8. ★★|分类讨论思想 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=3$,点D在直线AC上,$AD=1$,过点D作$DE// AB$交直线BC于点E,连结BD,点O是线段BD的中点,连结OE,则OE的长为。

8. $\sqrt{\frac{5}{4}}$或$\sqrt{\frac{41}{4}}$ 解析:连结 OC,过点 O 作 ON ⊥ BC 于 N.①如图①,当 D 在线段 AC 上时,
∵ AD=1,
∴ CD=AC-AD=2.
∵ ∠BCD=90°,
∴ $BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$.
∵ 点 O 是线段 BD 的中点,
∴ $OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{13}}{2}$.
∵ ON ⊥ BC,
∴ $CN=BN=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$.
∵ DE // AB,
∴ ∠CDE=∠A=∠CBA=∠CED=45°,
∴ CE=CD=2,
∴ $NE=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
∵ $ON=\sqrt{CO^2-CN^2}=1$,
∴ $OE=\sqrt{ON^2+NE^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$.②如图②,当 D 在 CA 延长线上时,则 CD=AD+AC=4.
∵ O 是线段 BD 的中点,∠BCD=90°,
∴ $OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD$.
∵ ON ⊥ BC,
∴ $CN=BN=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$.
∵ OB=OD,
∴ $ON=\frac{1}{2}CD=2$.
∵ AB // DE,
∴ ∠CAB=∠CDE=∠CBA=∠CED=45°,
∴ CE=CD=4,
∴ $EN=CE-CN=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$,
∴ $OE=\sqrt{EN^2+ON^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2+2^2}=\sqrt{\frac{41}{4}}$.综上,OE 的长为$\sqrt{\frac{5}{4}}$或$\sqrt{\frac{41}{4}}$.

三、解答题
9. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CB=CA=\sqrt{8}$，点D是射线AB上一点，连结CD，在CD右侧作$∠ DCE=90°$，且$CE=CD$，连结AE，已知$AE=1$。
(1)如图①，当点D在线段AB上时，
①求$∠ CAE$的度数；
②求CD的长.
(2)当点D在线段AB的延长线上时，其他条件不变，请在图②中画出图形，并求出$∠ CAE$的度数和CD的长.
＞＞ 对点专练 P100

9. (1) ①
∵ ∠ACB = 90°, ∠DCE = 90°,
∴ ∠ACB - ∠ACD = ∠DCE - ∠ACD,
∴ ∠BCD = ∠ACE, 在△BCD 和△ACE 中,$\begin{cases}BC=AC,\\∠BCD=∠ACE,\\CD=CE,\end{cases}$
∴ △BCD ≅ △ACE (SAS),
∴ ∠B = ∠CAE.
∵ ∠ACB=90°,AC=BC,
∴ ∠B=45°,
∴ ∠CAE=45°.②连结 DE,如图①.
∵ ∠ACB=90°,CB=CA=$\sqrt{8}$,
∴ ∠B=∠BAC=45°,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=4$.
∵ △BCD≅△ACE,
∴ ∠B=∠CAE=45°,BD=AE=1,
∴ ∠DAE=90°,AD=AB-BD=3,
∴ $DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{10}$.
∵ ∠DCE=90°,设 CE=CD=x,
∴ $x^2+x^2=DE^2$,
∴ $x=\sqrt{5}$,即 $CD=\sqrt{5}$.(2)∠CAE=135°,$CD=\sqrt{13}$.根据题意作出图形,连结 DE,如图②.
∵ ∠ACB=90°,∠DCE=90°,
∴ ∠ACB - ∠BCE = ∠DCE - ∠BCE,
∴ ∠BCD = ∠ACE, 在△BCD 和△ACE 中,$\begin{cases}BC=AC,\\∠BCD=∠ACE,\\CD=CE,\end{cases}$
∴ △BCD≅△ACE(SAS),
∴ ∠CBD = ∠CAE,BD=AE=1.
∵ ∠ACB=90°,CB=CA=$\sqrt{8}$,
∴ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=4$,∠ABC=∠BAC=45°,
∴ ∠CAE=∠CBD=180°-∠ABC=135°,AD=AB+BD=4+1=5,
∴ ∠DAE=∠CAE - ∠CAB=135°-45°=90°,
∴ $DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{26}$.
∵ ∠DCE=90°,设 CE=CD=x,
∴ $x^2+x^2=DE^2$,
∴ $x=\sqrt{13}$,即 $CD=\sqrt{13}$.

