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1. 菱形和矩形都具有的性质是(
A.对角线互相平分
B.有一组邻边相等
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
A
)。A.对角线互相平分
B.有一组邻边相等
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先要明确菱形和矩形都是特殊的平行四边形，二者都具备平行四边形的所有性质，其次要分别牢记菱形、矩形独有的特殊性质，再对四个选项逐一比对，排除仅属于某一种图形的性质，剩下的就是二者共有的性质。
【解析】
我们先梳理菱形和矩形的性质：
1. 平行四边形共有的性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；
2. 菱形独有的性质：四条边都相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角；
3. 矩形独有的性质：四个内角都是直角、对角线相等。
接下来逐一分析选项：
A. 对角线互相平分：属于平行四边形共有的性质，菱形和矩形都具备，符合要求；
B. 有一组邻边相等：是菱形独有的性质，矩形邻边不一定相等，不符合；
C. 对角线相等：是矩形独有的性质，菱形对角线不一定相等，不符合；
D. 对角线互相垂直：是菱形独有的性质，矩形对角线不互相垂直，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；矩形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质辨析，解题的核心是区分清楚菱形和矩形的共性与独有特性，属于基础概念考查题，掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确菱形和矩形都是特殊的平行四边形，二者都具备平行四边形的所有性质，其次要分别牢记菱形、矩形独有的特殊性质，再对四个选项逐一比对，排除仅属于某一种图形的性质，剩下的就是二者共有的性质。
【解析】
我们先梳理菱形和矩形的性质：
1. 平行四边形共有的性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；
2. 菱形独有的性质：四条边都相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角；
3. 矩形独有的性质：四个内角都是直角、对角线相等。
接下来逐一分析选项：
A. 对角线互相平分：属于平行四边形共有的性质，菱形和矩形都具备，符合要求；
B. 有一组邻边相等：是菱形独有的性质，矩形邻边不一定相等，不符合；
C. 对角线相等：是矩形独有的性质，菱形对角线不一定相等，不符合；
D. 对角线互相垂直：是菱形独有的性质，矩形对角线不互相垂直，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；矩形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形的性质辨析，解题的核心是区分清楚菱形和矩形的共性与独有特性，属于基础概念考查题，掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 将两个矩形按如图 1-3-1 所示的方式放置,如果∠1=115°,那么∠2 的度数是(
A.55°
B.65°
C.75°
D.115°
图 1-3-1
图 1-3-2
B
)。A.55°
B.65°
C.75°
D.115°
图 1-3-1
图 1-3-2
答案
2.B
解析
【分析】
解决本题首先需要用到矩形的基本性质和平角、余角的相关知识。第一步，先根据平角为180°，求出∠1的邻补角度数；第二步，结合矩形四个内角均为90°的性质，可知∠2和∠1的邻补角都是同一个公共角的余角，根据同角的余角相等，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 平角的度数为180°，∠1=115°，
∴ ∠1的邻补角的度数为：180° - 115° = 65°。
又
∵ 矩形的四个内角都是90°，
∴ ∠2 + 两个矩形边的公共夹角 = 90°，∠1的邻补角 + 该公共夹角 = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠2 = 65°。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，平角的定义，余角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查矩形性质的实际应用，解题的关键是结合图形梳理清楚各角之间的数量关系，这类题是四边形章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要用到矩形的基本性质和平角、余角的相关知识。第一步，先根据平角为180°，求出∠1的邻补角度数；第二步，结合矩形四个内角均为90°的性质，可知∠2和∠1的邻补角都是同一个公共角的余角，根据同角的余角相等，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 平角的度数为180°，∠1=115°，
∴ ∠1的邻补角的度数为：180° - 115° = 65°。
又
∵ 矩形的四个内角都是90°，
∴ ∠2 + 两个矩形边的公共夹角 = 90°，∠1的邻补角 + 该公共夹角 = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠2 = 65°。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，平角的定义，余角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查矩形性质的实际应用，解题的关键是结合图形梳理清楚各角之间的数量关系，这类题是四边形章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
3. 如图1-3-2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。若AB=5，AD=12，则OC=
