登录
1. 生活中到处可见黄金分割的美.在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若b为2 m,则a约为().
A.1.24 m
B.1.38 m
C.1.42 m
D.1.62 m
A.1.24 m
B.1.38 m
C.1.42 m
D.1.62 m
答案
A
解析
【分析】
本题考查黄金分割在实际生活中的应用，解题思路是先从题干中提取对应的比例关系：腰部以下高度a与全身高度b的比值约为0.618，即$\frac{a}{b} \approx 0.618$，已知b的数值，只需将b代入比例式变形计算即可得到a的近似值。
【解析】
根据题意可知，$\frac{a}{b} \approx 0.618$，对比例式变形可得$a \approx 0.618 × b$。
已知$b = 2\ \mathrm{m}$，代入计算得：
$a \approx 0.618 × 2 = 1.236\ \mathrm{m} \approx 1.24\ \mathrm{m}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割、比例计算
【点评】
本题结合生活场景考查基础的比例应用，只要准确提取题干中的比例关系，代入数值计算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
本题考查黄金分割在实际生活中的应用，解题思路是先从题干中提取对应的比例关系：腰部以下高度a与全身高度b的比值约为0.618，即$\frac{a}{b} \approx 0.618$，已知b的数值，只需将b代入比例式变形计算即可得到a的近似值。
【解析】
根据题意可知，$\frac{a}{b} \approx 0.618$，对比例式变形可得$a \approx 0.618 × b$。
已知$b = 2\ \mathrm{m}$，代入计算得：
$a \approx 0.618 × 2 = 1.236\ \mathrm{m} \approx 1.24\ \mathrm{m}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割、比例计算
【点评】
本题结合生活场景考查基础的比例应用，只要准确提取题干中的比例关系，代入数值计算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
2. 已知线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，C是线段AB的黄金分割点$(AC＞BC)$，则AC的长为().
A.$(5\sqrt{5} -10)\ \mathrm{cm}$
B.$(15 -5\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
C.$(5\sqrt{5} -5)\ \mathrm{cm}$
D.$(10 -2\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
A.$(5\sqrt{5} -10)\ \mathrm{cm}$
B.$(15 -5\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
C.$(5\sqrt{5} -5)\ \mathrm{cm}$
D.$(10 -2\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点C把线段AB分为两条线段AC和BC（AC＞BC），且满足AC与AB的比等于BC与AC的比，就称点C是AB的黄金分割点，此时较长线段AC与原线段AB的比值为固定值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知AB长度和AC＞BC的条件，直接用AB长度乘以黄金比就能算出AC的长度。
【解析】
解：
∵C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，
∴AC为较长线段，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AC=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5(\sqrt{5}-1)=(5\sqrt{5}-5)\ \mathrm{cm}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.黄金分割的概念
2.比例线段计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记黄金分割中较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，做题时注意结合题干中给出的线段长短关系，避免混淆长短段代入错误的比值。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点C把线段AB分为两条线段AC和BC（AC＞BC），且满足AC与AB的比等于BC与AC的比，就称点C是AB的黄金分割点，此时较长线段AC与原线段AB的比值为固定值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知AB长度和AC＞BC的条件，直接用AB长度乘以黄金比就能算出AC的长度。
【解析】
解：
∵C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，
∴AC为较长线段，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AC=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5(\sqrt{5}-1)=(5\sqrt{5}-5)\ \mathrm{cm}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.黄金分割的概念
2.比例线段计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记黄金分割中较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，做题时注意结合题干中给出的线段长短关系，避免混淆长短段代入错误的比值。
