1.有下列四个命题:①相等的圆心角所对的弧相等.②圆中最长的弦是直径.③平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.④等弧对等弦.其中正确的是().

A.①②④
B.②③④
C.②④
D.②③

C

【分析】
要判断四个命题的对错，需结合圆的相关性质和定理的成立条件逐一分析：先回忆圆心角、弧、弦的关系定理的前提，垂径定理推论的限定条件，以及弦、等弧的基本定义，逐个判断每个命题的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们对四个命题逐一分析：
1. 命题①：相等的圆心角所对的弧相等。该命题错误，圆心角、弧、弦的对应关系成立的前提是“在同圆或等圆中”，缺少这个前提，相等的圆心角所对的弧不一定相等。
2. 命题②：圆中最长的弦是直径。该命题正确，弦是连接圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，长度等于2倍半径，是圆内最长的弦。
3. 命题③：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。该命题错误，垂径定理的推论中，平分的弦必须是“不是直径的弦”，如果被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，因此该命题缺少前提，不成立。
4. 命题④：等弧对等弦。该命题正确，等弧的定义是能够完全重合的弧，说明等弧必然存在于同圆或等圆中，因此等弧所对的弦一定相等。
综上，正确的命题是②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念；圆心角、弧、弦的关系；垂径定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础辨析题，易错点在于忽略各定理成立的前提条件，比如①缺少“同圆或等圆”的限定，③缺少“弦不是直径”的限定，解题时要注意定理的完整表述，避免遗漏前提导致判断错误。
【难度系数】
0.7

2.如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.有下列结论:①$AB=CD$.②$AC=BD$.③$∠ AOC=∠ BOD$.④$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.其中正确的有().

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D

【分析】
解题需运用同圆中弧、弦、圆心角的对应关系：相等的弧所对的弦相等、所对的圆心角相等；若两组相等的弧同时加/减同一个公共弧，得到的新弧仍相等。首先根据已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$判断直接对应的结论，再通过弧的加减推导剩余结论，逐一验证即可。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=CD$，故①正确；
2. 给等式$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，可得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，故④正确；
3. 根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$可得$∠AOC=∠BOD$，故③正确；
4. 根据同圆中相等的弧所对的弦相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$可得$AC=BD$，故②正确。
综上，①②③④共4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
弧弦圆心角的关系、弧的和差运算
【点评】
本题属于圆的性质基础题，核心是掌握同圆中弧、弦、圆心角三者的等量对应关系，解题时注意公共弧的过渡作用，通过弧的加减即可快速推导所有结论。
【难度系数】
0.8

3.如图，A，B，C，D是$\odot O$上的四点，且$AD=BC$，则AB与CD的大小关系为（）.

A.$AB＞CD$
B.$AB=CD$
C.$AB＜CD$
D.不能确定

B

【分析】
本题需要判断同圆中两条弦的大小关系，可利用同圆中弦和弧的对应关系求解：首先根据已知弦AD与BC相等，推出二者对应的弧相等；再通过弧的加法运算，得到弦AB、CD所对的弧相等；最后根据同圆中等弧对等弦的性质，即可得到AB和CD的大小关系。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 因为$AD=BC$，根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；
2. 根据等式的性质，在等号两边同时加上$\overset{\frown}{AC}$，可得$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$；
3. 根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=CD$。
【答案】
B
【知识点】
同圆弦弧关系，等弧对等弦
【点评】
本题是圆的性质的基础常考题，解题核心是熟练掌握同圆内弦与弧的互推关系，通过对弧的和的转化得到待比较弦对应的弧的关系即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.85

4.如图，AB是$\odot O$的直径，若$∠ AOC=70°$，且$AD// OC$，则$∠ AOD$的度数为（）.

A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$

D

【分析】
解题时先结合已知条件AD//OC，利用平行线的内错角相等的性质，求出∠OAD的度数；再根据圆的半径相等，可得△AOD是等腰三角形，得到两个底角相等的关系；最后结合三角形内角和定理，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AD//OC，∠AOC=70°，
∴∠OAD=∠AOC=70°（两直线平行，内错角相等）。
∵OA和OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，即△AOD为等腰三角形，
∴∠ODA=∠OAD=70°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-70°-70°=40°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的基本性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行线、等腰三角形和圆的基础知识点结合考查，解题的关键是找到角之间的等量关系，整体解题思路清晰，属于常考的基础角度计算题型。
【难度系数】
0.8

5.如图，A，B，C，D是$\odot O$上的点，$∠ 1=∠ 2$.求证：$AC=BD$.

证明:$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ BOC=∠ 2+∠ BOC$,
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD,\therefore AC=BD$.

【分析】
要证明同圆内两条弦相等，可先证明两条弦对应的圆心角相等。本题已知∠1=∠2，观察图形可得∠BOC是∠AOC和∠BOD的公共角，根据等式性质，给∠1和∠2同时加上公共角∠BOC，即可得到AC对应的圆心角∠AOC与BD对应的圆心角∠BOD相等，再结合同圆中相等的圆心角所对的弦相等，即可得证。
【解析】
证明：$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1+∠ BOC=∠ 2+∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$，
$\therefore AC=BD$。
【答案】
证明：$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ BOC=∠ 2+∠ BOC$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOD,\therefore AC=BD$。
【知识点】
等式的性质；圆心角与弦的关系
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题核心是利用公共角完成圆心角相等的推导，只要熟练掌握同圆中圆心角、弦的对应关系，就能快速完成证明。
【难度系数】
0.85

6.如图，在$\odot O$中，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CD⊥ OA$于点D，$CE⊥ OB$于点E.求证：$OD=OE$.

证明:连接 $OC$,$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ AOC=∠ BOC$,
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB,\therefore ∠ CDO=∠ CEO$,
$\because OC=OC,\therefore △ CDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OD=OE$.

【分析】
要证$OD=OE$，可通过证明二者所在的$△ CDO$和$△ CEO$全等来推导。首先由C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOC=∠ BOC$；再结合$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$得到两个直角相等，加上公共边$OC$，即可用AAS判定两个三角形全等，进而得到对应边$OD=OE$。
【解析】
证明：连接$OC$，
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$，
$\because CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，$\therefore ∠ CDO=∠ CEO=90°$，
又$\because OC=OC$，$\therefore △ CDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=OE$。
【答案】
证明:连接 $OC$,$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ AOC=∠ BOC$,
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB,\therefore ∠ CDO=∠ CEO$,
$\because OC=OC,\therefore △ CDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OD=OE$.
【知识点】
弧与圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，垂直的定义
【点评】
本题是圆的基础常规考题，将圆的性质和三角形全等的知识点结合考查，解题的关键是连接公共边$OC$构造全等三角形，解题思路清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8