三、解答题
7. 如图，在矩形$ABCD(AB＜BC)$中，如果$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，那么称这个矩形为“黄金矩形”.在黄金矩形$ABCD$内作正方形$CDEF$，得到一个小矩形$ABFE$，请问矩形$ABFE$是否也为黄金矩形？说明理由.

解：矩形ABFE是黄金矩形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB=CD$，$AD=BC$。
∵ 四边形CDEF是正方形，
∴ $CD=DE=EF=CF$，
∴ $AB=DE$。
已知$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，设$AB=(\sqrt{5}-1)k$，$BC=2k$（$k＞0$），
则$AE=AD-DE=BC-AB=2k - (\sqrt{5}-1)k=(3-\sqrt{5})k$。
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{(3-\sqrt{5})k}{(\sqrt{5}-1)k}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$
$=\frac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$
$=\frac{3\sqrt{5}+3-5-\sqrt{5}}{4}$
$=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又∵ 在矩形ABFE中，$AE＜AB$，符合黄金矩形的定义，
∴ 矩形ABFE是黄金矩形。

【分析】要判断矩形ABFE是否为黄金矩形，需验证其宽与长的比值是否等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先利用矩形和正方形的性质，得到各边的等量关系，再结合大矩形是黄金矩形的条件，通过设参数表示出小矩形的长和宽，计算二者的比值，和黄金比对比即可得出结论。
【解析】矩形ABFE是黄金矩形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB=CD$，$AD=BC$。
∵ 四边形CDEF是正方形，
∴ $CD=DE=EF=CF$，
∴ $AB=DE$。
已知$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，设$AB=(\sqrt{5}-1)k$，$BC=2k$（$k＞0$），
则$AE=AD-DE=BC-AB=2k - (\sqrt{5}-1)k=(3-\sqrt{5})k$。
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{(3-\sqrt{5})k}{(\sqrt{5}-1)k}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$
$=\frac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$
$=\frac{3\sqrt{5}+3-5-\sqrt{5}}{4}$
$=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又
∵ 在矩形ABFE中，$AE＜AB$，符合黄金矩形的定义，
∴ 矩形ABFE是黄金矩形。
【答案】矩形ABFE是黄金矩形。
【知识点】黄金矩形的定义；矩形的性质；正方形的性质
【点评】本题属于比例线段的基础应用题，解题的核心是紧扣黄金矩形的定义，结合特殊四边形的边的性质，通过设参数法和二次根式的分母有理化计算线段比值即可完成判定，计算时要注意分母有理化的运算正确性。
【难度系数】0.7

8. 如图,在五角星中,$AD=BC$,C,D都是AB的黄金分割点,$AB=1$,求CD的长.

解：
∵ C，D都是AB的黄金分割点，AB=1，
∴ $AD = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$BC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
由线段和的关系可知：$AD + BC = AB + CD$，
∴ $CD = AD + BC - AB$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1$
$= \sqrt{5} - 2$。
答：CD的长为$\sqrt{5}-2$。

【分析】
解题首先要明确黄金分割点的定义：若点是线段的黄金分割点，则较长线段的长度是原线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知C、D都是AB的黄金分割点，且AB=1，因此可以先求出AD、BC的长度；再观察线段的组成关系，AD和BC相加时，中间的CD部分被重复计算了一次，即$AD+BC=AB+CD$，变形后即可代入数值求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ C，D都是AB的黄金分割点，AB=1，
∴ $AD = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$BC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
根据线段和差关系可知：$AD + BC = AB + CD$，
对式子变形后代入数值计算：
$CD = AD + BC - AB$
$= \frac{\sqrt{5}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1$
$= \sqrt{5} - 2$
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
黄金分割、线段和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是掌握黄金分割的比值，解题时要理清各线段之间的数量关系，避免因线段关系混淆出错。
【难度系数】
0.7

9. 直线$l$将一个面积为$S$的图形分成两部分，这两部分的面积分别为$S_1$，$S_2$，如果$\frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S_1}$，那么直线$l$为该图形的黄金分割线.如图，在$△ ABC$中，$BD＞CD$.
(1) 已知$D$是$BC$的黄金分割点，求证：$AD$为$△ ABC$的黄金分割线；
(2) 已知$AD$是$△ ABC$的黄金分割线，且$△ ABC$的面积为20，求$△ ACD$的面积.(结果保留根号)

(1) 证明：
设$△ ABC$中$BC$边上的高为$h$，
则 $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· h$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· h$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· h$，
因此 $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{BD}{BC}$，$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}=\frac{CD}{BD}$。
$\because D$是$BC$的黄金分割点，且$BD＞CD$，
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{CD}{BD}$，
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}$，
$\therefore AD$为$△ ABC$的黄金分割线。
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(2) 解：
设$S_{△ ACD}=S_2$，由题意知$S_{△ ABC}=S=20$，$S_{△ ABD}=S_1=20-S_2$，
$\because AD$是$△ ABC$的黄金分割线，
$\therefore \frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S_1}$，即 $S_1^2 = S· S_2$，
代入得：$(20-S_2)^2 = 20S_2$，
整理得：$S_2^2 -60S_2 +400=0$，
解得：$S_2=30\pm10\sqrt{5}$。
$\because BD＞CD$，$\therefore S_{△ ABD}＞S_{△ ACD}$，即$S_2＜10$，
$\therefore S_2=30+10\sqrt{5}$不符合题意，舍去，
$\therefore S_{△ ACD}=30-10\sqrt{5}$。
答：$△ ACD$的面积为$30-10\sqrt{5}$。

【分析】
(1) 要证明AD是△ABC的黄金分割线，需验证$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}$成立。由于△ABD、△ACD、△ABC共享BC边上的高，根据三角形面积公式可知，同高的三角形面积比等于对应底边长的比，再结合D是BC黄金分割点的性质，即可推导出面积比满足黄金分割线的定义。
(2) 已知AD是黄金分割线，先根据黄金分割线的定义列出面积之间的等量关系，设△ACD的面积为未知数，代入总面积列出一元二次方程求解，最后根据BD＞CD的条件判断△ACD面积更小，对求解得到的根进行取舍即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
设$△ ABC$中$BC$边上的高为$h$，
则 $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· h$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· h$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· h$，
因此 $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{BD}{BC}$，$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}=\frac{CD}{BD}$。
$\because D$是$BC$的黄金分割点，且$BD＞CD$，
$\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{CD}{BD}$，
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}$，
$\therefore AD$为$△ ABC$的黄金分割线。
(2) 解：
设$S_{△ ACD}=S_2$，由题意知$S_{△ ABC}=S=20$，$S_{△ ABD}=S_1=20-S_2$，
$\because AD$是$△ ABC$的黄金分割线，
$\therefore \frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S_1}$，即 $S_1^2 = S· S_2$，
代入得：$(20-S_2)^2 = 20S_2$，
整理得：$S_2^2 -60S_2 +400=0$，
解得：$S_2=30\pm10\sqrt{5}$。
$\because BD＞CD$，$\therefore S_{△ ABD}＞S_{△ ACD}$，即$S_2＜10$，
$\therefore S_2=30+10\sqrt{5}$不符合题意，舍去，
$\therefore S_{△ ACD}=30-10\sqrt{5}$。
【答案】
(1) AD为△ABC的黄金分割线，证明成立；
(2) $30-10\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义、同高三角形面积比、一元二次方程求解
【点评】
本题是新定义类题型，将黄金分割的性质与三角形面积计算相结合，解题关键是准确理解新定义，完成线段比和面积比的转化，同时要结合题目给定的条件对方程的根进行合理取舍，侧重考察学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.6