9. ★★ 已知$a≠0$,在同一直角坐标系中,函数$y=ax$与$y=ax^2$的图象可能是（）

9. C 解析:A.函数$y=ax$中,$a＞0$,$y=ax^2$中,$a＞0$,但当 x=1 时,两个函数的图象有交点(1,a),故 A 错误;B.函数$y=ax$中,$a＜0$,$y=ax^2$中,$a＞0$,故 B 错误;C.函数$y=ax$中,$a＜0$,$y=ax^2$中,$a＜0$,且当 x=1 时,两个函数的图象有交点(1,a),故 C 正确;D.函数$y=ax$中,$a＞0$,$y=ax^2$中,$a＜0$,故 D 错误.故选 C.

【分析】
解决这道题可分两步思考：第一步，两个函数的参数a是同一个，所以先判断每个选项中一次函数y=ax的斜率正负、二次函数y=ax²的开口方向对应的a的符号是否一致，符号矛盾的直接排除；第二步，联立两个函数解析式可得ax=ax²，解得x=0或x=1，说明两函数除了原点(0,0)外，在x=1处也有交点，据此可排除剩余的错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
首先明确函数性质：
1. 一次函数y=ax过原点，若a＞0，图象过第一、三象限；若a＜0，图象过第二、四象限。
2. 二次函数y=ax²顶点在原点，若a＞0，图象开口向上；若a＜0，图象开口向下。
3. 联立两函数解析式$\begin{cases}y=ax\\y=ax^2\end{cases}$，得$ax=ax^2$，整理为$ax(x-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$，即两函数交点为$(0,0)$和$(1,a)$。
逐个分析选项：
选项A：一次函数过一、三象限得$a＞0$，二次函数开口向上得$a＞0$，符号一致，但x=1处两函数无交点，不符合性质，错误。
选项B：一次函数过二、四象限得$a＜0$，二次函数开口向上得$a＞0$，a的符号矛盾，错误。
选项C：一次函数过二、四象限得$a＜0$，二次函数开口向下得$a＜0$，符号一致，且x=1处两函数有交点，符合性质，正确。
选项D：一次函数过一、三象限得$a＞0$，二次函数开口向下得$a＜0$，a的符号矛盾，错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数y=ax²的性质，函数图象交点
【点评】
本题是函数图象的基础综合题，解题核心是抓住两个函数中参数a的一致性，结合函数图象的基本特征和交点规律快速排除错误选项，是对函数图象性质应用的典型考查。
【难度系数】
0.7

10. ★★ |教材P27习题T1(2)变式 如图是四个二次函数的图象,则$a,b,c,d$的大小关系为 ()

A.$d＜c＜a＜b$
B.$d＜c＜b＜a$
C.$c＜d＜a＜b$
D.$c＜d＜b＜a$

10. B 解析:
∵ 直线 x=1 与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),
∴ a＞b＞c＞d,故选 B.

【分析】
要判断a、b、c、d的大小关系，可结合二次函数$y=ax^2$的性质分析：首先，a的正负决定抛物线开口方向，开口向上则$a＞0$，开口向下则$a＜0$，因此先得出a、b为正数，c、d为负数，即a、b均大于c、d；其次，$|a|$的大小决定抛物线开口宽窄，$|a|$越大，开口越窄，对于正数a、b，开口越窄a越大，对于负数c、d，开口越窄则$|a|$越大，对应的数值越小。也可以用特殊值法：取$x=1$，此时四个函数的函数值分别等于a、b、c、d，直接比较$x=1$处各点的纵坐标大小即可得到结论。
【解析】
取特殊值$x=1$，分别代入四个二次函数解析式：
当$x=1$时，$y=a× 1^2=a$，$y=b× 1^2=b$，$y=c× 1^2=c$，$y=d× 1^2=d$。
观察图象可知，直线$x=1$与四条抛物线的交点从上到下依次为$(1,a)$、$(1,b)$、$(1,c)$、$(1,d)$，点的纵坐标越大，对应的函数值越大，因此可得$a＞b＞c＞d$，即$d＜c＜b＜a$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次项系数对抛物线的影响
3. 特殊值法解题
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，解题核心是掌握二次项系数a对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，通过取特殊值的方法可以简化推导过程，快速得到结论。
【难度系数】
0.7

11. ★★★ 如图,平行于x轴的直线AC分别交函数$y_1=x^2(x≥0)$与$y_2=\dfrac{x^2}{3}(x≥0)$的图象于B,C两点,过点C作y轴的平行线交$y_1$的图象于点D,直线$DE// AC$,交$y_2$的图象于点E,则$\dfrac{DE}{AB}=$.

