1.下列抛物线对称轴是直线$x=1$的是().

A.$y=-(1-x)^2+2$
B.$y=(x+1)^2$
C.$y=x^2+1$
D.$y=(2x-1)^2+1$

1.A

【分析】
本题考查二次函数对称轴的判断，解题核心是掌握二次函数顶点式的对称轴规律。首先回忆：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其对称轴是直线$x=h$。解题时需将每个选项的解析式转化为标准顶点式（即括号内x的系数为1），找到对应h的值，判断h是否等于1即可得到答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，对称轴为直线$x=h$，我们逐个分析选项：
选项A：$y=-(1-x)^2+2$，根据平方的性质$(1-x)^2=(x-1)^2$，可变形为$y=-(x-1)^2+2$，对应$h=1$，对称轴为直线$x=1$，符合要求；
选项B：$y=(x+1)^2=(x-(-1))^2$，对应$h=-1$，对称轴为直线$x=-1$，不符合；
选项C：$y=x^2+1=(x-0)^2+1$，对应$h=0$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），不符合；
选项D：$y=(2x-1)^2+1$，先提取x的系数2，得$y=[2(x-\frac{1}{2})]^2+1=4(x-\frac{1}{2})^2+1$，对应$h=\frac{1}{2}$，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，不符合。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称轴求法
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的结构特征，注意当括号内x的系数不为1时，需要先提取系数化为标准顶点式再判断对称轴，避免直接读取常数出错。
【难度系数】
0.8

2.对于抛物线$y=(x+2)^2 -1$，下列说法错误的是（）.

A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-2$
C.当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小
D.当$x=-2$时，函数有最小值$y=-1$

2.C

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；开口向上时对称轴左侧$y$随$x$增大而减小、右侧$y$随$x$增大而增大，顶点为函数最小值点，开口向下则相反。我们先从题干给出的抛物线解析式中确定$a、h、k$的取值，再逐一判断每个选项即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=(x+2)^2 -1$，将其与顶点式$y=a(x-h)^2+k$对比可得：$a=1$，$h=-2$，$k=-1$。
选项A：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=-2$，B说法正确，不符合题意；
选项C：由于抛物线开口向上，在对称轴右侧（即$x＞-2$时），$y$随$x$的增大而增大，而非减小，C说法错误，符合题意；
选项D：抛物线开口向上，顶点为函数最低点，顶点坐标为$(-2,-1)$，因此当$x=-2$时，函数有最小值$y=-1$，D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数的增减性、二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，核心是对二次函数顶点式基本性质的应用，只要熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义，以及开口方向和函数增减性、最值的关系，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.8

3.已知二次函数$y=-3(x+2)^2 -3$，下列说法正确的是().

A.对称轴经过点$(2,0)$，且平行于$y$轴
B.顶点坐标为$(2,3)$
C.函数的最大值是$-3$
D.函数的最小值是$-3$

3.C

【分析】
解决本题首先要回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的相关性质：$a$的正负决定抛物线开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；当$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值$k$；当$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值$k$。解题时先将题干给出的函数和顶点式对照，确定$a$、$h$、$k$的取值，再逐一核对四个选项的描述是否正确即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-3(x+2)^2 -3$，将其与顶点式$y=a(x-h)^2+k$对照可得：$a=-3$，$h=-2$，$k=-3$。
对选项A：抛物线对称轴为直线$x=h=-2$，该直线平行于$y$轴，经过点$(-2,0)$，不经过$(2,0)$，故A错误；
对选项B：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(-2,-3)$，不是$(2,3)$，故B错误；
对选项C：因为$a=-3＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为$k=-3$，故C正确；
对选项D：抛物线开口向下，函数仅存在最大值，不存在最小值，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是准确掌握顶点式中各参数对应的几何意义，避免混淆$h$的符号和开口方向与最值的对应关系。
【难度系数】
0.8

4.二次函数$y=3(2x-3)^2 -5$的图象的顶点坐标是.

