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1. 已知$5x - 2y = 0(x ≠ 0)$，则下列比例式中成立的是().
A.$\frac{x}{5} = \frac{y}{2}$
B.$\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$
C.$\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$
D.$\frac{x}{5} = \frac{2}{y}$
A.$\frac{x}{5} = \frac{y}{2}$
B.$\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$
C.$\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$
D.$\frac{x}{5} = \frac{2}{y}$
答案
B
解析
【分析】
本题可借助比例的基本性质解题，有两种思路：一是先将已知等式变形为等积式，再转化为比例式和选项匹配；二是将每个选项的比例式交叉相乘得到等积式，和已知条件对比，相等的即为正确选项，第二种方法更直观，不易出现内外项混淆的错误。
【解析】
首先对已知条件变形：
由$5x - 2y = 0(x≠0)$，移项可得$5x = 2y$。
根据比例的基本性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$ad=bc$，逐一验证选项：
选项A：$\frac{x}{5}=\frac{y}{2}$，交叉相乘得$2x=5y$，与$5x=2y$不符，错误；
选项B：$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$，交叉相乘得$5x=2y$，与已知条件一致，正确；
选项C：$\frac{x}{y}=\frac{5}{2}$，交叉相乘得$2x=5y$，与$5x=2y$不符，错误；
选项D：$\frac{x}{5}=\frac{2}{y}$，交叉相乘得$xy=10$，与$5x=2y$不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质；比例式与等积式互化
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，采用将选项比例式转化为等积式验证的方法能有效降低出错率，解题时注意题干中x≠0的前提是保证比例式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
本题可借助比例的基本性质解题，有两种思路：一是先将已知等式变形为等积式，再转化为比例式和选项匹配；二是将每个选项的比例式交叉相乘得到等积式，和已知条件对比，相等的即为正确选项，第二种方法更直观，不易出现内外项混淆的错误。
【解析】
首先对已知条件变形：
由$5x - 2y = 0(x≠0)$，移项可得$5x = 2y$。
根据比例的基本性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$ad=bc$，逐一验证选项：
选项A：$\frac{x}{5}=\frac{y}{2}$，交叉相乘得$2x=5y$，与$5x=2y$不符，错误；
选项B：$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$，交叉相乘得$5x=2y$，与已知条件一致，正确；
选项C：$\frac{x}{y}=\frac{5}{2}$，交叉相乘得$2x=5y$，与$5x=2y$不符，错误；
选项D：$\frac{x}{5}=\frac{2}{y}$，交叉相乘得$xy=10$，与$5x=2y$不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质；比例式与等积式互化
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，采用将选项比例式转化为等积式验证的方法能有效降低出错率，解题时注意题干中x≠0的前提是保证比例式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
2. 如果$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，那么下列各式中可能不成立的是().
A.$\frac{x+y}{y}=\frac{5}{3}$
B.$\frac{y-x}{y}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{x}{2y}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{x+1}{y+1}=\frac{3}{4}$
A.$\frac{x+y}{y}=\frac{5}{3}$
B.$\frac{y-x}{y}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{x}{2y}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{x+1}{y+1}=\frac{3}{4}$
答案
D
解析
【分析】
本题是已知比例判断各式是否成立的问题，可采用比例问题常用的设参数法解题：首先根据已知的x与y的比例关系，设参数分别表示x和y，再将其代入各个选项的式子中化简，判断式子是否恒成立，若仅在特定参数值下成立，则该式可能不成立。
【解析】
已知$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，可设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$），逐个验证选项：
A. $\frac{x+y}{y}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$，该式恒成立；
B. $\frac{y-x}{y}=\frac{3k-2k}{3k}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$，该式恒成立；