10. （2026·重庆期中）等边$△ ABC$中，$BC=4$，$AH ⊥ BC$于点$H$，点$D$为$BC$边上一动点，连结$AD$，点$B$关于直线$AD$的对称点为点$E$，连结$AE$，$DE$，$CE$.
(1)如图①，点$E$恰好落在$AH$的延长线上，则$∠ BCE=$°；
(2)过点$D$作$DG // AC$交$AB$于点$G$，连结$GE$交$AD$于点$F$.
①如图②，试判断线段$AF$，$EF$和$CE$之间的数量关系，并说明理由；
②如图③，直线$GE$交$AH$于点$M$，连结$BM$，$D$点运动的过程中，当$BM+GM$取最小值时，请直接写出线段$DG$的长度.

►►根据诊断结果，请完成对应的练习

10. (1)15 解析:
∵ △ABC 是等边三角形,AH ⊥ BC,
∴ AB=AC,∠ACB=∠BAC=60°,
∴ ∠CAH=$\frac{1}{2}$ ∠BAC=30°.由折叠的性质,得 AB=AE,
∴ AE=AC,
∴ ∠ACE=$\frac{1}{2}$ (180°-∠CAH)=75°,
∴ ∠BCE=∠ACE-∠ACB=75°-60°=15°.故答案为 15.(2)①AF=CE+EF.理由如下:如图①,延长 CE,AD 交于点 N,设∠BAD=α,由折叠性质得∠EAD=∠BAD=α,AB=AE,BD=ED,∠AED=∠B=60°,
∴ ∠BAE=2α,∠CAE=60°-2α.
∵ AB=AC=AE,
∴ ∠ACE=∠AEC=$\frac{1}{2}$ (180°-∠CAE)=60°+α,∠DCE=∠ACE-∠ACB=α.
∵ DG // AC,
∴ ∠GDB=∠ACB=60°,∠BGD=∠BAC=60°,
∴ △BDG 是等边三角形,BD=BG=DG,
∴ ∠AGD=∠GDC=180°-60°=120°.
∵ ∠AGD+∠AED=180°,
∴ ∠GDE+∠GAE=180°,
∴ ∠GDE=180°-∠BAE=180°-2α.
∵ BD=DG,BD=DE,
∴ DG=DE,
∴ ∠DGE=∠DEG=α,
∴ ∠AEG=∠AED-∠DEG=60°-α,
∴ ∠CEG=∠AEC + ∠AEG = 60°+α + 60°-α=120°,
∴ ∠FEN=60°.
∵ ∠EFN=∠EAD+∠AEG=α+60°-α=60°,
∴ ∠FEN=∠EFN=∠ENF=60°,
∴ △EFN 为等边三角形,
∴ EF=EN,∠N=∠EFN=∠AFG=60°.
∵ △BDG 是等边三角形,
∴ BD=BG.
∵ AB=AC,
∴ AG=CD.
∵ ∠GAF=∠DCN=α,∠N=∠AFG=60°,
∴ △AGF≅△CDN(AAS),
∴ AF=CN,
∴ AF=CE+NE=CE+EF.②DG=2 解析:如图②,连结 CM,取 AB 中点 P,连结 CP,
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ CP ⊥ AB,AC=BC=4.
∵ AH ⊥ BC,BH=CH,
∴ BM=CM,
∴ BM+GM=CM+GM.当 C,M,G 三点共线即与 CP 重合时,BM+GM 最短,此时点 D 与点 H 重合,点 G 与点 P 重合.
∵ P,H 分别是 AB,BC 的中点,
∴ DG=PH=$\frac{1}{2}$ AC=2.