$\frac{13}{2}$
。答案
3. $\frac{13}{2}$
解析
【分析】
要求OC的长度，首先观察OC与矩形对角线的关系：OC是对角线AC的一半，因此只需先求出AC的长度即可。根据矩形的性质，矩形的四个角都是直角，且对边相等，可得BC=AD=12，△ABC为直角三角形，已知直角边AB=5、BC=12，可利用勾股定理求出斜边AC的长，再结合矩形对角线互相平分的性质，即可算出OC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°，BC=AD=12，且矩形对角线相等且互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$。
在Rt△ABC中，AB=5，BC=12，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
∴ $OC=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是熟练掌握矩形的边、对角线的相关性质，结合勾股定理计算对角线长度，再转化得到所求线段的长度，掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要求OC的长度，首先观察OC与矩形对角线的关系：OC是对角线AC的一半，因此只需先求出AC的长度即可。根据矩形的性质，矩形的四个角都是直角，且对边相等，可得BC=AD=12，△ABC为直角三角形，已知直角边AB=5、BC=12，可利用勾股定理求出斜边AC的长，再结合矩形对角线互相平分的性质，即可算出OC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°，BC=AD=12，且矩形对角线相等且互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$。
在Rt△ABC中，AB=5，BC=12，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
∴ $OC=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是熟练掌握矩形的边、对角线的相关性质，结合勾股定理计算对角线长度，再转化得到所求线段的长度，掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
4. 如图1-3-3，在矩形ABCD中，$AB=2BC$，在CD上取一点E，使$AE=AB$，则$∠ EBC$的度数是
图1-3-3 
图1-3-4
$15°$
。图1-3-3 图1-3-4答案
4. $15°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，结合矩形的性质梳理边和角的关系：首先矩形对边相等、四个角为直角，已知AB=2BC且AE=AB，可得到AE和AD的长度关系，利用直角三角形中30°角的判定得到对应角度；再结合平行线的内错角相等得到等腰△AEB的顶角度数，利用等腰三角形内角和计算底角∠ABE的度数，最后用直角∠ABC减去∠ABE即可得到∠EBC的度数。
【解析】
设$BC=a$，则$AB=2BC=2a$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD=BC=a$，$∠ D=∠ ABC=90°$，$AB// CD$。
又
∵ $AE=AB$，
∴ $AE=2a$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AE=2a$，$AD=a$，即直角边$AD$是斜边$AE$的一半，
∴ $∠ AED=30°$。
∵ $AB// CD$，内错角相等，
∴ $∠ EAB=∠ AED=30°$。
∵ $AE=AB$，$△ AEB$为等腰三角形，
∴ $∠ ABE=∠ AEB=\frac{180°-∠ EAB}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∴ $∠ EBC=∠ ABC-∠ ABE=90°-75°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
矩形的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，核心是通过边的数量关系推导特殊角度，需要熟练掌握矩形、直角三角形、等腰三角形的相关性质并灵活串联应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发，结合矩形的性质梳理边和角的关系：首先矩形对边相等、四个角为直角，已知AB=2BC且AE=AB，可得到AE和AD的长度关系，利用直角三角形中30°角的判定得到对应角度；再结合平行线的内错角相等得到等腰△AEB的顶角度数，利用等腰三角形内角和计算底角∠ABE的度数，最后用直角∠ABC减去∠ABE即可得到∠EBC的度数。
【解析】
设$BC=a$，则$AB=2BC=2a$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AD=BC=a$，$∠ D=∠ ABC=90°$，$AB// CD$。
又
∵ $AE=AB$，
∴ $AE=2a$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AE=2a$，$AD=a$，即直角边$AD$是斜边$AE$的一半，
∴ $∠ AED=30°$。
∵ $AB// CD$，内错角相等，
∴ $∠ EAB=∠ AED=30°$。
∵ $AE=AB$，$△ AEB$为等腰三角形，
∴ $∠ ABE=∠ AEB=\frac{180°-∠ EAB}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∴ $∠ EBC=∠ ABC-∠ ABE=90°-75°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
矩形的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，核心是通过边的数量关系推导特殊角度，需要熟练掌握矩形、直角三角形、等腰三角形的相关性质并灵活串联应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图1-3-4，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AD的长为