C. $\frac{x}{2y}=\frac{2k}{2×3k}=\frac{2k}{6k}=\frac{1}{3}$，该式恒成立；
D. $\frac{x+1}{y+1}=\frac{2k+1}{3k+1}$，令$\frac{2k+1}{3k+1}=\frac{3}{4}$，交叉相乘得$4(2k+1)=3(3k+1)$，解得$k=1$，即仅当$k=1$时该式成立，当$k$取其他不为0的值时均不成立，因此该式可能不成立。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质，分式化简
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，解题的关键是掌握设参数法处理比例问题的技巧，注意“可能不成立”指的是式子不是对所有满足条件的x、y都成立，只需找到反例即可判断。
【难度系数】
0.8
本题是已知比例判断各式是否成立的问题，可采用比例问题常用的设参数法解题：首先根据已知的x与y的比例关系，设参数分别表示x和y，再将其代入各个选项的式子中化简，判断式子是否恒成立，若仅在特定参数值下成立，则该式可能不成立。
【解析】
已知$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，可设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$），逐个验证选项：
A. $\frac{x+y}{y}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$，该式恒成立；
B. $\frac{y-x}{y}=\frac{3k-2k}{3k}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$，该式恒成立；
C. $\frac{x}{2y}=\frac{2k}{2×3k}=\frac{2k}{6k}=\frac{1}{3}$，该式恒成立；
D. $\frac{x+1}{y+1}=\frac{2k+1}{3k+1}$，令$\frac{2k+1}{3k+1}=\frac{3}{4}$，交叉相乘得$4(2k+1)=3(3k+1)$，解得$k=1$，即仅当$k=1$时该式成立，当$k$取其他不为0的值时均不成立，因此该式可能不成立。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质，分式化简
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，解题的关键是掌握设参数法处理比例问题的技巧，注意“可能不成立”指的是式子不是对所有满足条件的x、y都成立，只需找到反例即可判断。
【难度系数】
0.8
3. 已知$a:b:c=3:4:6$，则$\dfrac{a+b-c}{a-b+c}$的值为（）.
A.$\dfrac{1}{5}$
B.$1$
C.$\dfrac{13}{5}$
D.$\dfrac{1}{13}$
A.$\dfrac{1}{5}$
B.$1$
C.$\dfrac{13}{5}$
D.$\dfrac{1}{13}$
答案
A
解析
【分析】
已知a、b、c三者的连比，要求含a、b、c的分式的值，可采用设参数法解题：先根据连比关系将a、b、c用同一个参数表示，再代入所求分式化简，参数会在化简过程中消去，即可得到最终结果，这是解决连比类求值问题的通用思路。
【解析】
解：
∵ $a:b:c=3:4:6$
∴ 设$a=3k$，$b=4k$，$c=6k$（$k≠0$）
将上述表达式代入分式计算：
分子：$a+b-c=3k+4k-6k=k$
分母：$a-b+c=3k-4k+6k=5k$
∴ $\dfrac{a+b-c}{a-b+c}=\dfrac{k}{5k}=\dfrac{1}{5}$（$k≠0$，可约去）
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的性质，代数式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心考查连比问题的处理技巧，设参数法是解决这类问题的通用方法，运算量小、思路清晰，掌握该方法即可轻松求解同类题目。
【难度系数】
0.8
已知a、b、c三者的连比，要求含a、b、c的分式的值，可采用设参数法解题：先根据连比关系将a、b、c用同一个参数表示，再代入所求分式化简，参数会在化简过程中消去，即可得到最终结果，这是解决连比类求值问题的通用思路。
【解析】
解：
∵ $a:b:c=3:4:6$
∴ 设$a=3k$，$b=4k$，$c=6k$（$k≠0$）
将上述表达式代入分式计算：
分子：$a+b-c=3k+4k-6k=k$
分母：$a-b+c=3k-4k+6k=5k$
∴ $\dfrac{a+b-c}{a-b+c}=\dfrac{k}{5k}=\dfrac{1}{5}$（$k≠0$，可约去）
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的性质，代数式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心考查连比问题的处理技巧，设参数法是解决这类问题的通用方法，运算量小、思路清晰，掌握该方法即可轻松求解同类题目。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$，则$\dfrac{x-y}{y}$的值为。
4. 已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$，则$\dfrac{x-y}{y}$的值为。
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$
解析
【分析】
拿到题目后可观察已知条件和所求代数式的关联，已知$\dfrac{x}{y}$的比值，所求为关于$x$、$y$的齐次分式，有两种符合学段要求的解题思路：一是将所求分式拆分变形，直接代入已知比例值计算；二是用设参数法，根据已知比例设$x$、$y$为含同一参数的表达式，代入所求式约分计算即可，两种方法计算难度都较低。
【解析】
