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1. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=-x^2+1$的大致图象是（
A
）答案
1. A 解析:二次函数$y=-x^2+1$的图象开口向下,且经过点(0,1),故选 A.
解析
【分析】
解题时先根据二次函数的二次项系数判断开口方向，排除不符合开口方向的选项；再根据常数项确定抛物线与y轴的交点（即顶点纵坐标），进一步排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+1$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，选项B、C图象开口向上，直接排除；
2. 常数项为1，说明抛物线与y轴交于点$(0,1)$，即抛物线顶点坐标为$(0,1)$，选项D的顶点在$(0,-1)$，不符合要求，排除D。
综上只有选项A符合特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，开口方向判断，抛物线与y轴交点
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基础图象性质，解题时可通过“先判开口，再看截距”的思路快速排除错误选项，是二次函数图象类的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先根据二次函数的二次项系数判断开口方向，排除不符合开口方向的选项；再根据常数项确定抛物线与y轴的交点（即顶点纵坐标），进一步排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+1$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，选项B、C图象开口向上，直接排除；
2. 常数项为1，说明抛物线与y轴交于点$(0,1)$，即抛物线顶点坐标为$(0,1)$，选项D的顶点在$(0,-1)$，不符合要求，排除D。
综上只有选项A符合特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，开口方向判断，抛物线与y轴交点
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基础图象性质，解题时可通过“先判开口，再看截距”的思路快速排除错误选项，是二次函数图象类的基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 下列关于二次函数$y=3x^2 -1$的图象说法中，错误的是（
A.它的对称轴是直线$x=0$
B.在对称轴的左侧，$y$随着$x$的增大而增大
C.它的顶点坐标是$(0,-1)$
D.它的图象有最低点
B
）A.它的对称轴是直线$x=0$
B.在对称轴的左侧，$y$随着$x$的增大而增大
C.它的顶点坐标是$(0,-1)$
D.它的图象有最低点
答案
2. B 解析:A. 二次函数$y=3x^2-1$的对称轴是直线$x=0$,故说法正确,不符合题意;B. 二次函数$y=3x^2-1$,在对称轴的左侧,$y$随着$x$的增大而减小,故说法错误,符合题意;C. 二次函数$y=3x^2-1$,它的顶点坐标是$(0,-1)$,故说法正确,不符合题意;D. 二次函数$y=3x^2-1$,开口向上,它的图象有最低点,故说法正确,不符合题意.故选 B.
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题思路为：首先明确该类二次函数的核心性质（由$a$的符号判断开口方向，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,k)$，增减性由开口方向和对称轴位置共同决定），再结合本题函数中$a=3$、$k=-1$的参数，逐个验证四个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2-1$，属于$y=ax^2+k$的形式，其中$a=3＞0$，$k=-1$：
A. 该形式二次函数的对称轴为直线$x=0$，说法正确，不符合题意；
B. 因$a＞0$，二次函数开口向上，在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$随$x$的增大而减小，不是增大，说法错误，符合题意；
C. 该形式二次函数的顶点坐标为$(0,k)$，即$(0,-1)$，说法正确，不符合题意；
D. 因$a＞0$，图象开口向上，故图象有最低点，说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题属于基础题，重点考查对$y=ax^2+k$型二次函数基本性质的掌握，做题时需先明确参数$a$、$k$的取值，再对应性质逐一判断，同时注意审题，看清题目要求是选择错误的选项，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题思路为：首先明确该类二次函数的核心性质（由$a$的符号判断开口方向，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,k)$，增减性由开口方向和对称轴位置共同决定），再结合本题函数中$a=3$、$k=-1$的参数，逐个验证四个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2-1$，属于$y=ax^2+k$的形式，其中$a=3＞0$，$k=-1$：
A. 该形式二次函数的对称轴为直线$x=0$，说法正确，不符合题意；
B. 因$a＞0$，二次函数开口向上，在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$随$x$的增大而减小，不是增大，说法错误，符合题意；
C. 该形式二次函数的顶点坐标为$(0,k)$，即$(0,-1)$，说法正确，不符合题意；
D. 因$a＞0$，图象开口向上，故图象有最低点，说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题属于基础题，重点考查对$y=ax^2+k$型二次函数基本性质的掌握，做题时需先明确参数$a$、$k$的取值，再对应性质逐一判断，同时注意审题，看清题目要求是选择错误的选项，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.8
3. 如果点$A(-4,y_1),B(-3,y_2)$是二次函数$y=2x^2 +k$（$k$是常数）图象上的两点，那么$y_1$
＞
$y_2$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
3. ＞ 解析:
∵ 抛物线表达式为$y=2x^2+k$($k$是常数),
∴ 抛物线的对称轴为$y$轴,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小.$\because -4＜-3＜0,\therefore y_1＞y_2$.故答案为＞.