11. $3-\sqrt{3}$ 解析:设点 A 的坐标为(0,a)(a＞0),令$x^2=a$,解得$x=\sqrt{a}$(负值舍去),
∴ 点 B($\sqrt{a}$,a),
∴ AB=$\sqrt{a}$.令$\frac{x^2}{3}=a$,则$x=\sqrt{3a}$(负值舍去),
∴ 点 C($\sqrt{3a}$,a).
∵ CD//y 轴,
∴ 点 D的横坐标与点 C 的横坐标相同,为$\sqrt{3a}$,
∴ $y_1=(\sqrt{3a})^2=3a$,
∴ 点 D 的坐标为($\sqrt{3a}$,3a).
∵ DE//AC,
∴ 点E的纵坐标为 3a,
∴ $\frac{x^2}{3}=3a$,
∴ $x=3\sqrt{a}$(负值舍去),
∴ 点 E 的坐标为($3\sqrt{a}$,3a),
∴ DE=$3\sqrt{a}-\sqrt{3a}$,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{3\sqrt{a}-\sqrt{3a}}{\sqrt{a}}=3-\sqrt{3}$.

【分析】
本题可通过设参数表示点的坐标，结合平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，依次求出各相关点的坐标，再计算线段长度的比值即可。首先观察到AC平行于x轴，因此A、B、C三点纵坐标相同，可设点A纵坐标为a，分别代入两个二次函数解析式求出B、C的横坐标，得到AB的长度；再根据CD平行于y轴，得到D与C横坐标相同，代入$y_1$解析式求出D的纵坐标；接着由DE平行于AC，得E与D纵坐标相同，代入$y_2$解析式求出E的横坐标，得到DE的长度；最后计算DE与AB的比值，参数a会在化简中消去，得到最终结果。
【解析】
设点A的坐标为$(0,a)$（$a＞0$），
∵AC平行于x轴，B、C分别在$y_1=x^2$、$y_2=\frac{x^2}{3}$的图象上，且纵坐标均为a，
对于$y_1=x^2$，令$y=a$，得$x^2=a$，
∵$x≥0$，
∴$x=\sqrt{a}$，即点$B(\sqrt{a},a)$，
∴$AB=\sqrt{a}-0=\sqrt{a}$；
对于$y_2=\frac{x^2}{3}$，令$y=a$，得$\frac{x^2}{3}=a$，
∵$x≥0$，
∴$x=\sqrt{3a}$，即点$C(\sqrt{3a},a)$；
∵CD平行于y轴，
∴点D的横坐标与C相同，为$\sqrt{3a}$，
将$x=\sqrt{3a}$代入$y_1=x^2$，得$y_1=(\sqrt{3a})^2=3a$，
∴点D坐标为$(\sqrt{3a},3a)$；
∵DE平行于AC（即平行于x轴），
∴点E的纵坐标与D相同，为3a，
将$y=3a$代入$y_2=\frac{x^2}{3}$，得$\frac{x^2}{3}=3a$，即$x^2=9a$，
∵$x≥0$，
∴$x=3\sqrt{a}$，即点E坐标为$(3\sqrt{a},3a)$；
∴$DE=3\sqrt{a}-\sqrt{3a}$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{3\sqrt{a}-\sqrt{3a}}{\sqrt{a}}=3-\sqrt{3}$。
【答案】
$3-\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；平行于坐标轴的点的坐标性质；代数式化简
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用，解题关键是利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，通过设参数的方式表示各点坐标，计算过程中参数会自然消去，能很好地考查学生对二次函数点坐标与解析式关系的掌握程度，以及逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6

12. 若直线$y=2x-15$与抛物线$y=ax^2$交于A,B两点,且点A的横坐标为3.
(1)求抛物线$y=ax^2$的函数表达式;
(2)请在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象;
(3)在(2)中,若连接OA,OB,试求$△ AOB$的面积.

