1. (1)已知一次函数$y=kx-2k+1(k≠0)$，当系数$k$取不同的值时，会得到不同的直线，这些直线都经过一个定点$C$，则定点$C$的坐标为；
(2)已知坐标系中两点$A(-3,-1),B(-1,2)$，一次函数$y=kx-2k+1(k≠0)$的图象与线段$AB$有交点，求$k$的取值范围。

1. (1) (2,1) 解析:$y=kx-2k+1=(x-2)k+1$,当$x=2$时,$y=1$,$\therefore$ 无论 $k$ 取何值,该函数的图象总经过的定点 $C$ 的坐标为(2,1).
(2)$\because y=kx-2k+1$ 的图象总经过定点 $C(2,1)$,$\therefore$ 把 $A(-3,-1)$代入 $y=kx-2k+1$,得$-3k-2k+1=-1$,解得$k=\frac{2}{5}$,把 $B(-1,2)$代入$y=kx-2k+1$,得$-k-2k+1=2$,解得 $k=-\frac{1}{3}$,$\therefore$ 一次函数 $y=kx-2k+1(k≠0)$ 的图象与线段 $AB$ 有交点时, $k$ 的取值范围是$-\frac{1}{3} ≤ k ≤ \frac{2}{5}$且 $k≠0$.

2. (2026·杭州期末)一次函数$y_1=ax+b(a≠0)$的图象恒过定点$(1,1)$。
(1)①若一次函数的图象还经过$(2,3)$，求该一次函数的表达式；
②若当$-3≤x≤4$时，一次函数$y_1$的最大值和最小值的差是6.求$b$的值。
(2)对于一次函数$y_2=2x+a$，当$x＞0$时，$y_1＜y_2$恒成立，求$a$的取值范围。

2. (1)①$\because$ 该一次函数的表达式为 $y_1 = ax + b( a ≠ 0 )$,图象恒过定点$(1,1)$,还经过$(2,3)$,$\therefore \begin{cases} a+b=1, \\ 2a+b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=2, \\ b=-1, \end{cases}$ $\therefore$ 该一次函数的表达式为 $y_1 = 2x-1$.
②$\because$ 图象恒过定点$(1,1)$,$\therefore a+b=1$,即 $b=1-a$,$\therefore y_1 = ax+1-a$,当$-3 ≤ x ≤ 4$时,分两种情况讨论:当 $a＞0$ 时,$y_1$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore$ 当 $x=4$ 时,$y_1$ 有最大值为 $4a+1-a=3a+1$,当 $x=-3$时,$y_1$ 有最小值为$-3a+1-a=-4a+1$,由题意得$(3a+1)-(-4a+1)=6$,解得 $a=\frac{6}{7}$,此时 $b=1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}$;当 $a＜0$ 时,$y_1$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $x=-3$ 时,$y_1$ 有最大值为 $-3a+1-a=-4a+1$,$\therefore$ 当 $x=4$ 时,$y_1$ 有最小值为 $4a+1-a=3a+1$,由题意得$(-4a+1)-(3a+1)=6$,解得 $a=-\frac{6}{7}$,此时 $b=1-(-\frac{6}{7})=\frac{13}{7}$.故 $b$ 的值为 $\frac{1}{7}$或$\frac{13}{7}$.
(2)$\because$ 一次函数 $y_1=ax+b$ 的图象恒过定点$(1,1)$,$\therefore a+b=1$,即$b=1-a$,$\therefore y_1 = ax+1-a$,$\because$ 当 $x＞0$ 时,$y_1 ＜ y_2$ 恒成立,即 $ax+1-a ＜ 2x+a$,整理得$(a-2)x+(1-2a)＜0$,设 $y=(a-2)x+(1-2a)$,需$y＜0$对 $x＞0$ 恒成立,分情况讨论:当 $a-2=0$,即 $a=2$ 时,$y=-3＜0$,满足条件;当 $a-2 ≠ 0$ 时,若 $a-2＞0$,即 $a＞2$,则 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,不满足条件;若 $a-2＜0$,即 $a＜2$,则 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,当 $x=0$ 时,$y=1-2a$,此时 $y＜1-2a$,要使 $y＜0$ 恒成立,$\therefore 1-2a ≤ 0$,解得 $a ≥ \frac{1}{2}$,$\therefore \frac{1}{2} ≤ a ＜ 2$.综上,$a$ 的取值范围为 $\frac{1}{2} ≤ a ≤ 2$.

3. ★★★ (1)点$P(a,a+1)$一定在直线$y=$上；
(2)点$P(a+1,2a+5)$一定在直线$y=$上.

3. (1) $x+1$ 解析:当 $x=a$ 时,$y=a+1=x+1$.
(2) $2x+3$ 解析:当 $x=a+1$ 时,$y=2a+5=2(a+1)+3=2x+3$.

4. 在平面直角坐标系中，A(2,0),B(0,3),过点B作直线l//x轴，点P(a,3)是直线l上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰直角三角形APQ，∠APQ=90°，直线AQ交y轴于点C.
(1)当a=1时，求点Q的坐标和直线AQ的函数表达式；
(2)当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，求点Q运动路线对应的函数表达式.

4. (1)过点 $P$ 作 $PE ⊥ OA$,垂足为 $E$,过点$Q$ 作 $QF ⊥ BP$,垂足为 $F$,如图.$\because BP // OA$,$PE ⊥ OA$, $\therefore ∠ EPF = ∠ PEO = 90°$.$\because ∠ APQ=90°$,$\therefore ∠ EPA = ∠ FPQ = 90° - ∠ APF$. 在 $△ PEA$ 和 $△ PFQ$ 中,$\begin{cases} ∠ EPA = ∠ FPQ, \\ ∠ PEA = ∠ PFQ, \\ PA = PQ, \end{cases}$ $\therefore △ PEA ≌ △ PFQ$(AAS),$\therefore PE=PF$,$EA=QF$.$\because a=1$,$\therefore P(1,3)$.$\therefore OE=BP=1$,$PE=3$.$\because A(2,0)$,$\therefore OA=2$,$\therefore EA=1$,$\therefore PF=3$,$QF=1$,$\therefore$ 点 $Q$的坐标为 $(4,4)$. 设直线 $AQ$ 的函数表达式为 $y=kx+b$,则$\begin{cases} 4k+b=4, \\ 2k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2, \\ b=-4, \end{cases}$ 则直线 $AQ$ 的函数表达式为 $y=2x-4$.
(2) 点 $P$ 的坐标为 $(a,3)$,由(1)知 $PF=PE=3$,$QF=AE=|2-a|$.$\therefore$ 点 $Q$ 的坐标为 $(a+3,5-a)$.$\because$ 无论 $a$ 为何值,点 $Q$ 的坐标$(a+3,5-a)$都满足一次函数表达式 $y=-x+8$,$\therefore$ 点 $Q$ 运动路线对应的函数表达式为 $y=-x+8$.