10. ★★ 函数$y=bx+a$与函数$y=ax^2+b$($a,b$是常数,且$ab≠0$)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

10. D 解析:A.由$y=ax^2+b$的顶点坐标为$(0,b)$,开口向下,可知$b＞0$,$a＜0$,由函数$y=bx+a$的图象可知,$b＜0$,$a＞0$,矛盾,故选项错误,不符合题意;B.由$y=ax^2+b$的顶点坐标为$(0,b)$,开口向下,可知$b＜0$,$a＜0$,由函数$y=bx+a$的图象可知,$b＞0$,$a＜0$,矛盾,故选项错误,不符合题意;C.由$y=ax^2+b$的顶点坐标为$(0,b)$,开口向上,可知$b＜0$,$a＞0$,由函数$y=bx+a$的图象可知,$b＜0$,$a＜0$,矛盾,故选项错误,不符合题意;D.由$y=ax^2+b$的顶点坐标为$(0,b)$,开口向上,可知$b＞0$,$a＞0$,由函数$y=bx+a$的图象可知,$b＞0$,$a＞0$,故选项正确,符合题意.故选 D.

【分析】
解决这类同一坐标系中多个函数图象共存的问题，核心思路是“参数一致性验证”：先根据其中一类函数的图象特征推导参数的符号，再用推导出来的参数符号判断另一类函数的图象是否符合特征，若矛盾则该选项错误，若一致则正确。
首先明确两个函数中参数的意义：
1. 二次函数$y=ax^2+b$：$a$的符号决定开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），$b$是顶点的纵坐标，顶点为$(0,b)$，$b＞0$时顶点在$y$轴正半轴，$b＜0$时在$y$轴负半轴。
2. 一次函数$y=bx+a$：$b$是斜率（$b＞0$直线从左下向右上倾斜，$b＜0$直线从左上向右下倾斜），$a$是直线与$y$轴交点的纵坐标（$a＞0$交点在$y$轴正半轴，$a＜0$交点在$y$轴负半轴）。
接下来逐个选项验证参数是否一致即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由二次函数$y=ax^2+b$的图象：开口向下得$a＜0$，顶点在$y$轴正半轴得$b＞0$；
由一次函数$y=bx+a$的图象：直线倾斜向下得$b＜0$，与$y$轴交于正半轴得$a＞0$，二者参数符号矛盾，选项错误。
B. 由二次函数$y=ax^2+b$的图象：开口向下得$a＜0$，顶点在$y$轴负半轴得$b＜0$；
由一次函数$y=bx+a$的图象：直线倾斜向上得$b＞0$，二者$b$的符号矛盾，选项错误。
C. 由二次函数$y=ax^2+b$的图象：开口向上得$a＞0$，顶点在$y$轴负半轴得$b＜0$；
由一次函数$y=bx+a$的图象：与$y$轴交于负半轴得$a＜0$，二者$a$的符号矛盾，选项错误。
D. 由二次函数$y=ax^2+b$的图象：开口向上得$a＞0$，顶点在$y$轴正半轴得$b＞0$；
由一次函数$y=bx+a$的图象：直线倾斜向上得$b＞0$，与$y$轴交于正半轴得$a＞0$，参数符号完全一致，选项正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；函数图象共存判断
【点评】
本题是典型的函数图象共存类基础题，解题关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图象与参数的对应关系，通过验证参数符号是否统一来快速排除错误选项，考查学生对函数性质的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7

11. ★★★|转化思想 如图,两条抛物线$y_1=-\frac{1}{2}x^2+1$，$y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$与分别经过点$(-2,0),(2,0)$且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为。

11. 8 解析:根据平移的性质,利用图形面积的割补法知阴影部分的面积可看成是长为4,宽为2的长方形面积.

【分析】
解题时首先观察两条抛物线的解析式，发现二者二次项系数完全相同，说明抛物线形状一致，仅存在上下平移的位置关系。由此可推出对于同一横坐标x，两条抛物线对应的纵坐标的差值固定，因此可以通过割补法，将不规则的阴影部分面积转化为规则的长方形面积进行计算，无需复杂运算。
【解析】
首先分析两条抛物线的关系：
抛物线$y_1=-\frac{1}{2}x^2+1$和$y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$的二次项系数相同，因此形状、开口方向完全相同，$y_2$是$y_1$向下平移2个单位得到的。
对任意x，两条抛物线的竖直距离为：
$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}x^2+1) - (-\frac{1}{2}x^2-1) = 2$，即竖直方向的宽度恒为2。
已知两条平行于y轴的直线分别过$(-2,0)$和$(2,0)$，因此两条直线的水平距离为$2 - (-2) = 4$。
利用割补法，阴影部分的面积等价于长为4、宽为2的长方形的面积，因此：
$S_{\mathrm{阴影}} = 4 × 2 = 8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象性质；割补法求面积；图形平移的性质
【点评】
本题重点考查转化思想在不规则图形面积计算中的应用，解题的核心是发现两条抛物线的平移关系，得到同一横坐标下两曲线的竖直距离恒定，进而将阴影面积转化为熟悉的长方形面积计算，简化了求解过程。
【难度系数】
0.6