4.$(\dfrac{3}{2},-5)$

【分析】
要求二次函数图象的顶点坐标，可利用二次函数顶点式的性质求解：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），顶点坐标为$(h,k)$，且顶点处函数取得最值，此时平方项的值为0。我们可以先令给定函数中平方项的底数为0，求出顶点的横坐标，再代入解析式求出纵坐标，也可以将原式转化为标准顶点式，直接读取顶点坐标。
【解析】
方法1：利用最值性质求解
顶点是二次函数取得最值的点，此时平方项的值为0。
令$2x-3=0$，解得$x=\dfrac{3}{2}$，
将$x=\dfrac{3}{2}$代入$y=3(2x-3)^2 -5$，得$y=3×0 -5=-5$，
因此该二次函数图象的顶点坐标为$(\dfrac{3}{2},-5)$。
方法2：转化为标准顶点式求解
将原式变形为标准顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式：
$y=3(2x-3)^2 -5=3×[2(x-\dfrac{3}{2})]^2 -5=12(x-\dfrac{3}{2})^2 -5$，
对比标准顶点式可知$h=\dfrac{3}{2}$，$k=-5$，因此顶点坐标为$(\dfrac{3}{2},-5)$。
【答案】
$(\dfrac{3}{2},-5)$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数顶点坐标的求法，熟练掌握顶点式的结构特征即可快速解题，也可通过展开解析式用顶点坐标公式求解，本题利用平方项非负的性质计算更加简便。
【难度系数】
0.8

5.已知二次函数$y=x^2 -4x +3$。
(1)求此函数的图象的对称轴和顶点坐标。
(2)画出此函数的图象(描5个点)。
(3)当$-1≤ x≤ 3$时，由图象直接写出$y$的取值范围。

5.(1)将二次函数的解析式配方,得 $y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$,
$\therefore$ 此函数图象的对称轴为直线 $x=2$,顶点坐标为$(2,-1)$.
(2)列表,再画出函数图象.
| $x$ | $···$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $···$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $···$ |

(3)由函数图象可知 $y$ 的取值范围为$-1≤ y≤ 8$.

【分析】
（1）求二次函数的对称轴和顶点坐标，可通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，顶点式可直接反映函数的对称轴和顶点坐标，本题用配方法求解更简便。
（2）画二次函数图象选点时，优先选择顶点、与坐标轴的交点以及关于对称轴对称的点，计算5个点对应的函数值后，再描点、用平滑曲线连线即可。
（3）求给定x范围内y的取值范围，需先找到该区间内函数的最小值（顶点处为二次函数的最低点），再计算区间两个端点对应的y值，比较得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1) 对二次函数解析式配方：
$y=x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-4+3=(x-2)^2-1$
根据顶点式的性质，可得函数图象的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$。
(2) 选取顶点、与x轴交点、与y轴交点及对称点，计算对应y值如下表：
| $x$ | $···$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $···$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $···$ |
在坐标系中描出上述5个点，用平滑曲线依次连接各点，得到函数图象：

(3) 当$x=-1$时，代入解析式得$y=(-1)^2-4×(-1)+3=1+4+3=8$；
由函数图象可知，在$-1≤ x≤ 3$范围内，函数在顶点$x=2$处取得最小值$-1$，在$x=-1$处取得最大值$8$，因此y的取值范围是$-1≤ y≤ 8$。
【答案】
(1) 对称轴为直线 $x=2$,顶点坐标为$(2,-1)$。
(2)
| $x$ | $···$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $···$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $···$ |

(3) $-1≤ y≤ 8$
【知识点】
二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是掌握配方法化一般式为顶点式的方法，理解二次函数图象的对称性，能结合图象分析函数在指定区间的取值范围，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8

6.已知点$A(a,2),B(b,2),C(c,7)$都在抛物线$y=(x-1)^2-2$上，点A在点B左侧，下列说法正确的是().

A.若$c＜0$,则$a＜c＜b$
B.若$c＜0$,则$a＜b＜c$
C.若$c＞0$,则$a＜c＜b$
D.若$c＞0$,则$a＜b＜c$

6.D

【分析】
首先明确二次函数的基本性质：抛物线$y=(x-1)^2-2$开口向上，对称轴为直线$x=1$，纵坐标相同的点关于对称轴对称。解题思路：①先求出纵坐标为2时对应的x值，结合A在B左侧确定a、b的固定值；②再求出纵坐标为7时对应的x值，得到c的两种可能取值；③分别结合$c＜0$和$c＞0$的条件，判断a、b、c的大小关系，匹配选项即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=(x-1)^2-2$，可知其开口向上，对称轴为直线$x=1$。
1. 求点A、B的横坐标：
令$y=2$，代入解析式得：
$\begin{aligned}(x-1)^2-2&=2\\(x-1)^2&=4\end{aligned}$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$a=-1$，$b=3$。
2. 求点C的横坐标：
令$y=7$，代入解析式得：
$\begin{aligned}(x-1)^2-2&=7\\(x-1)^2&=9\end{aligned}$
解得$x_1=-2$，$x_2=4$，即c的取值为-2或4。
3. 分情况讨论：
①若$c＜0$，则$c=-2$，大小关系为$c＜a＜b$，故A、B选项错误；
②若$c＞0$，则$c=4$，大小关系为$a＜b＜c$，故C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数对称性和增减性的应用，解题关键是先求出固定纵坐标对应的横坐标，再结合条件分类讨论判断大小，是二次函数性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7