∵ 抛物线表达式为$y=2x^2+k$($k$是常数),
∴ 抛物线的对称轴为$y$轴,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小.$\because -4＜-3＜0,\therefore y_1＞y_2$.故答案为＞.
解析
【分析】
解题时首先分析二次函数的基本性质，由给定解析式确定开口方向和对称轴：解析式$y=2x^2+k$中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）。接着回忆开口向上的二次函数的增减性规律：对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小。最后比较两个点横坐标的大小，结合对应区间的增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
∵抛物线表达式为$y=2x^2 +k$（$k$是常数），二次项系数$a=2＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\because -4＜-3＜0$，
$\therefore y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是明确开口方向、对称轴和函数增减性的对应关系，结合点的横坐标的大小即可快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.85
解题时首先分析二次函数的基本性质，由给定解析式确定开口方向和对称轴：解析式$y=2x^2+k$中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）。接着回忆开口向上的二次函数的增减性规律：对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小。最后比较两个点横坐标的大小，结合对应区间的增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
∵抛物线表达式为$y=2x^2 +k$（$k$是常数），二次项系数$a=2＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\because -4＜-3＜0$，
$\therefore y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是明确开口方向、对称轴和函数增减性的对应关系，结合点的横坐标的大小即可快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.85
4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+5$与y轴交于点A,过点A且与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$于点B,C,则BC的长为
10
.答案
4. 10 解析:
∵ 抛物线$y=ax^2+5$与$y$轴交于点$A$,$\therefore A$点坐标为$(0,5)$.当$y=5$时,$5=\frac{1}{5}x^2$,解得$x=\pm5$,$\therefore B$点坐标为$(-5,5)$,$C$点坐标为$(5,5)$,$\therefore BC=5-(-5)=10$.故答案为10.
∵ 抛物线$y=ax^2+5$与$y$轴交于点$A$,$\therefore A$点坐标为$(0,5)$.当$y=5$时,$5=\frac{1}{5}x^2$,解得$x=\pm5$,$\therefore B$点坐标为$(-5,5)$,$C$点坐标为$(5,5)$,$\therefore BC=5-(-5)=10$.故答案为10.