12. ★★★ 如图，“爱心”图案是由函数$y=-x^2+6$的部分图象与其关于直线$y=x$的对称图形组成.点A是直线$y=x$上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点.若$AB=4\sqrt{2}$，则点A的坐标是.

12. $(-2,2)$或$(1,5)$ 解析:$\because A,B$关于直线$y=x$对称,$\therefore$ 设$A(a,b)(b＞a)$,则$B(b,a)$.如图所示,过点$B$作$BC// x$轴,过点$A$作$AC// y$轴,两直线交于点$C(a,a)$,$∠ ACB=90°$,$\therefore BC=x_B-x_C=b-a$,$AC=y_A-y_C=b-a$,$\therefore AB=\sqrt{(b-a)^2+(b-a)^2}$,$\therefore 4\sqrt{2}=\sqrt{(b-a)^2+(b-a)^2}$,$\therefore (4\sqrt{2})^2=2(b-a)^2$,$\therefore 32=2(b-a)^2$,$\therefore (b-a)^2=16$,$\therefore b-a=4$或$b-a=-4$(舍去),$\therefore b=a+4$.$\because A(a,b)$在$y=-x^2+6$上,$\therefore b=-a^2+6$,即$a+4=-a^2+6$,整理,得$a^2+a-2=0$,解得$a_1=-2$,$a_2=1$,当$a=-2$时,$b=a+4=-2+4=2$,当$a=1$时,$b=a+4=1+4=5$,$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,2)$或$(1,5)$.

【分析】
解题时首先利用点关于直线$y=x$对称的坐标规律，设出点A、B的坐标；再结合AB的长度，通过构造直角三角形用勾股定理推导点A横、纵坐标的数量关系；最后利用点A在二次函数图象上的性质，将坐标代入函数解析式列方程求解，结合点A在$y=x$上方的条件舍去不符合的解，即可得到点A的坐标。
【解析】
$\because A,B$关于直线$y=x$对称，且点A在$y=x$上方，$\therefore$ 设$A(a,b)(b＞a)$，则$B(b,a)$。
过点$B$作$BC// x$轴，过点$A$作$AC// y$轴，两直线交于点$C(a,a)$，则$∠ ACB=90°$。
可得$BC=x_B-x_C=b-a$，$AC=y_A-y_C=b-a$。
在$Rt△ ACB$中由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(b-a)^2+(b-a)^2}$。
将$AB=4\sqrt{2}$代入得：$4\sqrt{2}=\sqrt{2(b-a)^2}$，两边平方得$32=2(b-a)^2$，解得$(b-a)^2=16$。
$\because b＞a$，$\therefore b-a=4$，即$b=a+4$。
$\because A(a,b)$在$y=-x^2+6$的图象上，$\therefore b=-a^2+6$，将$b=a+4$代入得：
$a+4=-a^2+6$，整理得$a^2+a-2=0$，解得$a_1=-2,a_2=1$。
当$a=-2$时，$b=-2+4=2$；当$a=1$时，$b=1+4=5$。
【答案】
$(-2,2)$或$(1,5)$
【知识点】
1. 关于$y=x$对称的坐标规律
2. 二次函数图象上点的坐标性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题结合了图形对称、距离计算与二次函数的性质，解题核心是利用对称关系建立两点坐标的联系，再结合已知条件列方程求解，考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6

13. ★★★ 在平面直角坐标系$xOy$中,将点$P_1(a, b-a)$定义为点$P(a,b)$的“关联点”.已知点$A(x,y)$在函数$y=x^2$的图象上(如图所示),点$A$的“关联点”是点$A_1$.
(1)请在图中抛物线的基础上画出函数$y=x^2-2$的图象,简要说明画图方法.
(2)如果点$A_1$在函数$y=x^2-2$的图象上,求点$A_1$的坐标.
(3)将点$P_2(a,b-na)$称为点$P(a,b)$的“待定关联点”(其中$n≠0$).如果点$A(x,y)$的“待定关联点”$A_2$在函数$y=x^2-n$的图象上,试用含$n$的代数式表示点$A_2$的坐标.

