1. 如图，$∠ BAC=60°$，$∠ CDE=120°$，$AB=AC$，$DC=DE$，连结$BE$，$P$为$BE$的中点.
(1) 如图①，若$A,C,D$三点共线，求$∠ PAC$的度数；
(2) 如图②，若$A,C,D$三点不共线，求证：$AP ⊥ DP$.

1.(1) 如图①,延长 AP,DE,相交于点 F.
∵ ∠BAC=60°,∠CDE=120°,
∴ ∠BAC+∠CDE=180°.
∵ A,C,D三点共线,
∴ AB//DE,
∴ ∠B=∠PEF,∠BAP=∠EFP.在△ABP与△FEP 中,$\begin{cases}∠BAP=∠EFP,\\∠B=∠PEF,\\BP=EP,\end{cases}$
∴ △ABP≌△FEP(AAS),
∴ AB=FE.
∵ AB=AC,DC=DE,
∴ AD=DF,
∴ ∠PAC=∠PFE.
∵ ∠CDE=120°,
∴ ∠PAC=30°.

(2) 如图②,延长 AP 到点 F,使 PF=AP,连结 DF,EF,AD.在△BPA 与△EPF 中,$\begin{cases}PA=PF,\\∠EPF=∠BPA,\\PB=PE,\end{cases}$,
∴ △BPA≌△EPF(SAS),
∴ AB=FE,∠PBA=∠PEF.
∵ AB=AC,
∴ AC=FE,在四边形 BADE 中,∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°.
∵ ∠BAC=60°,∠CDE=120°,
∴ ∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°.
∵ ∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°,
∴ ∠ACD=∠DEB+∠EBA,
∴ ∠ACD=∠FED.在 △ACD 与 △FED 中,$\begin{cases}AC=FE,\\∠ACD=∠FED,\\CD=DE,\end{cases}$
∴ △ACD≌△FED(SAS),
∴ AD=FD.
∵ AP=FP,
∴ AP⊥DP.

2. 如图,已知△ABC与△DCE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠CDE=90°,AB=AC,CD=DE(AB＜CD),点B,D位于AC的异侧,连结BE,过点E作EF//AB,且EF=AB,连结AF交BE于点G,连结AD,DF.,若点B,C,E在同一直线上.
(1)求证:△ABG≌△FEG;
(2)请判断△ADF的形状,并说明理由.

2.(1)
∵ EF//AB,
∴ ∠ABG=∠FEG.在△ABG 和△FEG 中,
$\begin{cases}∠AGB=∠FGE,\\∠ABG=∠FEG,\\AB=FE,\end{cases}$,
∴ △ABG≌△FEG(AAS).
(2)△ADF 是等腰直角三角形,理由如下:
∵ △ABC 与△DCE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠CDE=90°,
∴ ∠B=∠ACB=∠DCE=∠DEC=45°,
∴ ∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=90°.
∵ EF//AB,
∴ ∠FEG=∠ABC=45°,
∴ ∠FED=∠DEC+∠FEG=90°,
∴ ∠ACD=∠FED.
∵ AB=AC,EF=AB,
∴ AC=EF.在△ACD和△FED 中,$\begin{cases}AC=FE,\\∠ACD=∠FED,\\CD=ED,\end{cases}$,
∴ △ACD ≌ △FED ( SAS ),
∴ AD=FD,∠ADC=∠FDE,
∴ ∠ADC+∠CDF=∠FDE+∠CDF=∠CDE=90°,即∠ADF=90°,
∴ △ADF 是等腰直角三角形.