$4\sqrt{3}$
。答案
5. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OA=OB；再结合AE平分∠BAC且AE⊥BD的条件，可证明△ABE与△AOE全等，推出AB=AO，进而求出对角线AC的长度；最后在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长，根据矩形对边相等即可得到AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，AD=BC，AC=2AO（矩形的对角线相等且互相平分，四个角为直角，对边相等）
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠OAE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
在△ABE和△AOE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠OAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEO\end{array} $
∴△ABE≌△AOE（ASA）
∴AB=AO，
∵AB=4，
∴AO=4，AC=2AO=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
∵AD=BC，
∴AD=4√3。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于矩形性质的综合应用题型，解题的突破口是结合角平分线和垂线的条件证明三角形全等，得到矩形对角线与已知边的数量关系，再结合勾股定理求解未知边。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OA=OB；再结合AE平分∠BAC且AE⊥BD的条件，可证明△ABE与△AOE全等，推出AB=AO，进而求出对角线AC的长度；最后在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长，根据矩形对边相等即可得到AD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，AD=BC，AC=2AO（矩形的对角线相等且互相平分，四个角为直角，对边相等）
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠OAE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
在△ABE和△AOE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠OAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEO\end{array} $
∴△ABE≌△AOE（ASA）
∴AB=AO，
∵AB=4，
∴AO=4，AC=2AO=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
∵AD=BC，
∴AD=4√3。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于矩形性质的综合应用题型，解题的突破口是结合角平分线和垂线的条件证明三角形全等，得到矩形对角线与已知边的数量关系，再结合勾股定理求解未知边。
【难度系数】
0.7
6. 如图1-3-5，已知四边形ACBD是矩形，点B在直线MN上，若BD平分∠ABN，请写出两个正确的结论，并说明理由。
答案
6. 解:结论1:BC 平分∠ABM。
理由:
∵四边形 ACBD 是矩形,
∴∠CBD=90°,
∴∠CBO+∠OBD=90°,∠CBM+∠DBN=90°。
∵BD 平分∠ABN,
∴∠OBD=∠DBN,
∴∠CBO=∠CBM,
∴BC 平分∠ABM。
结论2:CD//MN。
理由:
∵四边形 ACBD 是矩形,
∴OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB。
∵BD 平分∠ABN,
∴∠OBD=∠DBN,
∴∠DBN=∠ODB,
∴CD//MN。
(答案不唯一)
理由:
∵四边形 ACBD 是矩形,
∴∠CBD=90°,
∴∠CBO+∠OBD=90°,∠CBM+∠DBN=90°。
∵BD 平分∠ABN,
∴∠OBD=∠DBN,
∴∠CBO=∠CBM,
∴BC 平分∠ABM。
结论2:CD//MN。
理由:
∵四边形 ACBD 是矩形,
∴OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB。
∵BD 平分∠ABN,
∴∠OBD=∠DBN,
∴∠DBN=∠ODB,
∴CD//MN。
(答案不唯一)
解析
【分析】
要推导正确结论，可先回忆矩形的相关性质：矩形内角为直角、对角线互相平分且相等，再结合已知BD平分∠ABN的条件，从角的等量关系、直线的位置关系两类方向入手：①先由平角∠MBN=180°、矩形中∠CBD=90°，可得两组互余的角，结合角平分线的等角关系，利用等角的余角相等即可推出BC平分∠ABM；②再利用矩形对角线互相平分的性质得OB=OD，推出∠OBD=∠ODB，结合角平分线条件可得内错角相等，进而推出CD//MN。
【解析】
结论1：BC平分∠ABM
理由：
∵四边形ACBD是矩形，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBO+∠OBD=90°。
又
∵点B在直线MN上，∠MBN为平角，即∠CBM+∠CBD+∠DBN=180°，
∴∠CBM+∠DBN=90°。
∵BD平分∠ABN，
∴∠OBD=∠DBN，
根据等角的余角相等，可得∠CBO=∠CBM，
∴BC平分∠ABM。
结论2：CD//MN
理由：
∵四边形ACBD是矩形，
∴矩形对角线互相平分，即OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB。
