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9. 小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在直线为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形如图 1-1-9①②。
图 1-1-9
(1)你认为
(2)请列式计算两个立体图形的体积并求出它们的比值。
图 1-1-9
(1)你认为
小红
的说法正确；(2)请列式计算两个立体图形的体积并求出它们的比值。
答案
解:(1)小红
(2)题图 1-1-9①的体积:π×3²×6−1/3π×3²×(6−3)=54π−9π=45π(cm³),
题图 1-1-9②的体积:π×3²×3+1/3π×3²×(6−3)=27π+9π=36π(cm³),所以它们的比值为45π:36π=5/4。
(2)题图 1-1-9①的体积:π×3²×6−1/3π×3²×(6−3)=54π−9π=45π(cm³),
题图 1-1-9②的体积:π×3²×3+1/3π×3²×(6−3)=27π+9π=36π(cm³),所以它们的比值为45π:36π=5/4。
解析
【分析】
(1) 要判断两人说法是否正确，需明确：同一平面图形绕不同的轴旋转，得到的立体图形的结构不同，体积不一定相等，因此可初步判断小红的说法正确。
(2) 计算体积时先分析两个旋转后立体图形的构成：
① 绕上底旋转得到的甲图形，是底面半径3cm、高6cm的圆柱，挖去一个底面半径3cm、高(6-3)cm的圆锥，体积等于圆柱体积减圆锥体积；
② 绕下底旋转得到的乙图形，是底面半径3cm、高3cm的圆柱，加上一个底面半径3cm、高(6-3)cm的圆锥，体积等于圆柱体积加圆锥体积。
最后代入圆柱体积公式$V=π r^2h$、圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$计算，再求比值即可。
【解析】
(1) 由于旋转轴不同，旋转后得到的立体图形结构不同，体积不相等，因此小红的说法正确。
(2) 计算图①（甲）的体积：
圆柱体积：$π × 3^2 × 6 = 54π \ (\mathrm{cm}^3)$
挖去的圆锥体积：$\frac{1}{3} × π × 3^2 × (6-3) = 9π \ (\mathrm{cm}^3)$
甲的体积：$54π - 9π = 45π \ (\mathrm{cm}^3)$
计算图②（乙）的体积：
圆柱体积：$π × 3^2 × 3 = 27π \ (\mathrm{cm}^3)$
加上的圆锥体积：$\frac{1}{3} × π × 3^2 × (6-3) = 9π \ (\mathrm{cm}^3)$
乙的体积：$27π + 9π = 36π \ (\mathrm{cm}^3)$
二者体积的比值：$45π:36π = \frac{5}{4}$
【答案】
(1) 小红
(2) 图①体积为$45π \ \mathrm{cm}^3$，图②体积为$36π \ \mathrm{cm}^3$，体积比值为$\frac{5}{4}$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题解题的核心是准确判断平面图形绕不同轴旋转后得到的立体图形的组成，再结合圆柱、圆锥的体积公式分别计算体积即可，需要注意旋转轴的差异会导致最终立体图形的结构不同，不能仅凭平面图形相同就判定旋转后体积相等。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断两人说法是否正确，需明确：同一平面图形绕不同的轴旋转，得到的立体图形的结构不同，体积不一定相等，因此可初步判断小红的说法正确。
(2) 计算体积时先分析两个旋转后立体图形的构成：
① 绕上底旋转得到的甲图形，是底面半径3cm、高6cm的圆柱，挖去一个底面半径3cm、高(6-3)cm的圆锥，体积等于圆柱体积减圆锥体积；
② 绕下底旋转得到的乙图形，是底面半径3cm、高3cm的圆柱，加上一个底面半径3cm、高(6-3)cm的圆锥，体积等于圆柱体积加圆锥体积。
最后代入圆柱体积公式$V=π r^2h$、圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$计算，再求比值即可。
【解析】
(1) 由于旋转轴不同，旋转后得到的立体图形结构不同，体积不相等，因此小红的说法正确。
(2) 计算图①（甲）的体积：
圆柱体积：$π × 3^2 × 6 = 54π \ (\mathrm{cm}^3)$
挖去的圆锥体积：$\frac{1}{3} × π × 3^2 × (6-3) = 9π \ (\mathrm{cm}^3)$