13. (1)将抛物线$y=x^2$向下平移2个单位,可得抛物线$y=x^2-2$的图象,如图所示.
(2)由题意,得点$A(x,y)$的“关联点”为$A_1(x,y-x)$,由点$A(x,y)$在抛物线$y=x^2$上,可得$A(x,x^2)$,$\therefore A_1(x,x^2-x)$.又$\because A_1(x,x^2-x)$在抛物线$y=x^2-2$上,$\therefore x^2-x=x^2-2$,解得$x=2$.将$x=2$代入$A_1(x,x^2-x)$,得$A_1(2,2)$.
(3)点$A(x,y)$的“待定关联点”为$A_2(x,x^2-nx)$,$\because A_2(x,x^2-nx)$在抛物线$y=x^2-n$上,$\therefore x^2-nx=x^2-n$,$\therefore n-nx=0$,$n(1-x)=0$.又$\because n\ne0$,$\therefore x=1$,当$x=1$时,$x^2-nx=1-n$,故可得$A_2(1,1-n)$.

【分析】
(1) 本题考查二次函数图象的平移规律，二次函数图象上下平移遵循“上加下减”的规则，即解析式中常数项减2，对应图象向下平移2个单位，据此即可画出目标函数图象。
(2) 先明确“关联点”的坐标变换规则，结合点A在$y=x^2$上的条件，用x表示出$A_1$的坐标，再将$A_1$坐标代入$y=x^2-2$的解析式，解方程求出x后即可得到$A_1$的坐标。
(3) 解题思路同(2)，先根据“待定关联点”的定义写出$A_2$的坐标，代入对应函数解析式，结合$n≠0$的条件求解x，进而得到$A_2$的坐标。
【解析】
(1) 根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2$沿y轴向下平移2个单位，即可得到$y=x^2-2$的图象。
(2) 由关联点定义得，点$A(x,y)$的关联点为$A_1(x,y-x)$。
∵点A在$y=x^2$上，
∴$y=x^2$，即$A(x,x^2)$，则$A_1(x,x^2-x)$。
将$A_1$代入$y=x^2-2$得：$x^2-x=x^2-2$，解得$x=2$。
代入$A_1$的坐标表达式得纵坐标为$2^2-2=2$，即$A_1(2,2)$。
(3) 由待定关联点定义得，点A的待定关联点$A_2(x,y-nx)$。
∵点A在$y=x^2$上，
∴$y=x^2$，即$A_2(x,x^2-nx)$。
将$A_2$代入$y=x^2-n$得：$x^2-nx=x^2-n$，整理得$n(1-x)=0$。
∵$n≠0$，
∴$1-x=0$，解得$x=1$，代入纵坐标表达式得$1^2-n×1=1-n$，即$A_2(1,1-n)$。
【答案】
(1)将抛物线$y=x^2$向下平移2个单位,可得抛物线$y=x^2-2$的图象,如图所示.
(2)$A_1(2,2)$
(3)$A_2(1,1-n)$
【知识点】
二次函数图象平移；新定义运算；二次函数点的坐标特征
【点评】
本题将新定义与二次函数性质结合考查，解题核心是准确理解新定义的坐标变换规则，再利用函数图象上的点满足对应解析式列方程求解，对读题理解能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

14. 如图①，$P(m,n)$是抛物线$y=\frac{x^2}{4}-1$上任意一点，$l$是过点$(0,-2)$且与$x$轴平行的直线，过点$P$作直线$PH ⊥ l$，垂足为$H$.
【探究】(1)填空：当$m=0$时，$OP=$，$PH=$；当$m = 4$时，$OP =$，$PH=$.
【证明】(2)对任意$m,n$，猜想$OP$与$PH$的大小关系，并证明你的猜想.
【应用】(3)如图②，已知线段$AB=6$，端点$A$，$B$在抛物线$y=\frac{x^2}{4}-1$上滑动，求$A,B$两点到直线$l$的距离之和的最小值.