方法一：拆分法
对所求代数式变形可得：
$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{y}=\dfrac{x}{y}-1$
将$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$代入上式：
原式$=\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$
方法二：设参数法
设$x=k$，由$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$可得$y=3k$（$k≠0$），代入所求式：
$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac{k-3k}{3k}=\dfrac{-2k}{3k}=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题是比例运算的基础题型，考查对比例性质的应用和分式基本运算能力，两种常规解题方法都易于掌握，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
拿到题目后可观察已知条件和所求代数式的关联，已知$\dfrac{x}{y}$的比值，所求为关于$x$、$y$的齐次分式，有两种符合学段要求的解题思路：一是将所求分式拆分变形，直接代入已知比例值计算；二是用设参数法，根据已知比例设$x$、$y$为含同一参数的表达式，代入所求式约分计算即可，两种方法计算难度都较低。
【解析】
方法一：拆分法
对所求代数式变形可得：
$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{y}=\dfrac{x}{y}-1$
将$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$代入上式：
原式$=\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$
方法二：设参数法
设$x=k$，由$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$可得$y=3k$（$k≠0$），代入所求式：
$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac{k-3k}{3k}=\dfrac{-2k}{3k}=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题是比例运算的基础题型，考查对比例性质的应用和分式基本运算能力，两种常规解题方法都易于掌握，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
5. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$\frac{AB + BC}{A'B' + B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{3}{2}$。若$△ ABC$的周长等于12 cm，则$△ A'B'C'$的周长等于。
答案
$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
解题时首先明确两个三角形的周长是各自三边之和，观察已知条件给出的两组边的比值相等，均为$\frac{3}{2}$，符合等比性质的应用条件。我们可以利用等比性质，将两个比的分子、分母分别相加，得到两个三角形的周长比也为$\frac{3}{2}$，再结合△ABC的周长即可求出△A'B'C'的周长。
【解析】
设△A'B'C'的周长为$x\ \mathrm{cm}$。
已知△ABC的周长为$AB+BC+AC=12\ \mathrm{cm}$，△A'B'C'的周长为$A'B'+B'C'+A'C'=x$。
由题意得：$\frac{AB+BC}{A'B'+B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{3}{2}$，
根据等比性质：几个相等的比，其所有分子的和与所有分母的和的比等于原比值，可得：
$\frac{(AB+BC)+AC}{(A'B'+B'C')+A'C'}=\frac{3}{2}$，
即$\frac{12}{x}=\frac{3}{2}$，
解得$x=12×\frac{2}{3}=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等比性质，三角形周长定义
【点评】
本题重点考查等比性质的灵活应用，解题的核心是将已知的对应边和的比转化为周长比，熟练掌握比例的基本性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个三角形的周长是各自三边之和，观察已知条件给出的两组边的比值相等，均为$\frac{3}{2}$，符合等比性质的应用条件。我们可以利用等比性质，将两个比的分子、分母分别相加，得到两个三角形的周长比也为$\frac{3}{2}$，再结合△ABC的周长即可求出△A'B'C'的周长。
【解析】
设△A'B'C'的周长为$x\ \mathrm{cm}$。
已知△ABC的周长为$AB+BC+AC=12\ \mathrm{cm}$，△A'B'C'的周长为$A'B'+B'C'+A'C'=x$。
由题意得：$\frac{AB+BC}{A'B'+B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{3}{2}$，
根据等比性质：几个相等的比，其所有分子的和与所有分母的和的比等于原比值，可得：
$\frac{(AB+BC)+AC}{(A'B'+B'C')+A'C'}=\frac{3}{2}$，
即$\frac{12}{x}=\frac{3}{2}$，
解得$x=12×\frac{2}{3}=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等比性质，三角形周长定义
【点评】
