1. 如图,在$△ ABC$外分别以$AB$,$AC$为边作正方形$ABDE$和正方形$ACFG$,连结$EG$,$AM$是$△ ABC$中$BC$边上的中线,延长$MA$交$EG$于点$H$,求证:
(1) $AM=\frac{1}{2}EG$;
(2) $AH ⊥ EG$;
(3) $EG^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$.

(1)延长 AM 到点 N,使 MN=MA,连结 BN.
∵ AM 是△ABC中 BC 边上的中线,
∴ CM = BM. 在 △MBN 和 △MCA 中,
$\begin{cases} MN=MA, \\ ∠NMB=∠AMC, \\ BM=CM, \end{cases}$
∴ △MBN ≌ △MCA ( SAS ),
∴ ∠BNM = ∠CAM,NB=AC,
∴ BN//AC,NB=GA,
∴ ∠NBA+∠BAC=180°.
∵ ∠GAE+∠BAC=360°-90°-90°=180°,
∴ ∠NBA = ∠GAE.在△NBA 和△GAE 中,$\begin{cases} NB=GA, \\ ∠NBA=∠GAE, \\ BA=AE, \end{cases}$
∴ △NBA≌△GAE(SAS),
∴ AN=EG,
∴ $AM=\frac{1}{2}EG$.
(2)由 (1) 得 △NBA ≌ △GAE,
∴ ∠BAN = ∠AEG.
∵ ∠HAE + ∠BAN=180°-90°=90°,
∴ ∠HAE + ∠AEH = 90°,
∴ ∠AHE = 90°,即AH⊥EG.
(3)如图,连结 CE, BG.
∵ AG = AC,∠CAE = ∠GAB,AE = AB,
∴ △ACE≌△AGB(SAS),
∴ CE ⊥ BG,
∴ $EG^2 + BC^2 = CG^2 + BE^2$,
∴ $EG^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$.

2. 已知，$△ AOB$和$△ COD$均为等腰直角三角形，$∠ AOB=∠ COD=90°$，连结$AD$，$BC$，点$H$为$BC$中点，连结$OH$.
(1)如图①所示，点$C$，$D$分别在边$OA$，$OB$上，求证：$OH=\frac{1}{2}AD$且$OH⊥ AD$；
(2)将$△ COD$绕点$O$旋转到图②所示位置时，线段$OH$与$AD$又有怎样的关系，证明你的结论；
(3)如图③所示，当$AB=\sqrt{8}$，$CD=\sqrt{2}$时，求$OH$长的取值范围.

(1)
∵ △OAB 与△OCD 为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,
∴ OC = OD, OA = OB.
∵ 在 △AOD 与 △BOC 中,
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴ △AOD ≌ △BOC ( SAS ),
∴ ∠ADO = ∠BCO,∠OAD=∠OBC,BC=AD.
∵ 点 H 为线段 BC 的中点,
∴ OH=HB,$OH=\frac{1}{2}BC$,
∴ ∠OBH = ∠HOB = ∠OAD.又
∵ ∠OAD+∠ADO=90°,
∴ ∠ADO+∠BOH=90°,
∴ OH ⊥ AD.
∵ AD=BC,$OH=\frac{1}{2}BC$,
∴ $OH=\frac{1}{2}AD$.
(2)结论:$OH=\frac{1}{2}AD,OH⊥AD$,证明如下:如图①中,延长 OH 到点 E,使得 HE=OH,连结 BE.
∵ 点 H 是 BC 中点,
∴ BH=CH.
又
∵ ∠EHB = ∠OHC,
∴ △BEH≌△COH(SAS),
∴ OE = 2OH,∠EBC=∠BCO,
∴ ∠OBE = ∠EBC+∠OBC = ∠BCO+∠OBC = 180°-∠BOC.
∵ ∠AOB = ∠COD = 90°,
∴ ∠AOD = 180°-∠BOC=∠OBE.
∵ OB = OA,OC = OD = BE,
∴ △BEO≌△ODA(SAS),
∴ OE = AD,∠EOB = ∠DAO,
∴ $OH=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}AD$.
∵ ∠AOB = 90°,
∴ ∠DAO + ∠AOH = ∠EOB + ∠AOH = 90°,
∴ OH⊥AD.

(3)如图②,延长 OH 到点 M,使得 HM=OH,连结 BM.
∵ BH=CH,OH = MH,∠BHM = ∠CHO,
∴ △BMH≌△COH ( SAS ),
∴ BM=CO.
∵ $AB=\sqrt{8}$,$CD=\sqrt{2}$,
∴ 在等腰直角△AOB 和△COD 中,可得 OB=2,CO=BM=1.由题意得 2-1≤OM≤2+1,即 1≤OM≤3.
∵ OM=2OH,
∴ $\frac{1}{2}≤OH≤\frac{3}{2}$.