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8. [2026南阳期末]如图,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,以AB为腰,$∠BAC$为顶角作等腰三角形ABC(点C在格点上),则$△ABC$的面积为 (
A.3
B.5
C.3或5
D.4或6
C
)A.3
B.5
C.3或5
D.4或6
答案
C 根据题意,画图如下,则△ABC 的面积为$\frac{1}{2}$×2×3 = 3或4×3 - $\frac{1}{2}$×2×4 - 2×$\frac{1}{2}$×1×3 = 5.
9. [2026哈尔滨松南学校期中]如图，$△ ABC$是等边三角形，边长为5，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线交于点$F$，过点$F$作$BC$的平行线分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，则$△ ADE$的周长为
10
。答案
∵ BF 平分∠ABC,
∴ ∠DBF = ∠CBF.
∵ BC // DE,
∴ ∠DFB = ∠CBF,
∴ ∠DBF = ∠DFB,
∴ DF = DB. 同理可得EF = EC,
∴ △ADE 的周长 = AD + DF + EF + AE = AD + BD + CE + AE = AB + AC = 5 + 5 = 10.
10. 教材P99习题T3变式 在如图所示的五个三角形中，AB=AC，则经过三角形一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是
②⑤
.(填序号) 答案
②⑤ ①
∵ AB = AC,∠A = 36°,
∴ ∠ABC = ∠C = 72°. 如图1,作∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,
∴ ∠ABD = ∠CBD =36°,
∴ ∠BDC = 72°,
∴ △ABD 和△BCD 均是等腰三角形,故①不符合题意. ②⑤不能分成两个小等腰三角形,符合题意.③如图2,作∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,
∴ ∠BAD = ∠CAD =45°.
∵ ∠BAC = 90°,AB = AC,
∴ ∠B = ∠C = 45°,
∴ △ABD 和△ACD 均是等腰三角形,故③不符合题意. ④如图3,过点 A作 AD 与 BC 交于点 D,使∠BAD = 36°,
∴ ∠CAD = 72°.
∵ ∠BAC = 108°,AB = AC,
∴ ∠B = ∠C = 36°,
∴ ∠ADC = 72°,
∴ ∠BAD = ∠B,∠ADC = ∠CAD,
∴ △ABD 和△ACD 均是等腰三角形,故④不符合题意.
11. $△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,若$b^2 + 2c^2 + a^2 = 2c(a + b)$,则$△ ABC$的形状为________。
答案
等边三角形
∵ b² + 2c² + a² = 2c(a + b),
∴ b² + 2c² +a² - 2ac - 2bc = 0,
∴ (b - c)² + (a - c)² = 0(两数差的平方),
∴ b - c = 0,a - c = 0,
∴ b = c,a = c,
∴ a = b = c,
∴ △ABC 为等边三角形.
∵ b² + 2c² + a² = 2c(a + b),
∴ b² + 2c² +a² - 2ac - 2bc = 0,
∴ (b - c)² + (a - c)² = 0(两数差的平方),
∴ b - c = 0,a - c = 0,
∴ b = c,a = c,
∴ a = b = c,
∴ △ABC 为等边三角形.
12. [2026北京师范大学附属实验中学期中] 如图，$△ ABD$和$△ AEC$都是等边三角形，求证：$BE = DC$.
答案
证明:
∵ △ABD 和△ACE 都是等边三角形,
∴ AB = AD,AE = AC,∠BAD = ∠CAE = 60°,
∴ ∠BAC + ∠CAE = ∠BAC + ∠BAD,即∠BAE = ∠DAC.
在△ABE 和△ADC 中,
AB = AD, ∠BAE = ∠DAC, AE = AC,
∴ △ABE≌△ADC(SAS)(“手拉手模型”),
∴ BE = DC.
∵ △ABD 和△ACE 都是等边三角形,
∴ AB = AD,AE = AC,∠BAD = ∠CAE = 60°,
∴ ∠BAC + ∠CAE = ∠BAC + ∠BAD,即∠BAE = ∠DAC.
在△ABE 和△ADC 中,
AB = AD, ∠BAE = ∠DAC, AE = AC,
∴ △ABE≌△ADC(SAS)(“手拉手模型”),
∴ BE = DC.
13. 教材P116复习题T15变式 [2026常州星辰实验中学模拟] 如图，B,E,C,F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF.
(1)求证：$△ GEC$是等腰三角形.
(2)连接AD，求直线AD与l的位置关系.
(1)求证：$△ GEC$是等腰三角形.
(2)连接AD，求直线AD与l的位置关系.
答案
(1)证明:在△ABC 和△DFE 中,
AB = DF,AC = DE,BC = FE,
∴ △ABC≌△DFE(SSS),
∴ ∠ACB = ∠DEF,
∴ EG = CG,
∴ △GEC 是等腰三角形.
(2)解:
∵ AC = DE,EG = CG,
∴ AC - CG = DE - EG,即 AG = DG,
∴ ∠GAD = ∠GDA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠AGD).
∵ ∠ACE = ∠DEF = $\frac{1}{2}$(180° - ∠CGE),∠AGD = ∠CGE,
∴ ∠GAD = ∠ACE,即∠CAD = ∠ACB,
∴ AD//l.
AB = DF,AC = DE,BC = FE,
∴ △ABC≌△DFE(SSS),
∴ ∠ACB = ∠DEF,
∴ EG = CG,
∴ △GEC 是等腰三角形.
(2)解:
∵ AC = DE,EG = CG,
∴ AC - CG = DE - EG,即 AG = DG,
∴ ∠GAD = ∠GDA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠AGD).
∵ ∠ACE = ∠DEF = $\frac{1}{2}$(180° - ∠CGE),∠AGD = ∠CGE,
∴ ∠GAD = ∠ACE,即∠CAD = ∠ACB,
∴ AD//l.
14. 教材P96练习T4变式|新趋势·尺规作图 [2026山西省实验中学月考]如图,已知直线$l$和$l$外一点$A$,请用尺规作图法,求作一个等腰直角三角形$ABC$,使得顶点$B$和顶点$C$都在直线$l$上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
答案
解:答案不唯一,如图1,等腰直角三角形 ABC 即所求.(或如图2,等腰直角三角形 ABC 即所求)