解析
【分析】
解题时首先确定点A的坐标：抛物线与y轴交点的横坐标为0，代入抛物线$y=ax^2+5$即可求出A点纵坐标；再根据BC过A且与x轴平行，可知B、C两点的纵坐标与A点纵坐标相同，将该纵坐标值代入抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$，求出B、C两点的横坐标；最后因为B、C纵坐标相同，两点间距离为横坐标之差的绝对值，即可算出BC的长度。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+5$与$y$轴交于点$A$，$y$轴上点的横坐标为0，
∴ 将$x=0$代入$y=ax^2+5$，得$y=5$，即$A$点坐标为$(0,5)$。
∵ 直线$BC$过点$A$且与$x$轴平行，
∴ 点$B$、$C$的纵坐标均为5。
将$y=5$代入$y=\frac{1}{5}x^2$，得$5=\frac{1}{5}x^2$，
解得$x_1=5$，$x_2=-5$，
∴ $B(-5,5)$，$C(5,5)$，
∴ $BC=5 - (-5)=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数图象性质，平行于x轴的直线坐标特征，两点间距离计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是抓住平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等这一特征，结合二次函数解析式求解交点坐标后计算距离，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先确定点A的坐标：抛物线与y轴交点的横坐标为0，代入抛物线$y=ax^2+5$即可求出A点纵坐标；再根据BC过A且与x轴平行，可知B、C两点的纵坐标与A点纵坐标相同，将该纵坐标值代入抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$，求出B、C两点的横坐标；最后因为B、C纵坐标相同，两点间距离为横坐标之差的绝对值，即可算出BC的长度。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+5$与$y$轴交于点$A$，$y$轴上点的横坐标为0，
∴ 将$x=0$代入$y=ax^2+5$，得$y=5$，即$A$点坐标为$(0,5)$。
∵ 直线$BC$过点$A$且与$x$轴平行，
∴ 点$B$、$C$的纵坐标均为5。
将$y=5$代入$y=\frac{1}{5}x^2$，得$5=\frac{1}{5}x^2$，
解得$x_1=5$，$x_2=-5$，
∴ $B(-5,5)$，$C(5,5)$，
∴ $BC=5 - (-5)=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数图象性质，平行于x轴的直线坐标特征，两点间距离计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是抓住平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等这一特征，结合二次函数解析式求解交点坐标后计算距离，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5. 求形状与抛物线$y=-2x^2+3$相同，顶点坐标为$(0,1)$的抛物线表达式.
答案
5.
∵顶点坐标为$(0,1)$,$\therefore$ 设所求的抛物线表达式为$y=ax^2+1$.$\because$ 抛物线$y=ax^2+1$与抛物线$y=-2x^2+3$形状相同,$\therefore a=-2$或$2$,$\therefore$ 该抛物线的表达式为$y=-2x^2+1$或$y=2x^2+1$.
∵顶点坐标为$(0,1)$,$\therefore$ 设所求的抛物线表达式为$y=ax^2+1$.$\because$ 抛物线$y=ax^2+1$与抛物线$y=-2x^2+3$形状相同,$\therefore a=-2$或$2$,$\therefore$ 该抛物线的表达式为$y=-2x^2+1$或$y=2x^2+1$.
解析
【分析】
解题时需抓住两个核心条件推导：①抛物线的形状仅由二次项系数的绝对值决定，两个抛物线形状相同则它们的二次项系数绝对值相等；②已知顶点坐标为$(0,1)$，恰好符合二次函数$y=ax^2+k$的形式（该形式的顶点坐标为$(0,k)$，因此k直接等于顶点纵坐标1）。解题时先根据顶点坐标设出待求抛物线的表达式，再结合形状相同的条件确定a的取值，注意a可取正负两个值，避免漏解。
【解析】
解：$\because$ 所求抛物线的顶点坐标为$(0,1)$
$\therefore$ 可设该抛物线的表达式为$y=ax^2+1$（$a\ne0$）
$\because$ 所求抛物线与$y=-2x^2+3$形状相同
$\therefore$ 两个抛物线的二次项系数绝对值相等，即$|a|=|-2|=2$
解得$a=-2$或$a=2$
将a的取值代入所设表达式，可得最终抛物线表达式。
【答案】
$y=-2x^2+1$或$y=2x^2+1$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，易错点是容易误以为形状相同则开口方向也相同，仅写出$a=-2$对应的解析式，解题时要注意全面理解“形状相同”的含义，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时需抓住两个核心条件推导：①抛物线的形状仅由二次项系数的绝对值决定，两个抛物线形状相同则它们的二次项系数绝对值相等；②已知顶点坐标为$(0,1)$，恰好符合二次函数$y=ax^2+k$的形式（该形式的顶点坐标为$(0,k)$，因此k直接等于顶点纵坐标1）。解题时先根据顶点坐标设出待求抛物线的表达式，再结合形状相同的条件确定a的取值，注意a可取正负两个值，避免漏解。
【解析】
解：$\because$ 所求抛物线的顶点坐标为$(0,1)$
$\therefore$ 可设该抛物线的表达式为$y=ax^2+1$（$a\ne0$）
$\because$ 所求抛物线与$y=-2x^2+3$形状相同
$\therefore$ 两个抛物线的二次项系数绝对值相等，即$|a|=|-2|=2$
解得$a=-2$或$a=2$
将a的取值代入所设表达式，可得最终抛物线表达式。
【答案】
$y=-2x^2+1$或$y=2x^2+1$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，易错点是容易误以为形状相同则开口方向也相同，仅写出$a=-2$对应的解析式，解题时要注意全面理解“形状相同”的含义，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. ★ |教材P16练习T3变式 要得到抛物线 $y=-4x^2 -3$，可将抛物线 $y=-4x^2$ （