本题重点考查等比性质的灵活应用，解题的核心是将已知的对应边和的比转化为周长比，熟练掌握比例的基本性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
6. 若$\frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} = \frac{a + b}{c} = k$，则k的值为。
答案
解：
由题意得：$b+c=ka$，$c+a=kb$，$a+b=kc$，
将三式左右两边分别相加，得：
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，得$k=2$；
2. 当$a+b+c = 0$时，$b+c=-a$，代入$\frac{b+c}{a}=k$，得$k=\frac{-a}{a}=-1$。
综上，$k$的值为$2$或$-1$。
由题意得：$b+c=ka$，$c+a=kb$，$a+b=kc$，
将三式左右两边分别相加，得：
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，得$k=2$；
2. 当$a+b+c = 0$时，$b+c=-a$，代入$\frac{b+c}{a}=k$，得$k=\frac{-a}{a}=-1$。
综上，$k$的值为$2$或$-1$。
解析
【分析】
遇到多个比值相等的问题，首先可根据比例的基本性质将比例式转化为整式等式，再把几个整式等式相加整理，得到含有k和a+b+c的等式。需要注意的是，等式两边同时除以一个代数式时，必须保证该代数式不为0，因此要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况讨论，分别计算k的值，避免出现漏解的问题。
【解析】
由题意得：$b+c=ka$，$c+a=kb$，$a+b=kc$，
将三式左右两边分别相加，得：
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，得$k=2$；
2. 当$a+b+c = 0$时，$b+c=-a$，代入$\frac{b+c}{a}=k$，得$k=\frac{-a}{a}=-1$。
综上，$k$的值为$2$或$-1$。
【答案】
$2$或$-1$
【知识点】
比例的基本性质；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题是比例性质应用的经典题型，易错点是忽略等式变形的前提条件，未考虑a+b+c=0的情况，只得到k=2这一个解。解题时需注意全面考虑所有可能的情况，规范使用等式的性质，避免漏解。
【难度系数】
0.6
遇到多个比值相等的问题，首先可根据比例的基本性质将比例式转化为整式等式，再把几个整式等式相加整理，得到含有k和a+b+c的等式。需要注意的是，等式两边同时除以一个代数式时，必须保证该代数式不为0，因此要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况讨论，分别计算k的值，避免出现漏解的问题。
【解析】
由题意得：$b+c=ka$，$c+a=kb$，$a+b=kc$，
将三式左右两边分别相加，得：
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，得$k=2$；
2. 当$a+b+c = 0$时，$b+c=-a$，代入$\frac{b+c}{a}=k$，得$k=\frac{-a}{a}=-1$。
综上，$k$的值为$2$或$-1$。
【答案】
$2$或$-1$
【知识点】
比例的基本性质；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题是比例性质应用的经典题型，易错点是忽略等式变形的前提条件，未考虑a+b+c=0的情况，只得到k=2这一个解。解题时需注意全面考虑所有可能的情况，规范使用等式的性质，避免漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
7. 已知 $a$，$b$，$c$ 是$△ ABC$的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{12} = \frac{c}{13}$。
（1）求 $\frac{3b - 2a}{c}$ 的值；（2）若$△ ABC$的周长为90，求$△ ABC$的面积。
7. 已知 $a$，$b$，$c$ 是$△ ABC$的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{12} = \frac{c}{13}$。
（1）求 $\frac{3b - 2a}{c}$ 的值；（2）若$△ ABC$的周长为90，求$△ ABC$的面积。
答案
解：
(1) 设 $\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k\ (k＞0)$，
则 $a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
代入得：
$\frac{3b-2a}{c}=\frac{3×12k - 2×5k}{13k}=\frac{36k-10k}{13k}=\frac{26k}{13k}=2$
(2) 由$△ ABC$周长为90，得：
$a+b+c=90$，即 $5k+12k+13k=90$，
合并得 $30k=90$，解得 $k=3$。
$\therefore a=5×3=15$，$b=12×3=36$，$c=13×3=39$。
$\because a^2 + b^2 = 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521$，$c^2=39^2=1521$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，$△ ABC$是直角三角形，且直角边为$a$、$b$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15×36=270$。
答：(1) $\frac{3b-2a}{c}$的值为2；(2) $△ ABC$的面积为270。
(1) 设 $\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k\ (k＞0)$，