12. (1)
∵ 点 A 的横坐标为 3,
∴ 2×3-15=6-15=-9,
∴ 点 A 的坐标为(3,-9).把点 A 的坐标代入抛物线$y=ax^2$,得 9a=-9,解得 a=-1,
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-x^2$.
(2)函数图象如图所示.
(3)联立$\begin{cases}y=2x-15,\\y=-x^2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x_1=3,\\y_1=-9\end{cases}$或$\begin{cases}x_2=-5,\\y_2=-25,\end{cases}$
∴ 点 B 的坐标为(-5,-25).设直线 y=2x-15 与 y 轴的交点为 C,则点C(0,-15),
∴ $S_{△AOB}=S_{△AOC}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}×15×(3+5)=60$.

【分析】
(1) 要求抛物线的解析式，只需求出参数a的值即可。已知交点A的横坐标，先代入直线解析式求出A点的完整坐标，再将A点坐标代入抛物线解析式即可解出a。
(2) 画函数图象时，抛物线$y=-x^2$是开口向下、顶点在原点的二次函数，描取几个对称点平滑连接即可；直线可选取两个已知点（如交点A、B）连接即可。
(3) 直接计算$△ AOB$的面积较难，可采用割补法：先找到直线与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形共底OC，高分别为A、B横坐标的绝对值，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 已知点A的横坐标为3，且点A在直线$y=2x-15$上，将$x=3$代入直线解析式：
$y=2×3-15=-9$，即点A坐标为$(3,-9)$。
将$A(3,-9)$代入$y=ax^2$，得$9a=-9$，解得$a=-1$，因此抛物线的函数表达式为$y=-x^2$。
(2) 描点绘制抛物线$y=-x^2$，再选取直线上两点（如A、B）连接绘制直线，图象如下：
(3) 联立直线与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=2x-15\\y=-x^2\end{cases}$
消去y得$-x^2=2x-15$，整理为$x^2+2x-15=0$，解得$x_1=3,x_2=-5$。
将$x=-5$代入直线解析式，得$y=2×(-5)-15=-25$，即点B坐标为$(-5,-25)$。
设直线$y=2x-15$与y轴交点为C，令$x=0$得$y=-15$，即$C(0,-15)$，$OC=15$。
则$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC× |x_A|+\frac{1}{2}× OC× |x_B|=\frac{1}{2}×15×(3+5)=60$。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$y=-x^2$；
(2) 函数图象如图所示。
(3) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{60}$。
【知识点】
二次函数解析式求解，函数交点计算，割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数与二次函数的综合基础题，考察了函数解析式的求法、交点计算以及坐标系中图形面积的计算技巧，掌握割补法简化面积计算是解题的关键。
【难度系数】
0.7

13. 【问题情境】
如图, 在 x 轴上有两点 $A(m,0), B(n,0)(n＞m＞0)$,分别过点 A,点 B 作 x 轴的垂线,交抛物线 $y=x^2$ 于点 C,D.直线 OC 交直线 BD 于点 E,直线 OD 交直线 AC 于点 F,点 E,F 的纵坐标分别记为 $y_E,y_F$.
【特例探究】
填空:当 $m = 1, n = 2$ 时, $y_E =$ , $y_F =$ ;
当 $m=3,n=5$ 时, $y_E =$ , $y_F =$ .
【归纳证明】
对任意 $m,n(n＞m＞0)$,猜想 $y_E$ 与 $y_F$ 的大小关系,并证明你的猜想.
【拓展应用】
(1)若将“抛物线 $y=x^2$”改为“抛物线 $y=ax^2(a＞0)$”,其他条件不变,请直接写出 $y_E$ 与 $y_F$ 的大小关系;
(2)连接 EF,AE.当 $S_{四边形OFEB}=3S_{△OFE}$ 时,直接写出 m 与 n 的大小关系及四边形 OFEA 的形状.