A.向上平移3个单位
B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位
D.向右平移3个单位
B
）A.向上平移3个单位
B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位
D.向右平移3个单位
答案
6. B 解析:抛物线$y=-4x^2$向下平移3个单位得$y=-4x^2-3$,故选 B.
解析
【分析】
解题时可从两个角度思考：一是回忆二次函数图象平移的“上加下减、左加右减”规律，观察两个解析式的差异仅在常数项，判断属于上下平移，再根据常数项的变化确定平移方向和距离；二是通过对比两个抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移情况对应得到抛物线的平移情况。
【解析】
方法1（平移规律法）：二次函数图象平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律，其中上下平移改变解析式的常数项：向上平移n个单位，常数项加n；向下平移n个单位，常数项减n。
对比抛物线$y=-4x^2$和$y=-4x^2 -3$，后者仅在前者的基础上常数项减了3，因此是将抛物线$y=-4x^2$向下平移3个单位得到$y=-4x^2 -3$。
方法2（顶点平移法）：抛物线$y=-4x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=-4x^2 -3$的顶点坐标为$(0,-3)$。
点$(0,0)$向下平移3个单位可得到点$(0,-3)$，抛物线的平移和顶点平移一致，因此是向下平移3个单位。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于二次函数图象平移的基础考题，核心考查上下平移规律的应用，牢记“上加下减常数项”的口诀即可快速作答，是二次函数图象模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时可从两个角度思考：一是回忆二次函数图象平移的“上加下减、左加右减”规律，观察两个解析式的差异仅在常数项，判断属于上下平移，再根据常数项的变化确定平移方向和距离；二是通过对比两个抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移情况对应得到抛物线的平移情况。
【解析】
方法1（平移规律法）：二次函数图象平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律，其中上下平移改变解析式的常数项：向上平移n个单位，常数项加n；向下平移n个单位，常数项减n。
对比抛物线$y=-4x^2$和$y=-4x^2 -3$，后者仅在前者的基础上常数项减了3，因此是将抛物线$y=-4x^2$向下平移3个单位得到$y=-4x^2 -3$。
方法2（顶点平移法）：抛物线$y=-4x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=-4x^2 -3$的顶点坐标为$(0,-3)$。
点$(0,0)$向下平移3个单位可得到点$(0,-3)$，抛物线的平移和顶点平移一致，因此是向下平移3个单位。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于二次函数图象平移的基础考题，核心考查上下平移规律的应用，牢记“上加下减常数项”的口诀即可快速作答，是二次函数图象模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
7. （淮安中考）将二次函数$y=x^2 -1$的图象向上平移3个单位，得到的图象所对应的函数表达式是
$y=x^2+2$
。答案
7. $y=x^2+2$ 解析:将二次函数$y=x^2-1$的图象向上平移3个单位,得$y=x^2-1+3=x^2+2$的图象.