【难度系数】
0.8
3. C是线段AB的黄金分割点$(AC＞BC)$.下列结论错误的是().
A.$AC^2 = BC · AB$
B.$BC^2 = AC · AB$
C.$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
D.$\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
A.$AC^2 = BC · AB$
B.$BC^2 = AC · AB$
C.$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
D.$\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：点C把线段AB分成AC和BC两段（AC＞BC），若较长线段AC与线段AB的比等于较短线段BC与较长线段AC的比，则点C是AB的黄金分割点，比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先根据定义写出比例关系，再结合比例的基本性质变形，逐一验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
已知C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，根据黄金分割的定义可得：
$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
逐一分析选项：
A. 由$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=BC·AB$，结论正确，不符合题意；
B. 由上述推导可知是$AC^2=BC·AB$，不是$BC^2=AC·AB$，结论错误，符合题意；
C. 根据黄金分割的定义直接可得$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结论正确，不符合题意；
D. 由$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，得$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，分母有理化：
$\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，结论正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的定义、比例的基本性质、二次根式化简
【点评】
本题考查黄金分割的相关知识，解题核心是明确黄金分割中长短线段的比例关系，做题时要注意区分较长线段和较短线段的对应关系，避免因混淆线段位置判断错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：点C把线段AB分成AC和BC两段（AC＞BC），若较长线段AC与线段AB的比等于较短线段BC与较长线段AC的比，则点C是AB的黄金分割点，比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先根据定义写出比例关系，再结合比例的基本性质变形，逐一验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
已知C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，根据黄金分割的定义可得：
$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
逐一分析选项：
A. 由$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=BC·AB$，结论正确，不符合题意；
B. 由上述推导可知是$AC^2=BC·AB$，不是$BC^2=AC·AB$，结论错误，符合题意；
C. 根据黄金分割的定义直接可得$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，结论正确，不符合题意；
D. 由$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，得$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，分母有理化：
$\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，结论正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的定义、比例的基本性质、二次根式化简
【点评】
本题考查黄金分割的相关知识，解题核心是明确黄金分割中长短线段的比例关系，做题时要注意区分较长线段和较短线段的对应关系，避免因混淆线段位置判断错误。
【难度系数】
0.7
4. 某舞台长10 m，为了使音响效果达到最佳，主持人站在舞台的黄金分割点处，则该主持人此时到舞台较近的一端的距离为。
答案
$\boldsymbol{(15-5\sqrt{5})\ \mathrm{m}}$
解析
【分析】
解题前先明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比，其比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题要求主持人到舞台较近一端的距离，也就是求10m长的线段被黄金分割后的较短线段长度，我们可以先求出较长线段的长度，再用总长度减去较长线段长度即可得到结果。
【解析】
解：由黄金分割的性质可知，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
舞台总长为10m，因此较长段的长度为：
$10 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 5(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{m}$
主持人到较近一端的距离为总长度减去较长段长度：
$10 - 5(\sqrt{5}-1) = 10 - 5\sqrt{5} + 5 = (15 - 5\sqrt{5})\ \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{(15-5\sqrt{5})\ \mathrm{m}}$
【知识点】
黄金分割；二次根式运算
【点评】
本题核心是对黄金分割概念的应用，解题关键是熟记黄金分割的比值，区分较长线段和较短线段的计算逻辑，运算时注意二次根式的去括号、化简规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题前先明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比，其比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题要求主持人到舞台较近一端的距离，也就是求10m长的线段被黄金分割后的较短线段长度，我们可以先求出较长线段的长度，再用总长度减去较长线段长度即可得到结果。
【解析】