则 $a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
代入得：
$\frac{3b-2a}{c}=\frac{3×12k - 2×5k}{13k}=\frac{36k-10k}{13k}=\frac{26k}{13k}=2$
(2) 由$△ ABC$周长为90，得：
$a+b+c=90$，即 $5k+12k+13k=90$，
合并得 $30k=90$，解得 $k=3$。
$\therefore a=5×3=15$，$b=12×3=36$，$c=13×3=39$。
$\because a^2 + b^2 = 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521$，$c^2=39^2=1521$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，$△ ABC$是直角三角形，且直角边为$a$、$b$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15×36=270$。
答：(1) $\frac{3b-2a}{c}$的值为2；(2) $△ ABC$的面积为270。
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，常用设参数法求解：①设$\frac{a}{5} = \frac{b}{12} = \frac{c}{13}=k(k＞0)$，即可将a、b、c都用含k的代数式表示，代入第(1)问的代数式，k会约去，即可求出结果；②第(2)问根据周长为90，可列关于k的方程求出k的值，得到三边的实际长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 设 $\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k\ (k＞0)$，
则 $a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
代入待求式得：
$\frac{3b-2a}{c}=\frac{3×12k - 2×5k}{13k}=\frac{36k-10k}{13k}=\frac{26k}{13k}=2$
(2) 由$△ ABC$周长为90，得：
$a+b+c=90$，即 $5k+12k+13k=90$，
合并同类项得 $30k=90$，解得 $k=3$。
$\therefore a=5×3=15$，$b=12×3=36$，$c=13×3=39$。
$\because a^2 + b^2 = 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521$，$c^2=39^2=1521$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，即$△ ABC$是直角三角形，且直角边为$a$、$b$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15×36=270$
【答案】
(1) $\frac{3b - 2a}{c}$的值为2；(2) $△ ABC$的面积为270
【知识点】
比例的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是掌握设参数法处理比例式的通用技巧，同时需熟练运用勾股逆定理判断三角形形状，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式时，常用设参数法求解：①设$\frac{a}{5} = \frac{b}{12} = \frac{c}{13}=k(k＞0)$，即可将a、b、c都用含k的代数式表示，代入第(1)问的代数式，k会约去，即可求出结果；②第(2)问根据周长为90，可列关于k的方程求出k的值，得到三边的实际长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后用直角三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 设 $\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k\ (k＞0)$，
则 $a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
代入待求式得：
$\frac{3b-2a}{c}=\frac{3×12k - 2×5k}{13k}=\frac{36k-10k}{13k}=\frac{26k}{13k}=2$
(2) 由$△ ABC$周长为90，得：
$a+b+c=90$，即 $5k+12k+13k=90$，
合并同类项得 $30k=90$，解得 $k=3$。
$\therefore a=5×3=15$，$b=12×3=36$，$c=13×3=39$。
$\because a^2 + b^2 = 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521$，$c^2=39^2=1521$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，即$△ ABC$是直角三角形，且直角边为$a$、$b$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15×36=270$
【答案】
(1) $\frac{3b - 2a}{c}$的值为2；(2) $△ ABC$的面积为270
【知识点】
比例的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是掌握设参数法处理比例式的通用技巧，同时需熟练运用勾股逆定理判断三角形形状，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
8. 如图，点B，C在线段AD上，且$AB:BC=AD:CD$，求证：$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AC}$.
