$A_1$，使$OA_1=a(0＜a＜1)$，作等腰$△ A_1B_1A_2$，等腰$△ A_2B_2A_3$，等腰$△ A_3B_3A_4$，$\dots$，其面积分别为$S_1,S_2,S_3,\dots$，则$S_{2025}-S_{2024}=$（用含$a$的代数式表示）。

4 053-8 104a
解析 根据题意可知,$y_1=2×1+3=5$,
$y_2=2×2+3=7$,$y_3=2×3+3=9$,
$y_4=2×4+3=11$,……,$y_n=2n+3$,
∵$OA_1=a$,
∴$A_1A_2=2(1-a)$,
∴$S_1=\frac{1}{2}×2(1-a)×5=5(1-a)$,
同理$S_2=\frac{1}{2}×2[1-(1-a)]×7=\frac{1}{2}×2a×7=7a$,
$S_3=\frac{1}{2}×2(1-a)×9=9(1-a)$,
$S_4=\frac{1}{2}×2a×11=11a$,……,
∴$S_n=\begin{cases} (2n+3)(1-a)(n 为奇数), \\ (2n+3)a(n 为偶数), \end{cases}$
∴$S_{2025}-S_{2024}=(2×2 025+3)(1-a)-(2×2 024+3)a=4 053-8 104a$.

三、解答题(共72分)(答案含评分细则)
17.「2026 福建福州晋安期中，★☆」(6分)计算：
(1) $\sqrt{12} - \sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}}$.
(2) $(\sqrt{5} - 1)^2 + (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$.

(1) $\sqrt{12} - \sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}}$
$= 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3}$ ……………………………… (2 分)
$= 2\sqrt{3}.$ ……………………………………………… (3 分)
(2) $(\sqrt{5} - 1)^2 + (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$
$= 5 - 2\sqrt{5} + 1 + 5 - 4$ ……………………………… (5 分)
$= 7 - 2\sqrt{5}.$ …………………………………………… (6 分)