甲的体积：$54π - 9π = 45π \ (\mathrm{cm}^3)$
计算图②（乙）的体积：
圆柱体积：$π × 3^2 × 3 = 27π \ (\mathrm{cm}^3)$
加上的圆锥体积：$\frac{1}{3} × π × 3^2 × (6-3) = 9π \ (\mathrm{cm}^3)$
乙的体积：$27π + 9π = 36π \ (\mathrm{cm}^3)$
二者体积的比值：$45π:36π = \frac{5}{4}$
【答案】
(1) 小红
(2) 图①体积为$45π \ \mathrm{cm}^3$，图②体积为$36π \ \mathrm{cm}^3$，体积比值为$\frac{5}{4}$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题解题的核心是准确判断平面图形绕不同轴旋转后得到的立体图形的组成，再结合圆柱、圆锥的体积公式分别计算体积即可，需要注意旋转轴的差异会导致最终立体图形的结构不同，不能仅凭平面图形相同就判定旋转后体积相等。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
10. 如图1-1-10，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，用线连起来。
图 1-1-10
10. 如图1-1-10，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，用线连起来。
图 1-1-10
答案
解:如答图1-1-1所示，
解析
【分析】
解题要依据“面动成体”的原理来思考：首先逐一分析第一行每个平面图形的结构，判断每个部分绕虚线旋转后会形成什么立体图形，再将得到的组合立体图形和第二行的几何体一一对应即可。可以先记牢常见平面图形旋转的结果：半圆绕直径旋转得球，矩形绕一条边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，再推导组合图形的旋转结果。
【解析】
我们逐个分析第一行的图形：
1. 第一个图形是上下各1个直角三角形、中间1个矩形的组合图形，绕虚线旋转后，上下两个三角形各形成1个圆锥，中间矩形形成1个圆柱，对应第二行第3个几何体；
2. 第二个图形是半圆，它绕作为直径的虚线旋转一周，会形成球，对应第二行第1个几何体；
3. 第三个图形是矩形，它绕作为侧边的虚线旋转一周，会形成圆柱，对应第二行第4个几何体；
4. 第四个图形是直角三角形，它绕作为直角边的虚线旋转一周，会形成圆锥，对应第二行第5个几何体；
5. 第五个图形是上下两个直角三角形的组合图形，绕虚线旋转后，会形成两个底面重合的圆锥，对应第二行第2个几何体。
按照以上对应关系连线即可。
【答案】
如答图1-1-1所示，
【知识点】
面动成体；旋转体形成；图形旋转
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的对应关系，核心是掌握常见基础平面图形旋转后的立体图形，解题过程能锻炼空间想象能力，熟悉基础图形的旋转规律是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题要依据“面动成体”的原理来思考：首先逐一分析第一行每个平面图形的结构，判断每个部分绕虚线旋转后会形成什么立体图形，再将得到的组合立体图形和第二行的几何体一一对应即可。可以先记牢常见平面图形旋转的结果：半圆绕直径旋转得球，矩形绕一条边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，再推导组合图形的旋转结果。
【解析】
我们逐个分析第一行的图形：
1. 第一个图形是上下各1个直角三角形、中间1个矩形的组合图形，绕虚线旋转后，上下两个三角形各形成1个圆锥，中间矩形形成1个圆柱，对应第二行第3个几何体；
2. 第二个图形是半圆，它绕作为直径的虚线旋转一周，会形成球，对应第二行第1个几何体；
3. 第三个图形是矩形，它绕作为侧边的虚线旋转一周，会形成圆柱，对应第二行第4个几何体；
4. 第四个图形是直角三角形，它绕作为直角边的虚线旋转一周，会形成圆锥，对应第二行第5个几何体；
5. 第五个图形是上下两个直角三角形的组合图形，绕虚线旋转后，会形成两个底面重合的圆锥，对应第二行第2个几何体。
按照以上对应关系连线即可。
【答案】
如答图1-1-1所示，
【知识点】
面动成体；旋转体形成；图形旋转
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的对应关系，核心是掌握常见基础平面图形旋转后的立体图形，解题过程能锻炼空间想象能力，熟悉基础图形的旋转规律是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
