2. 在等边三角形 $ ABC $ 的两边 $ AB,AC $ 所在直线上分别有两点 $ M,N $,$ P $ 为 $ △ ABC $ 外一点,且 $ ∠ MPN=60°, ∠ BPC=120°, BP=CP $.探究:当点 $ M,N $ 分别在直线 $ AB,AC $ 上移动时,$ BM,NC,MN $ 之间的数量关系.
(1)如图①,当点 $ M,N $ 在边 $ AB,AC $ 上,试探究 $ MN,BM,CN $ 之间的数量关系;
(2)如图②,当点 $ M,N $ 分别在边 $ AB,CA $ 的延长线上时,试探究 $ MN,BM,CN $ 之间的数量关系.

(1)延长AC至点H,使CH=BM,连结PH.由已知条件可得∠PBM = ∠PCN = 90°,
∴ ∠PCH = 90°,
∴ ∠PBM = ∠PCH.在△PBM 和△PCH 中,$\begin{cases} BM=CH, \\ ∠PBM=∠PCH, \\ PB=PC, \end{cases}$
∴ △PBM≌△PCH(SAS),
∴ PM=PH,∠BPM=∠CPH.
∵ ∠BPM+∠CPN=60°,
∴ ∠CPN+∠CPH = 60°,
∴ ∠MPN = ∠HPN.在△MPN 和△HPN 中,$\begin{cases} PM=PH, \\ ∠MPN=∠HPN, \\ PN=PN, \end{cases}$
∴ △MPN≌△HPN(SAS),
∴ MN=HN=CH+CN=BM+CN.
(2)在AC上截取CK = BM,连结PK.在△PBM 和△PCK 中,$\begin{cases} PB=PC, \\ ∠PBM=∠PCK=90°, \\ BM=CK, \end{cases}$,
∴ △PBM≌△PCK(SAS),
∴ PM=PK,∠BPM=∠CPK.
∵ ∠BPM+∠BPN=60°,
∴ ∠CPK+∠BPN=60°,
∴ ∠KPN=60°,
∴ ∠MPN=∠KPN.在△MPN 和△KPN 中,$\begin{cases} PM=PK, \\ ∠MPN=∠KPN, \\ PN=PN, \end{cases}$,
∴ △MPN≌△KPN (SAS),
∴ MN=KN.
∵ KN=CN-CK=CN-BM,
∴ MN=CN-BM.

3. 如图，$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAC$，$BF⊥ AE$于点$E$，交$AF$于点$F$，连结$CF$.
(1) 如图①所示，当$∠ EAF$在$∠ BAC$内部时，求证：$EF=BE+CF$；
(2) 如图②所示，当$∠ EAF$的边$AE$，$AF$分别在$∠ BAC$外部、内部时，求证：$CF=BF+2BE$.

(1)在EF上截取EH=BE,连结AH.
∵ EB=EH,AE⊥BF,
∴ AB=AH.
∵ AB=AH,AE⊥BH,
∴ ∠BAE=∠EAH.
∵ AB=AC,
∴ AC=AH.
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴ ∠BAE+∠CAF=∠EAF,
∴ ∠BAE+∠CAF = ∠EAH+∠FAH,
∴ ∠CAF=∠HAF.在△ACF 和△AHF 中,$\begin{cases} AC=AH, \\ ∠CAF=∠HAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △ACF≌△AHF(SAS),
∴ CF=HF,
∴ EF=EH+HF=BE+CF.
(2)在BE的延长线上截取EN=BE,连结AN.
∵ AE⊥BF,BE=EN,AB=AC,
∴ AN=AB=AC.
∵ AN=AB,AE⊥BN,
∴ ∠BAE=∠NAE.
∵ ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAC,
∴ ∠EAF+∠NAE = $\frac{1}{2}$(∠BAC+2∠NAE),
∴ ∠FAN=$\frac{1}{2}$∠CAN,
∴ ∠FAN=∠CAF.
在△ACF 和△ANF 中,$\begin{cases} AC=AN, \\ ∠CAF=∠NAF, \\ AF=AF, \end{cases}$,
∴ △ACF≌△ANF(SAS),
∴ CF=NF,
∴ CF=BF+BE+EN=BF+2BE.