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的上下平移，解题时先回忆函数图象平移的变化规律：上下平移时对函数的常数项遵循“上加下减”的调整规则，即向上平移对应加平移单位长度，向下平移对应减平移单位长度。本题明确为向上平移3个单位，只需在原函数表达式的基础上整体加3，再化简即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
已知原二次函数的表达式为$y=x^2 -1$，根据二次函数图象上下平移的“上加下减”规则，向上平移3个单位时，在原函数表达式的基础上加3，可得：
$\begin{aligned}y&=x^2 -1 + 3\\&=x^2 +2\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2+2$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规则
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数上下平移的变化规律，熟练掌握“上加下减”的平移口诀即可快速解题，注意不要将上下平移和左右平移的规则混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数图象的上下平移，解题时先回忆函数图象平移的变化规律：上下平移时对函数的常数项遵循“上加下减”的调整规则，即向上平移对应加平移单位长度，向下平移对应减平移单位长度。本题明确为向上平移3个单位，只需在原函数表达式的基础上整体加3，再化简即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
已知原二次函数的表达式为$y=x^2 -1$，根据二次函数图象上下平移的“上加下减”规则，向上平移3个单位时，在原函数表达式的基础上加3，可得：
$\begin{aligned}y&=x^2 -1 + 3\\&=x^2 +2\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2+2$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规则
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数上下平移的变化规律，熟练掌握“上加下减”的平移口诀即可快速解题，注意不要将上下平移和左右平移的规则混淆。
【难度系数】
0.9
8. | 一题多解 能否通过上下平移二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象，使得到的新的函数图象过点$P(2,-3)$？若能，请说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。
答案
8. 能.设二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$平移后的新的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2+k$,把点$P(2,-3)$代入,得$-3=2+k$,解得$k=-5$,所以新的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-5$,是由$y=\frac{1}{2}x^2$的图象向下平移5个单位得到的,所以平移方向是向下,平移距离是5个单位.
一题多解
设二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$图象上的一点$P'(m,n)$与点$P(2,-3)$是平移前后的一组对应点.因为上下平移,图象对应的点的横坐标不变,所以$m=2$,$n=\frac{1}{2}m^2=\frac{1}{2}×2^2=2$,所以点$P(2,-3)$的对应点$P'$的坐标是$(2,2)$.因为$2-(-3)=5$,所以这两点的垂直距离是5,所以平移方向是向下,平移距离是5个单位.
一题多解
设二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$图象上的一点$P'(m,n)$与点$P(2,-3)$是平移前后的一组对应点.因为上下平移,图象对应的点的横坐标不变,所以$m=2$,$n=\frac{1}{2}m^2=\frac{1}{2}×2^2=2$,所以点$P(2,-3)$的对应点$P'$的坐标是$(2,2)$.因为$2-(-3)=5$,所以这两点的垂直距离是5,所以平移方向是向下,平移距离是5个单位.
解析
【分析】
二次函数图象上下平移时，二次项系数不变，仅常数项发生变化，且上下平移时图象上所有点的横坐标不变，仅纵坐标同步变化。解题可从两个思路入手：一是根据平移规律设出平移后的函数解析式，用待定系数法代入已知点坐标，求解平移参数，进而判断平移方向和距离；二是先找到原函数上与目标点横坐标相同的对应点，对比两点纵坐标的差值，直接得到平移的方向和距离。
【解析】
方法一：设平移后的新函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2+k$（$k$为平移常数）
∵新函数图象过点$P(2,-3)$
∴将$x=2$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=\frac{1}{2}×2^2 +k$
计算得：$-3=2+k$
解得$k=-5$
∵$k=-5＜0$，$|k|=5$
∴是将原函数图象向下平移5个单位得到新图象。
方法二：
∵上下平移时对应点横坐标不变
∴先求原函数$y=\frac{1}{2}x^2$上横坐标为2的点的纵坐标：
当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2^2=2$，即原函数对应点为$(2,2)$
对比目标点$P(2,-3)$，纵坐标变化量为$-3-2=-5$
负号表示平移方向向下，绝对值5表示平移距离为5个单位。