11. 如图1-1-11，长方形的长和宽分别是7 cm和3 cm，分别绕着它的长和宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：
(1)如图1-1-11①，将图形绕着它的宽所在的直线旋转一周，得到的是什么样的几何体？求得到的几何体的体积(结果保留π)。
(2)如图1-1-11②，将图形绕着它的长所在的直线旋转一周，得到的是什么样的几何体？求得到的几何体的体积(结果保留π)。
(1)如图1-1-11①，将图形绕着它的宽所在的直线旋转一周，得到的是什么样的几何体？求得到的几何体的体积(结果保留π)。
(2)如图1-1-11②，将图形绕着它的长所在的直线旋转一周，得到的是什么样的几何体？求得到的几何体的体积(结果保留π)。
答案
解:(1)得到的是底面半径是7 cm,高是3 cm 的圆柱，V=π×7²×3=147π(cm³),所以得到的几何体的体积是147π cm³。
(2)得到的是底面半径是3 cm,高是7 cm 的圆柱，V=π×3²×7=63π(cm³),所以得到的几何体的体积是63π cm³。
(2)得到的是底面半径是3 cm,高是7 cm 的圆柱，V=π×3²×7=63π(cm³),所以得到的几何体的体积是63π cm³。
解析
【分析】
本题基于“面动成体”的原理考查旋转体体积的计算，解题思路如下：首先，长方形绕任意一边所在直线旋转一周会形成圆柱；其次，判断旋转后圆柱的参数：绕哪条边旋转，这条边的长度就是圆柱的高，长方形另一条边的长度就是圆柱的底面半径；最后代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
(1) 绕宽所在直线旋转一周时，长方形的宽为圆柱的高，长为圆柱的底面半径，得到底面半径是7 cm、高是3 cm的圆柱。
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为高）：
$V=π×7^2×3=π×49×3=147π\ \mathrm{cm}^3$
(2) 绕长所在直线旋转一周时，长方形的长为圆柱的高，宽为圆柱的底面半径，得到底面半径是3 cm、高是7 cm的圆柱。
代入体积公式得：
$V=π×3^2×7=π×9×7=63π\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) 得到底面半径为7cm、高为3cm的圆柱，体积为$147π\ \mathrm{cm}^3$；
(2) 得到底面半径为3cm、高为7cm的圆柱，体积为$63π\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；图形旋转
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的规律及圆柱体积的计算，解题关键是准确对应旋转后圆柱的底面半径、高与原长方形长、宽的关系，避免混淆参数导致计算错误。
【难度系数】
0.85
本题基于“面动成体”的原理考查旋转体体积的计算，解题思路如下：首先，长方形绕任意一边所在直线旋转一周会形成圆柱；其次，判断旋转后圆柱的参数：绕哪条边旋转，这条边的长度就是圆柱的高，长方形另一条边的长度就是圆柱的底面半径；最后代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
(1) 绕宽所在直线旋转一周时，长方形的宽为圆柱的高，长为圆柱的底面半径，得到底面半径是7 cm、高是3 cm的圆柱。
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为高）：
$V=π×7^2×3=π×49×3=147π\ \mathrm{cm}^3$
(2) 绕长所在直线旋转一周时，长方形的长为圆柱的高，宽为圆柱的底面半径，得到底面半径是3 cm、高是7 cm的圆柱。
代入体积公式得：
$V=π×3^2×7=π×9×7=63π\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) 得到底面半径为7cm、高为3cm的圆柱，体积为$147π\ \mathrm{cm}^3$；
(2) 得到底面半径为3cm、高为7cm的圆柱，体积为$63π\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；图形旋转
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的规律及圆柱体积的计算，解题关键是准确对应旋转后圆柱的底面半径、高与原长方形长、宽的关系，避免混淆参数导致计算错误。
【难度系数】
0.85
