1. （2026·北京期中）在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ ABC=α$，点$D$是直线$BC$上一点，点$C$关于射线$AD$的对称点为点$E$.作直线$BE$交射线$AD$于点$F$.连结$CF$.
(1)如图①，点$D$在线段$BC$上，求$∠ AFB$的大小（用含$α$的代数式表示）.
(2)如果$∠ α=60°$.
①如图②，当点$D$在线段$BC$上时，用等式表示线段$AF$，$BF$，$CF$之间的数量关系，并证明；
②如图③，当点$D$在线段$CB$的延长线上时，补全图形，直接写出线段$AF$，$BF$，$CF$之间的数量关系.

1. (1) 连结AE,CE,
∵ 点E为点C关于AD的对称点，
∴ AE=AC,EF=FC,∠EAD=∠CAD,设∠EAD=∠CAD=x,则∠CAE=2x.
∵ AB=AC,
∴ ∠ACB=∠ABC=α,
∴ ∠BAE=180°-2x-2α,
∴ ∠ABE+∠AEB=2x+2α.
∵ AE=AB,
∴ ∠ABE=∠AEB=x+α,
∴ ∠AFB=∠AEB-∠EAD=α.

(2)①AF=BF+CF,证明如下:在直线BE上取点G,使FG=FA,连结AG,
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=α=60°,
∴ △ABC为等边三角形,∠BAC=60°,由(1)知,∠AFB=α=60°,
∴ △AFG为等边三角形,
∴ AG=AF,∠GAF=60°,
∴ ∠GAB=∠FAC.在△ABG和△ACF中,
$\begin{cases} AG=AF, \\ ∠GAB=∠FAC, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴ △ABG≌△ACF(SAS),
∴ BG=CF,
∴ CF+BF=BG+BF=GF.
∵ GF=AF,
∴ AF=BF+CF.
②补全图形如图. CF=AF+BF. 解析:连结AE,
∵ 点E为点C关于AD的对称点,
∴ AE=AC,EF=FC,∠EAD=∠CAD,设∠EAD=∠CAD=x,则∠CAE=2x.
∵ AB=AC=AE,
∴ ∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°,
∴ ∠DAB=x-60°,
∴ ∠EAB=x+x-60°=2x-60°.
∵ AE = AB,
∴ ∠ABE = ∠AEB = $\frac{180°-2x+60°}{2} = 120°-x$,
∴ ∠AFE = ∠DAB+∠ABE=x-60°+120°-x=60°.在BE上取点G,使得FG=FA,连结AG,
∴ △AFG为等边三角形,
∴ AG=AF,∠GAF=60°,
∴ ∠GAE = ∠FAB = x - 60°. 在 △AGE 和 △AFB 中,
$\begin{cases} AG=AF, \\ ∠GAE=∠FAB, \\ AE=AB, \end{cases}$
∴ △AGE≌△AFB(SAS),
∴ BF=EG,
∴ EF=EG+FG=BF+AF,
∴ CF=EF=BF+AF.

2. |项目式学习【问题发现】
(1)如图①,已知△ABC,以AB,AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE,连结CD,BE.试探究CD与BE的数量关系,并说明理由.
【问题探究】
(2)如图②,在四边形ABCD中,∠ABC=45°,∠CAD=90°,AC=AD,AB=2BC=60.求BD的长.
【问题解决】
(3)如图③,在△ABC中,AC=2,BC=3,∠ACB是一个变化的角,以AB为边向△ABC外作等边△ABD,连结CD,试探究随着∠ACB的变化,CD的长是否存在最大值.若存在,求出CD长的最大值及此时∠ACB的大小;若不存在,请说明理由.

2. (1) CD = BE. 理由:
∵ △ABD,△ACE 都是等边三角形,
∴ AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°,
∴ ∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE中,
$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠DAC=∠BAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴ △DAC≌△BAE(SAS),
∴ CD=BE.
(2) 以AB为边向外作等腰直角△ABT,连结CT.
∵ ∠BAT=∠CAD=90°,
∴ ∠BAD=∠TAC.在△TAC和△BAD中,
$\begin{cases} AT=AB, \\ ∠TAC=∠BAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴ △TAC≌△BAD(SAS),
∴ CT = BD.
∵ ∠ABT=∠ABC=45°,
∴ ∠TBC=90°.
∵ AB=2BC=60,
∴ BT=$60\sqrt{2}$,BC = 30,
∴ CT = $\sqrt{BC^2+BT^2} = \sqrt{30^2+(60\sqrt{2})^2} = 90$,
∴ BD=TC=90.
(3) 存在.以BC为边向外作等边△BCF,连结AF.
∵ △ABD,△BCF都是等边三角形,
∴ BD = BA, BC = BF,∠DBA=∠CBF=60°,
∴ ∠DBC = ∠ABF.在△DBC和△ABF中,
$\begin{cases} BD=AB, \\ ∠DBC=∠ABF, \\ BC=BF, \end{cases}$
∴ △DBC≌△ABF(SAS),
∴ DC = AF.
∵ AC=2,CF=BC=3,
∴ AF≤AC+CF,
∴ AF≤5,
∴ 当A,C,F三点共线时,AF的值最大,最大值为5,
∴ CD的最大值为5,此时∠ACB=120°.