答案
证明：
由$AB:BC = AD:CD$，可得 $AB· CD = AD· BC$。
∵ 点B，C在线段AD上，
∴ $BC = AC - AB$，$CD = AD - AC$，
将其代入等积式得：
$AB·(AD - AC) = AD·(AC - AB)$
展开整理：
$AB· AD - AB· AC = AD· AC - AD· AB$
移项合并同类项得：
$2AB· AD = AC· AB + AC· AD$
等式两边同时除以$AB· AD· AC$，得：
$\frac{2}{AC} = \frac{1}{AD} + \frac{1}{AB}$
即 $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AC}$，得证。
由$AB:BC = AD:CD$，可得 $AB· CD = AD· BC$。
∵ 点B，C在线段AD上，
∴ $BC = AC - AB$，$CD = AD - AC$，
将其代入等积式得：
$AB·(AD - AC) = AD·(AC - AB)$
展开整理：
$AB· AD - AB· AC = AD· AC - AD· AB$
移项合并同类项得：
$2AB· AD = AC· AB + AC· AD$
等式两边同时除以$AB· AD· AC$，得：
$\frac{2}{AC} = \frac{1}{AD} + \frac{1}{AB}$
即 $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AC}$，得证。
解析
【分析】
要证明含线段倒数的等式成立，可从已知条件逐步推导：首先利用比例的基本性质将已知比例式转化为等积式；其次结合点的共线特征，用线段和差关系将BC、CD转化为待证式中出现的AB、AC、AD表示，代入等积式；最后对得到的整式等式展开整理，根据待证式的倒数结构，将等式两边同时除以AB·AD·AC，即可得到目标等式。
【解析】
证明：
由$AB:BC = AD:CD$，根据比例的基本性质可得 $AB· CD = AD· BC$。
∵ 点B，C在线段AD上，
∴ $BC = AC - AB$，$CD = AD - AC$，
将上述两式代入等积式得：
$AB·(AD - AC) = AD·(AC - AB)$
展开得：
$AB· AD - AB· AC = AD· AC - AD· AB$
移项合并同类项得：
$2AB· AD = AC· AB + AC· AD$
等式两边同时除以不为0的$AB· AD· AC$，得：
$\frac{2}{AC} = \frac{1}{AD} + \frac{1}{AB}$
即 $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AC}$，原式得证。
【答案】
$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AC}$，得证。
【知识点】
比例的基本性质、线段和差计算、等式变形
【点评】
本题是比例线段的典型证明题，核心是掌握比例式与等积式的互化方法，结合共线线段的和差关系消去待证式外的线段，再根据目标式子的结构特征定向变形即可求解，是对比例线段基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.6
要证明含线段倒数的等式成立，可从已知条件逐步推导：首先利用比例的基本性质将已知比例式转化为等积式；其次结合点的共线特征，用线段和差关系将BC、CD转化为待证式中出现的AB、AC、AD表示，代入等积式；最后对得到的整式等式展开整理，根据待证式的倒数结构，将等式两边同时除以AB·AD·AC，即可得到目标等式。
【解析】
证明：
由$AB:BC = AD:CD$，根据比例的基本性质可得 $AB· CD = AD· BC$。
∵ 点B，C在线段AD上，
∴ $BC = AC - AB$，$CD = AD - AC$，
将上述两式代入等积式得：
$AB·(AD - AC) = AD·(AC - AB)$
展开得：
$AB· AD - AB· AC = AD· AC - AD· AB$
移项合并同类项得：
$2AB· AD = AC· AB + AC· AD$
等式两边同时除以不为0的$AB· AD· AC$，得：
$\frac{2}{AC} = \frac{1}{AD} + \frac{1}{AB}$
即 $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AC}$，原式得证。
【答案】
$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AC}$，得证。
【知识点】
比例的基本性质、线段和差计算、等式变形
【点评】
本题是比例线段的典型证明题，核心是掌握比例式与等积式的互化方法，结合共线线段的和差关系消去待证式外的线段，再根据目标式子的结构特征定向变形即可求解，是对比例线段基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.6