解：由黄金分割的性质可知，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
舞台总长为10m，因此较长段的长度为：
$10 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 5(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{m}$
主持人到较近一端的距离为总长度减去较长段长度：
$10 - 5(\sqrt{5}-1) = 10 - 5\sqrt{5} + 5 = (15 - 5\sqrt{5})\ \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{(15-5\sqrt{5})\ \mathrm{m}}$
【知识点】
黄金分割；二次根式运算
【点评】
本题核心是对黄金分割概念的应用，解题关键是熟记黄金分割的比值，区分较长线段和较短线段的计算逻辑，运算时注意二次根式的去括号、化简规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
5. 融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图比较美观（如图），通过测量、计算发现E是线段AD的黄金分割点，即$DE \approx 0.618AD$.延长HF与AD相交于点G，则$EG \approx$$DE$.(结果精确到0.001)
答案
$\boldsymbol{0.618}$
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的性质：若点将线段分为较长段和较短段，满足较长段与全长的比值等于较短段与较长段的比值，该比值为黄金比≈0.618。本题中已知E是AD的黄金分割点，DE≈0.618AD，说明DE是较长段，可推出较短段AE与DE的比值为黄金比。再结合拼接木地板的图形特征，拼接的矩形为全等矩形，可得EG与AE长度相等，由此即可推出EG和DE的比值。
【解析】
∵ E是线段AD的黄金分割点，且$DE \approx 0.618AD$，
∴ DE是AD被分割后的较长线段，较短线段$AE=AD-DE$，根据黄金分割的性质，得$\frac{AE}{DE}=\frac{DE}{AD}\approx0.618$。
由木地板拼接的矩形全等可知，水平线段EG的长度与竖直线段AE的长度相等，即$EG=AE$。
∴ $\frac{EG}{DE}=\frac{AE}{DE}\approx0.618$，即$EG\approx0.618DE$。
【答案】
$\boldsymbol{0.618}$
【知识点】
黄金分割；矩形的性质
【点评】
本题结合生活家装场景命题，将几何知识与实际生活结合，解题的关键是结合图形特征得到EG与AE的等量关系，再利用黄金分割的比例关系推导结果，既考查基础知识点的掌握，也考查图形观察和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
首先回忆黄金分割的性质：若点将线段分为较长段和较短段，满足较长段与全长的比值等于较短段与较长段的比值，该比值为黄金比≈0.618。本题中已知E是AD的黄金分割点，DE≈0.618AD，说明DE是较长段，可推出较短段AE与DE的比值为黄金比。再结合拼接木地板的图形特征，拼接的矩形为全等矩形，可得EG与AE长度相等，由此即可推出EG和DE的比值。
【解析】
∵ E是线段AD的黄金分割点，且$DE \approx 0.618AD$，
∴ DE是AD被分割后的较长线段，较短线段$AE=AD-DE$，根据黄金分割的性质，得$\frac{AE}{DE}=\frac{DE}{AD}\approx0.618$。
由木地板拼接的矩形全等可知，水平线段EG的长度与竖直线段AE的长度相等，即$EG=AE$。
∴ $\frac{EG}{DE}=\frac{AE}{DE}\approx0.618$，即$EG\approx0.618DE$。
【答案】
$\boldsymbol{0.618}$
【知识点】
黄金分割；矩形的性质
【点评】
本题结合生活家装场景命题，将几何知识与实际生活结合，解题的关键是结合图形特征得到EG与AE的等量关系，再利用黄金分割的比例关系推导结果，既考查基础知识点的掌握，也考查图形观察和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图，C 是线段 AB 的黄金分割点，$BC＞AC$. $S_1$ 表示以 BC 为边的正方形 CBDE 的面积，$S_2$ 表示长为 AM、宽为 AC 的矩形 ACFM 的面积.若 $AB=AM$，则 $S_1$ 与 $S_2$ 的大小关系为.
答案
$\boldsymbol{S_1=S_2}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据“C是线段AB的黄金分割点且BC＞AC”的已知条件，回忆黄金分割的性质，得到BC、AC、AB三条线段的数量关系；第二步，分别根据正方形和矩形的面积公式，将S₁、S₂用对应线段的乘积表示；第三步，结合已知AB=AM的条件，对比S₁和S₂的表达式，即可判断二者的大小关系。
【解析】
解：
∵ C是线段AB的黄金分割点，且$BC＞AC$，
∴ 由黄金分割的定义可得：$\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BC}$，即$BC^2=AC· AB$。
∵ $S_1$是边长为BC的正方形的面积，
∴ $S_1=BC^2$。
∵ $S_2$是长为AM、宽为AC的矩形的面积，且$AM=AB$，
∴ $S_2=AM· AC=AB· AC$。
∴ $S_1=S_2$。
【答案】
$\boldsymbol{S_1=S_2}$
【知识点】
黄金分割的性质；正方形面积计算；矩形面积计算
【点评】
本题重点考查黄金分割性质的直接应用，解题的核心是牢记黄金分割中“较长线段的平方等于原线段与较短线段的乘积”这一结论，结合基础的面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据“C是线段AB的黄金分割点且BC＞AC”的已知条件，回忆黄金分割的性质，得到BC、AC、AB三条线段的数量关系；第二步，分别根据正方形和矩形的面积公式，将S₁、S₂用对应线段的乘积表示；第三步，结合已知AB=AM的条件，对比S₁和S₂的表达式，即可判断二者的大小关系。
【解析】
解：
∵ C是线段AB的黄金分割点，且$BC＞AC$，
∴ 由黄金分割的定义可得：$\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BC}$，即$BC^2=AC· AB$。
∵ $S_1$是边长为BC的正方形的面积，
∴ $S_1=BC^2$。
∵ $S_2$是长为AM、宽为AC的矩形的面积，且$AM=AB$，
∴ $S_2=AM· AC=AB· AC$。
∴ $S_1=S_2$。
【答案】
$\boldsymbol{S_1=S_2}$
【知识点】
黄金分割的性质；正方形面积计算；矩形面积计算
【点评】
本题重点考查黄金分割性质的直接应用，解题的核心是牢记黄金分割中“较长线段的平方等于原线段与较短线段的乘积”这一结论，结合基础的面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