14. (1)1 1 5 5 解析:记$PH$与$x$轴的交点为$Q$,当$m=0$时,$P(0,-1)$.此时$OP=1$,$PH=1$.当$m=4$时,$P(4,3)$.此时$PQ=3$,$OQ=4$,$\therefore OP=\sqrt{PQ^2+OQ^2}=5$,$PH=y_P-(-2)=3-(-2)=5$.
(2)猜想:$OP=PH$.证明:当$m=0$时,由(1)知$OP=PH$.当$m\ne0$时,过点$P$作$PQ⊥ x$轴于$Q$,$\because$ 点$P$在二次函数$y=\frac{x^2}{4}-1$的图象上,$\therefore P(m,\frac{m^2}{4}-1)$,则$PQ=\left|\frac{m^2}{4}-1\right|$,$OQ=|m|$.$\because △ OPQ$为直角三角形,$\therefore OP=\sqrt{PQ^2+OQ^2}=\sqrt{(\frac{m^2}{4}-1)^2+m^2}=\frac{m^2}{4}+1$,$PH=y_P-(-2)=(\frac{m^2}{4}-1)-(-2)=\frac{m^2}{4}+1$,$\therefore OP=PH$.
(3)连接$OA$,$OB$,过点$A$作$AC⊥ l$于$C$,过点$B$作$BD⊥ l$于$D$,此时$AC$即为点$A$到直线$l$的距离,$BD$即为点$B$到直线$l$的距离.由(2)可知$OB=BD$,$OA=AC$,在$△ AOB$中,$\because OB+OA＞AB$,$\therefore BD+AC＞AB$.当$AB$过点$O$时,$\because OB+OA=AB$,$\therefore BD+AC=AB$,$\therefore BD+AC\ge AB$.$\because AB=6$,$\therefore BD+AC\ge6$,即$A,B$两点到直线$l$的距离之和的最小值为6.

【分析】
(1) 求解第一小问时，先将给定的m值代入抛物线解析式求出对应P点坐标，计算OP时利用勾股定理，即OP为P点横、纵坐标的平方和开根号；PH是P点到直线l（y=-2）的距离，等于P点纵坐标减去-2的差。
(2) 先通过(1)的特殊情况猜想OP=PH，再对一般情况进行证明：设P点坐标为$(m,\frac{m^2}{4}-1)$，分别用勾股定理表示OP的长度，用纵坐标差表示PH的长度，化简后比较两者即可证明相等。
(3) 利用(2)的结论，将A、B到直线l的距离转化为OA、OB的长度，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”，当A、O、B三点共线时，OA+OB取得最小值等于AB的长度，即可得到距离之和的最小值。
【解析】
(1) 当$m=0$时，代入抛物线$y=\frac{x^2}{4}-1$得$y=-1$，即$P(0,-1)$，此时$OP=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$，直线$l$为$y=-2$，故$PH=-1-(-2)=1$；
当$m=4$时，代入得$y=\frac{4^2}{4}-1=3$，即$P(4,3)$，$OP=\sqrt{4^2+3^2}=5$，$PH=3-(-2)=5$。
(2) 猜想：$OP=PH$。证明如下：
∵$P(m,n)$在抛物线$y=\frac{x^2}{4}-1$上，
∴$n=\frac{m^2}{4}-1$，即$P(m,\frac{m^2}{4}-1)$。
过$P$作$PQ⊥x$轴于$Q$，在$Rt△OPQ$中，$OQ=|m|$，$PQ=|\frac{m^2}{4}-1|$，
∴$OP=\sqrt{OQ^2+PQ^2}=\sqrt{m^2+(\frac{m^2}{4}-1)^2}=\sqrt{(\frac{m^2}{4}+1)^2}=\frac{m^2}{4}+1$（$\frac{m^2}{4}+1$恒为正，直接开方）。
又$PH$是$P$到直线$l:y=-2$的距离，故$PH=(\frac{m^2}{4}-1)-(-2)=\frac{m^2}{4}+1$，
∴$OP=PH$。
(3) 过$A$作$AC⊥l$于$C$，过$B$作$BD⊥l$于$D$，连接$OA$、$OB$。
由(2)的结论可知：$AC=OA$，$BD=OB$，
∴$A$、$B$到$l$的距离之和为$AC+BD=OA+OB$。
在$△AOB$中，根据三角形三边关系，$OA+OB≥AB$，当且仅当$A$、$O$、$B$三点共线（即$AB$经过原点$O$）时，等号成立。
已知$AB=6$，
∴$OA+OB≥6$，即$AC+BD≥6$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$，$\boxed{1}$，$\boxed{5}$，$\boxed{5}$；
(2) $\boxed{OP=PH}$，证明见解析；
(3) $\boxed{6}$
【知识点】
二次函数点的坐标特征，勾股定理，三角形三边关系
【点评】
本题遵循“特殊探究-一般证明-实践应用”的逻辑命题，考查了从特殊到一般的数学思想，解题的关键是证明抛物线上的点到原点的距离等于其到直线l的距离，将所求距离之和转化为两条线段长的和，再利用几何性质求最值，较好地融合了代数与几何的相关知识。
【难度系数】
0.65