【答案】
能，平移方向为向下，平移距离是5个单位。
【知识点】
二次函数平移规律；待定系数法求解析式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数上下平移的性质，两种解法分别从解析式变换、点的坐标变换两个角度切入，既巩固了平移规律的应用，也能帮助理解平移的本质是图象上所有点的同步移动。
【难度系数】
0.8
二次函数图象上下平移时，二次项系数不变，仅常数项发生变化，且上下平移时图象上所有点的横坐标不变，仅纵坐标同步变化。解题可从两个思路入手：一是根据平移规律设出平移后的函数解析式，用待定系数法代入已知点坐标，求解平移参数，进而判断平移方向和距离；二是先找到原函数上与目标点横坐标相同的对应点，对比两点纵坐标的差值，直接得到平移的方向和距离。
【解析】
方法一：设平移后的新函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2+k$（$k$为平移常数）
∵新函数图象过点$P(2,-3)$
∴将$x=2$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=\frac{1}{2}×2^2 +k$
计算得：$-3=2+k$
解得$k=-5$
∵$k=-5＜0$，$|k|=5$
∴是将原函数图象向下平移5个单位得到新图象。
方法二：
∵上下平移时对应点横坐标不变
∴先求原函数$y=\frac{1}{2}x^2$上横坐标为2的点的纵坐标：
当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2^2=2$，即原函数对应点为$(2,2)$
对比目标点$P(2,-3)$，纵坐标变化量为$-3-2=-5$
负号表示平移方向向下，绝对值5表示平移距离为5个单位。
【答案】
能，平移方向为向下，平移距离是5个单位。
【知识点】
二次函数平移规律；待定系数法求解析式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数上下平移的性质，两种解法分别从解析式变换、点的坐标变换两个角度切入，既巩固了平移规律的应用，也能帮助理解平移的本质是图象上所有点的同步移动。
【难度系数】
0.8
9. ★★ 在平面直角坐标系中,如果把抛物线$y=2x^2$向下平移3个单位得到一条新抛物线,那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点的横坐标相同
D.顶点的纵坐标相同
D
）A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点的横坐标相同
D.顶点的纵坐标相同
答案
9. D 解析:把抛物线$y=2x^2$向下平移3个单位得到新的抛物线为$y=2x^2-3$,$\therefore$ 这两条抛物线的开口方向都是向上,对称轴都为直线$x=0$,顶点的横坐标都为0,顶点的纵坐标一个为0,一个为-3.故选 D.
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先根据二次函数图象的平移规律得到平移后新抛物线的解析式，再分别对比两条抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质，逐一判断各选项的正误，最终选出描述不正确的选项。
【解析】
根据二次函数图象“上加下减常数项”的平移规律，将抛物线$y=2x^2$向下平移3个单位后，得到的新抛物线解析式为$y=2x^2-3$。
接下来对比两条抛物线的性质：
1. 开口方向：两条抛物线的二次项系数均为2，$2＞0$，因此开口方向都向上，A选项描述正确；
2. 对称轴：两条抛物线均属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴均为直线$x=0$（即y轴），B选项描述正确；
3. 顶点坐标：$y=2x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=2x^2-3$的顶点为$(0,-3)$，可见顶点横坐标均为0，纵坐标分别为0和-3，因此C选项描述正确，D选项描述错误。
题目要求选择不正确的描述，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础题型，解题关键是牢记二次函数平移的“上加下减、左加右减”规则，明确上下平移不改变二次项系数，因此开口方向、对称轴、顶点横坐标都不变，只有顶点纵坐标随平移发生变化。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是先根据二次函数图象的平移规律得到平移后新抛物线的解析式，再分别对比两条抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质，逐一判断各选项的正误，最终选出描述不正确的选项。
【解析】
根据二次函数图象“上加下减常数项”的平移规律，将抛物线$y=2x^2$向下平移3个单位后，得到的新抛物线解析式为$y=2x^2-3$。
接下来对比两条抛物线的性质：
1. 开口方向：两条抛物线的二次项系数均为2，$2＞0$，因此开口方向都向上，A选项描述正确；
2. 对称轴：两条抛物线均属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴均为直线$x=0$（即y轴），B选项描述正确；
3. 顶点坐标：$y=2x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=2x^2-3$的顶点为$(0,-3)$，可见顶点横坐标均为0，纵坐标分别为0和-3，因此C选项描述正确，D选项描述错误。
题目要求选择不正确的描述，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础题型，解题关键是牢记二次函数平移的“上加下减、左加右减”规则，明确上下平移不改变二次项系数，因此开口方向、对称轴、顶点横坐标都不变，只有顶点纵坐标随平移发生变化。
【难度系数】
0.8