备用图

13. 【特例探究】2 2 15 15 解析:当 m=1,n=2 时,A(1,0),B(2,0),C(1,1),D(2,4),则直线 OC 的表达式为 y=x,直线 OD 的表达式为 y=2x,
∴ F(1,2),E(2,2),即$y_E=y_F=2$.同理,当 m=3,n=5 时,$y_E=y_F=15$.
【归纳证明】猜想:$y_E=y_F$. 证明:
∵ 点 A(m,0),B(n,0)(n＞m＞0),
∴ 由抛物线的表达式知 C(m,$m^2$),D(n,$n^2$).设直线 OC 的表达式为 y=kx,代入点 C 的坐标,得 km=$m^2$,k=m,即直线 OC 的表达式为 y=mx.同理,直线 OD 的表达式为 y=nx.
∴ E(n,mn),F(m,mn),即$y_E=y_F$.
【拓展应用】(1)$y_E=y_F$.
(2)n=2m,四边形 OFEA 是平行四边形.
解析:如图,根据上面的结论,可得出 E,F的纵坐标相同,即 EF//x 轴,则四边形ABEF 是矩形.
∵ $S_{四边形OFEB}=3S_{△OFE}$,
∴ $\frac{1}{2}(FE+OB)·BE=3×\frac{1}{2}FE·BE$,
∴ OB=2FE.
∵ OA=m,OB=n,
∴ AB=EF=n-m,
∴ n=2(n-m),
∴ n=2m.
∵ 四边形 ABEF 是矩形,
∴ FE=AB,
∴ OA=OB-AB=2FE-FE=FE.又
∵ EF//x 轴,
∴ 四边形OFEA 是平行四边形.

【分析】
1. 特例探究：先代入给定的m、n值得到A、B坐标，结合抛物线解析式求出C、D坐标，用待定系数法求直线OC、OD的解析式，分别将E的横坐标n代入OC解析式、F的横坐标m代入OD解析式，计算即可得到对应纵坐标。
2. 归纳证明：将m、n作为参数，重复特例的推导步骤，求出y_E和y_F的表达式，比较二者大小即可验证猜想。
3. 拓展应用(1)：将抛物线解析式替换为y=ax²，沿用上述推导方法，即可得到y_E和y_F的大小关系。
4. 拓展应用(2)：由y_E=y_F可得EF平行x轴，结合面积关系列等式化简得到m和n的关系，再根据边的平行与相等关系判断四边形OFEA的形状。
【解析】
特例探究
当m=1,n=2时，A(1,0)，B(2,0)，代入y=x²得C(1,1)，D(2,4)。
直线OC解析式为y=x，E横坐标为2，得$y_E=2$；直线OD解析式为y=2x，F横坐标为1，得$y_F=2$。
当m=3,n=5时，C(3,9)，D(5,25)，直线OC解析式为y=3x，E横坐标为5，得$y_E=15$；直线OD解析式为y=5x，F横坐标为3，得$y_F=15$。
归纳证明
猜想：$y_E=y_F$。
证明：已知A(m,0),B(n,0)(n＞m＞0)，代入抛物线$y=x^2$得$C(m,m^2)$，$D(n,n^2)$。
设直线OC解析式为$y=k_1x$，代入C(m,m²)得$k_1=m$，即$y=mx$，E横坐标为n，故$y_E=mn$。
设直线OD解析式为$y=k_2x$，代入D(n,n²)得$k_2=n$，即$y=nx$，F横坐标为m，故$y_F=mn$。
因此$y_E=y_F$。
拓展应用
(1) 抛物线改为$y=ax^2(a＞0)$时，同理得$C(m,am^2)$，$D(n,an^2)$，直线OC解析式为$y=amx$，$y_E=amn$；直线OD解析式为$y=anx$，$y_F=amn$，故$y_E=y_F$。
(2) 由$y_E=y_F$可知EF//x轴，四边形ABEF为矩形，$EF=AB=n-m$。
根据$S_{四边形OFEB}=3S_{△ OFE}$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}(EF+OB)· BE=3×\frac{1}{2}EF· BE$，化简得$OB=2EF$。
代入$OB=n$，$EF=n-m$，得$n=2(n-m)$，解得$n=2m$。
此时$EF=n-m=m=OA$，且EF//OA，故四边形OFEA是平行四边形。
【答案】
【特例探究】2；2；15；15
【归纳证明】$y_E=y_F$，证明见解析
【拓展应用】(1)$y_E=y_F$；(2)$n=2m$，四边形OFEA是平行四边形

【知识点】
二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定
【点评】
本题从特殊值探究出发，引导学生归纳一般规律并拓展应用，渗透了由特殊到一般的数学思想，综合考查了函数图象上点的坐标特征、图形面积计算、平行四边形判定等知识，兼顾基础与能力的考查。
【难度系数】
0.65