∵BD平分∠ABN，
∴∠OBD=∠DBN，
∴∠DBN=∠ODB，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得CD//MN。
（结论不唯一，合理即可）
【答案】
结论1：BC平分∠ABM；结论2：CD//MN（答案不唯一，理由见解析）
【知识点】
矩形的性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是开放性探究题，考查基础几何性质的综合应用，解题时需结合已知条件梳理角、线的等量关系，推导过程逻辑清晰即可，可选结论较多，难度较低。
【难度系数】
0.7
要推导正确结论，可先回忆矩形的相关性质：矩形内角为直角、对角线互相平分且相等，再结合已知BD平分∠ABN的条件，从角的等量关系、直线的位置关系两类方向入手：①先由平角∠MBN=180°、矩形中∠CBD=90°，可得两组互余的角，结合角平分线的等角关系，利用等角的余角相等即可推出BC平分∠ABM；②再利用矩形对角线互相平分的性质得OB=OD，推出∠OBD=∠ODB，结合角平分线条件可得内错角相等，进而推出CD//MN。
【解析】
结论1：BC平分∠ABM
理由：
∵四边形ACBD是矩形，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBO+∠OBD=90°。
又
∵点B在直线MN上，∠MBN为平角，即∠CBM+∠CBD+∠DBN=180°，
∴∠CBM+∠DBN=90°。
∵BD平分∠ABN，
∴∠OBD=∠DBN，
根据等角的余角相等，可得∠CBO=∠CBM，
∴BC平分∠ABM。
结论2：CD//MN
理由：
∵四边形ACBD是矩形，
∴矩形对角线互相平分，即OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB。
∵BD平分∠ABN，
∴∠OBD=∠DBN，
∴∠DBN=∠ODB，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得CD//MN。
（结论不唯一，合理即可）
【答案】
结论1：BC平分∠ABM；结论2：CD//MN（答案不唯一，理由见解析）
【知识点】
矩形的性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是开放性探究题，考查基础几何性质的综合应用，解题时需结合已知条件梳理角、线的等量关系，推导过程逻辑清晰即可，可选结论较多，难度较低。
【难度系数】
0.7
7. 如图1-3-6，在矩形ABCD中，连接BD，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD=3，AE=9，求AB的长。
图1-3-6
图1-3-6
答案
7. 解:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB//CD,∠A=90°,
∴∠CDE=∠E。
∵DE 平分∠BDC,
∴∠CDE=∠BDE,
∴∠BDE=∠E,
∴BD=BE。
设AB=x,则BD=BE=9-x。
在Rt△DAB中,$DA^2+AB^2=BD^2$,
即$3^2+x^2=(9-x)^2$,解得x=4。
∴AB 的长为 4。
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB//CD,∠A=90°,
∴∠CDE=∠E。
∵DE 平分∠BDC,
∴∠CDE=∠BDE,
∴∠BDE=∠E,
∴BD=BE。
设AB=x,则BD=BE=9-x。
在Rt△DAB中,$DA^2+AB^2=BD^2$,
即$3^2+x^2=(9-x)^2$,解得x=4。
∴AB 的长为 4。
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形对边平行且四个角为直角，可得AB//CD，∠A=90°，结合平行线内错角相等，得到∠CDE=∠E；再根据DE是∠BDC的平分线，可得∠CDE=∠BDE，等量代换后得到∠BDE=∠E，根据等角对等边推出BD=BE；接下来设AB的长为x，用含x的式子表示出BD的长度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理列方程求解即可得到AB的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠A=90°，
∴∠CDE=∠E。
∵DE平分∠BDC，
∴∠CDE=∠BDE，
∴∠BDE=∠E，
∴BD=BE。
设AB=x，则BD=BE=9-x。
在Rt△DAB中，由勾股定理得$DA^2+AB^2=BD^2$，
即$3^2+x^2=(9-x)^2$，
展开得$9+x^2=81-18x+x^2$，
化简解得x=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是结合角平分线和平行线的性质推导边的等量关系，再借助勾股定理建立方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的性质入手，矩形对边平行且四个角为直角，可得AB//CD，∠A=90°，结合平行线内错角相等，得到∠CDE=∠E；再根据DE是∠BDC的平分线，可得∠CDE=∠BDE，等量代换后得到∠BDE=∠E，根据等角对等边推出BD=BE；接下来设AB的长为x，用含x的式子表示出BD的长度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理列方程求解即可得到AB的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠A=90°，
∴∠CDE=∠E。
∵DE平分∠BDC，
∴∠CDE=∠BDE，
∴∠BDE=∠E，
∴BD=BE。
设AB=x，则BD=BE=9-x。
在Rt△DAB中，由勾股定理得$DA^2+AB^2=BD^2$，
即$3^2+x^2=(9-x)^2$，
展开得$9+x^2=81-18x+x^2$，
化简解得x=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是结合角平分线和平行线的性质推导边的等量关系，再借助勾股定理建立方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
